Лемма Маргулиса - Margulis lemma

В дифференциальной геометрии подполе математика, то Лемма Маргулиса (названный в честь Григорий Маргулис ) результат о дискретные подгруппы изометрий неположительно изогнутый Римановы многообразия (например, гиперболическое n-пространство ). Грубо говоря, в нем говорится, что в пределах фиксированного радиуса, обычно называемого Константа Маргулиса, структура орбит такой группы не может быть слишком сложной. Точнее, в пределах этого радиуса вокруг точки все точки на ее орбите фактически находятся на орбите нильпотентный подгруппа (на самом деле ограниченное конечное число таких).

Лемма Маргулиса для многообразий неположительной кривизны

Официальное заявление

Лемму Маргулиса можно сформулировать следующим образом.^[1]

Позволять ${displaystyle X}$ быть односвязный многообразие неположительной ограниченной кривизны. Существуют константы ${displaystyle C, varepsilon> 0}$ со следующим свойством. Для любой дискретной подгруппы ${displaystyle Gