Магнитогидродинамическая турбулентность - Magnetohydrodynamic turbulence

Магнитогидродинамическая турбулентность касается хаотических режимов магнитожидкость поток на высоком Число Рейнольдса. Магнитогидродинамика (MHD) имеет дело с квазинейтральной жидкостью с очень высокой проводимость. Флюидное приближение подразумевает, что основное внимание уделяется масштабам макросов длины и времени, которые намного больше, чем длина столкновения и время столкновения соответственно.

Уравнения несжимаемой МГД

Уравнения несжимаемой МГД:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} &=-\nabla p+\mathbf {B} \cdot \nabla \mathbf {B} +\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} \\[5pt]{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {B} &=\mathbf {B} \cdot \nabla \mathbf {u} +\eta \nabla ^{2}\mathbf {B} \\[5pt]\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\\[5pt]\nabla \cdot \mathbf {B} &=0.\end{aligned}}}$

куда ты, B, п представляют собой поля скорости, магнитного поля и полного давления (тепловое + магнитное), ${\displaystyle \nu }$ и ${\displaystyle \eta }$ представлять кинематическая вязкость и коэффициент магнитной диффузии. Третье уравнение - это условие несжимаемости. В приведенном выше уравнении магнитное поле выражается в единицах Альфвена (таких же, как единицы скорости).

Общее магнитное поле можно разделить на две части: ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {B_{0}} +\mathbf {b} }$ (среднее + колебания).

Приведенные выше уравнения в переменных Эльзессера (${\displaystyle \mathbf {z} ^{\pm }=\mathbf {u} \pm \mathbf {b} }$) находятся

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathbf {z} ^{\pm }}}{\partial t}}\mp \left(\mathbf {B} _{0}\cdot {\mathbf {\nabla } }\right){\mathbf {z} ^{\pm }}+\left({\mathbf {z} ^{\mp }}\cdot {\mathbf {\nabla } }\right){\mathbf {z} ^{\pm }}=-{\mathbf {\nabla } }p+\nu _{+}\nabla ^{2}\mathbf {z} ^{\pm }+\nu _{-}\nabla ^{2}\mathbf {z} ^{\mp }}$

куда ${\displaystyle \nu _{\pm }={\frac {1}{2}}(\nu \pm \eta )}$. Нелинейные взаимодействия происходят между альвеновскими флуктуациями. ${\displaystyle z^{\mp }}$.

Важными безразмерными параметрами для МГД являются

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\text{Reynolds number }}Re&=&UL/\nu \\{\text{Magnetic Reynolds number }}Re_{M}&=&UL/\eta \\{\text{Magnetic Prandtl number }}P_{M}&=&\nu /\eta .\end{array}}}$

В магнитное число Прандтля это важное свойство жидкости. Жидкие металлы имеют малые магнитные числа Прандтля, например жидкий натрий ${\displaystyle P_{M}}$ вокруг ${\displaystyle 10^{-5}}$. Но у плазмы большие ${\displaystyle P_{M}}$.

Число Рейнольдса - это отношение нелинейного члена ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} }$ уравнения Навье – Стокса к вязкому члену. В то время как магнитное число Рейнольдса - это отношение нелинейного члена и диффузионного члена уравнения индукции.

Во многих практических ситуациях число Рейнольдса ${\displaystyle Re}$ потока довольно большой. Для таких потоков обычно скорость и магнитные поля случайны. Такие течения призваны проявлять МГД-турбулентность. Обратите внимание, что ${\displaystyle Re_{M}}$ не обязательно быть большим для МГД турбулентности. ${\displaystyle Re_{M}}$ играет важную роль в проблеме динамо (генерации магнитного поля).

Среднее магнитное поле играет важную роль в МГД-турбулентности, например, оно может сделать турбулентность анизотропной; подавить турбулентность за счет уменьшения энергетический каскад и т. д. Ранние модели МГД турбулентности предполагали изотропию турбулентности, тогда как более поздние модели изучали анизотропные аспекты. В следующих обсуждениях мы резюмируем эти модели. Дополнительные обсуждения МГД-турбулентности можно найти в Biskamp,^[1] Верма.^[2] и Гальтье.

Изотропные модели

Ирошников^[3] и Крайчнан^[4] сформулировал первую феноменологическую теорию МГД-турбулентности. Они утверждали, что в присутствии сильного среднего магнитного поля ${\displaystyle z^{+}}$ и ${\displaystyle z^{-}}$ волновые пакеты движутся в противоположных направлениях с фазовой скоростью ${\displaystyle B_{0}}$, и взаимодействуют слабо. Соответствующая шкала времени - время Альвена. ${\displaystyle (B_{0}k)^{-1}}$. В результате энергетический спектр

${\displaystyle E^{u}(k)\approx E^{b}(k)\approx A(\Pi V_{A})^{1/2}k^{-3/2}.}$

куда ${\displaystyle \Pi }$ - скорость каскада энергии.

Позже Добровольный и др.^[5] получили следующие обобщенные формулы для каскадных скоростей ${\displaystyle z^{\pm }}$ переменные:

${\displaystyle \Pi ^{+}\approx \Pi ^{-}\approx \tau _{k}^{\pm }E^{+}(k)E^{-}(k)k^{4}\approx E^{+}(k)E^{-}(k)k^{3}/B_{0}}$

куда ${\displaystyle \tau ^{\pm }}$ масштабы времени взаимодействия ${\displaystyle z^{\pm }}$ переменные.

Феноменология Ирошникова и Крайчнана следует, если мы выберем ${\displaystyle \tau ^{\pm }\approx 1/(kV_{A})}$.

Марш^[6] выбрал нелинейную шкалу времени ${\displaystyle T_{NL}^{\pm }\approx (kz_{k}^{\mp })^{-1}}$ в качестве шкалы времени взаимодействия для вихрей и полученный энергетический спектр типа Колмогорова для переменных Эльзассера:

${\displaystyle E^{\pm }(k)=K^{\pm }(\Pi ^{\pm })^{4/3}(\Pi ^{\mp })^{-2/3}k^{-5/3}}$

куда ${\displaystyle \Pi ^{+}}$ и ${\displaystyle \Pi ^{-}}$ - скорости каскадов энергии ${\displaystyle z^{+}}$ и ${\displaystyle z^{-}}$ соответственно, и ${\displaystyle K^{\pm }}$ являются константами.

Матфей и Чжоу^[7] попытался объединить две вышеупомянутые шкалы времени, постулируя время взаимодействия как гармоническое среднее альвеновского времени и нелинейного времени.

Основное различие между двумя конкурирующими феноменологиями (−3/2 и −5/3) - это выбранные временные шкалы для времени взаимодействия. Основное исходное предположение в том, что феноменология Ирошникова и Крайчнана должна работать для сильного среднего магнитного поля, тогда как феноменология Марша должен работать, когда флуктуации доминируют в среднем магнитном поле (сильная турбулентность).

Однако, как мы обсудим ниже, наблюдения солнечного ветра и численное моделирование склонны отдавать предпочтение энергетическому спектру −5/3, даже когда среднее магнитное поле сильнее по сравнению с флуктуациями. Эта проблема была решена Verma^[8] с помощью перенормировка групповой анализ, показывающий, что на альфвеновские флуктуации влияет масштабно-зависимое «среднее локальное магнитное поле». Локальное среднее магнитное поле масштабируется как ${\displaystyle k^{-1/3}}$, подстановка которого в уравнение Добровольного дает энергетический спектр Колмогорова для МГД-турбулентности.

Анализ ренормализационной группы также был проведен для вычисления ренормированной вязкости и удельного сопротивления. Было показано, что эти диффузионные величины масштабируются как ${\displaystyle k^{-4/3}}$ что снова дает ${\displaystyle k^{-5/3}}$ энергетические спектры согласуются с моделью Колмогорова для МГД-турбулентности. Вышеупомянутый расчет ренормгруппы был выполнен как для нулевой, так и для ненулевой поперечной спиральности.

Вышеупомянутые феноменологии предполагают изотропную турбулентность, которая не имеет места в присутствии среднего магнитного поля. Среднее магнитное поле обычно подавляет энергетический каскад в направлении среднего магнитного поля.^[9]

Анизотропные модели

Среднее магнитное поле делает турбулентность анизотропной. Этот аспект изучается в последние два десятилетия. В пределе ${\displaystyle \delta z^{\pm }\ll B_{0}}$, Galtier et al.^[10] показал с помощью кинетических уравнений, что

${\displaystyle E(k)\sim (\Pi B_{0})^{1/2}k_{\parallel }^{1/2}k_{\perp }^{-2}}$

куда ${\displaystyle k_{\parallel }}$ и ${\displaystyle k_{\perp }}$ - компоненты волнового числа, параллельные и перпендикулярные среднему магнитному полю. Вышеуказанный предел называется предел слабой турбулентности.

В пределе сильной турбулентности ${\displaystyle \delta z^{\pm }\sim B_{0}}$, Goldereich и Sridhar^[11] утверждает, что ${\displaystyle k_{\perp }z_{k_{\perp }}\sim k_{\parallel }B_{0}}$ («критическое сбалансированное состояние»), из которого следует, что

${\displaystyle {\begin{aligned}E(k)&\propto k_{\perp }^{-5/3};\\[5pt]k_{\parallel }&\propto k_{\perp }^{2/3}\end{aligned}}}$

Вышеупомянутая феноменология анизотропной турбулентности была расширена для МГД с большой поперечной спиральностью.

Наблюдения за солнечным ветром

Плазма солнечного ветра находится в турбулентном состоянии. Исследователи рассчитали энергетические спектры плазмы солнечного ветра на основе данных, полученных с космического корабля. Спектры кинетической и магнитной энергии, а также ${\displaystyle E^{\pm }}$ ближе к${\displaystyle k^{-5/3}}$ в сравнении с ${\displaystyle k^{-3/2}}$, тем самым отдавая предпочтение феноменологии типа Колмогорова для МГД-турбулентности.^[12][13] Межпланетные и межзвездные флуктуации электронной плотности также предоставляют окно для исследования МГД-турбулентности.

Численное моделирование

Обсуждаемые выше теоретические модели тестируются с помощью прямого численного моделирования (DNS) с высоким разрешением. По данным недавнего моделирования, спектральные индексы близки к 5/3.^[14] Есть и другие, которые сообщают спектральные индексы около 3/2. Режим степенного закона обычно составляет менее десяти лет. Поскольку 5/3 и 3/2 довольно близки численно, довольно сложно убедиться в справедливости МГД-моделей турбулентности по энергетическим спектрам.

Потоки энергии ${\displaystyle \Pi ^{\pm }}$ могут быть более надежными величинами для проверки моделей турбулентности МГД. ${\displaystyle E^{+}(k)\gg E^{-}(k)}$(жидкость с высокой поперечной спиральностью или несбалансированная МГД) предсказания потока энергии модели Крайчнана и Ирошникова сильно отличаются от предсказаний модели Колмогорова. С помощью DNS было показано, что потоки ${\displaystyle \Pi ^{\pm }}$ рассчитанные на основе численного моделирования, лучше согласуются с моделью типа Колмогорова по сравнению с моделью Крайчнана и Ирошникова.^[15]

Анизотропные аспекты МГД-турбулентности также изучались с помощью численного моделирования. Предсказания Гольдрайха и Шридхара^[11] (${\displaystyle k_{||}\sim k_{\perp }^{2/3}}$) были проверены во многих моделированиях.

Передача энергии

Передача энергии между различными масштабами между скоростью и магнитным полем является важной проблемой в МГД-турбулентности. Эти величины были рассчитаны как теоретически, так и численно.^[2] Эти расчеты показывают значительный перенос энергии от крупномасштабного поля скоростей к крупномасштабному магнитному полю. Также каскад магнитной энергии обычно идет вперед. Эти результаты имеют решающее значение для проблемы динамо.

---

В этой области есть много открытых проблем, которые, надеюсь, будут решены в ближайшем будущем с помощью численного моделирования, теоретического моделирования, экспериментов и наблюдений (например, солнечного ветра).

Смотрите также

• Магнитогидродинамика
• Турбулентность
• Альфвеновская волна
• Солнечная динамо
• Число Рейнольдса
• Уравнения Навье – Стокса
• Вычислительная магнитогидродинамика
• Вычислительная гидродинамика
• Солнечный ветер
• Магнитный расходомер
• Ионная жидкость
• Список статей по плазме (физике)

Рекомендации

1. Д. Бискамп (2003), Магнитогидродинамическая турбулентность, (Cambridge University Press, Кембридж).
2. Верма, Махендра К. (2004). «Статистическая теория магнитогидродинамической турбулентности: последние результаты». Отчеты по физике. 401 (5–6): 229–380. arXiv:nlin / 0404043. Дои:10.1016 / j.physrep.2004.07.007. ISSN  0370-1573. S2CID  119352240.
3. Ирошников П.С. (1964), Турбулентность проводящей жидкости в сильном магнитном поле, Советская астрономия, 7, 566.
4. Крайчнан, Роберт Х. (1965). «Инерционный спектр гидромагнитной турбулентности». Физика жидкостей. Издательство AIP. 8 (7): 1385. Дои:10.1063/1.1761412. ISSN  0031-9171.
5. Добровольный, М .; Mangeney, A .; Велтри, П. (1980-07-14). «Полностью развитая анизотропная гидромагнитная турбулентность в межпланетном пространстве». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 45 (2): 144–147. Дои:10.1103 / Physrevlett.45.144. ISSN  0031-9007.
6. Э. Марш (1990), Турбулентность в солнечном ветре, в: Дж. Кларе (Ред.), Обзоры современной астрономии, Springer, Берлин, с. 43.
7. Matthaeus, William H .; Чжоу, Е (1989). «Феноменология расширенного инерционного диапазона магнитогидродинамической турбулентности». Физика жидкостей B: Физика плазмы. Издательство AIP. 1 (9): 1929–1931. Дои:10.1063/1.859110. ISSN  0899-8221.
8. Верма, Махендра К. (1999). «Перенормировка среднего магнитного поля и энергетический спектр Колмогорова в магнитогидродинамической турбулентности». Физика плазмы. Издательство AIP. 6 (5): 1455–1460. Дои:10.1063/1.873397. ISSN  1070-664X. S2CID  2218981.
9. Шебалин, Иоанн В .; Matthaeus, William H .; Монтгомери, Дэвид (1983). «Анизотропия МГД-турбулентности из-за среднего магнитного поля». Журнал физики плазмы. Издательство Кембриджского университета (CUP). 29 (3): 525–547. Дои:10.1017 / s0022377800000933. ISSN  0022-3778.
10. Galtier, S .; Назаренко, С. В .; Newell, A.C .; Пуке, А. (2000). «Теория слабой турбулентности для магнитогидродинамики несжимаемой жидкости» (PDF). Журнал физики плазмы. Издательство Кембриджского университета (CUP). 63 (5): 447–488. Дои:10.1017 / s0022377899008284. ISSN  0022-3778. S2CID  15528846.
11. Goldreich, P .; Шридхар, С. (1995). «К теории межзвездной турбулентности. 2: Сильная альвеновская турбулентность». Астрофизический журнал. IOP Publishing. 438: 763. Дои:10.1086/175121. ISSN  0004-637X.
12. Matthaeus, William H .; Гольдштейн, Мелвин Л. (1982). «Измерение жестких инвариантов магнитогидродинамической турбулентности в солнечном ветре». Журнал геофизических исследований. Американский геофизический союз (AGU). 87 (A8): 6011. Дои:10.1029 / ja087ia08p06011. ISSN  0148-0227.
13. Д. А. Робертс, М. Л. Гольдштейн (1991), Турбулентность и волны в солнечном ветре, Rev. Geophys., 29, 932.
14. Мюллер, Вольф-Кристиан; Бискамп, Дитер (17 января 2000). «Масштабные свойства трехмерной магнитогидродинамической турбулентности». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 84 (3): 475–478. arXiv:физика / 9906003. Дои:10.1103 / Physrevlett.84.475. ISSN  0031-9007. PMID  11015942. S2CID  43131956.
15. Verma, M. K .; Робертс, Д. А .; Goldstein, M. L .; Ghosh, S .; Стриблинг, В. Т. (1996-10-01). «Численное исследование нелинейного каскада энергии в магнитогидродинамической турбулентности». Журнал геофизических исследований: космическая физика. Американский геофизический союз (AGU). 101 (A10): 21619–21625. Дои:10.1029 / 96ja01773. ISSN  0148-0227.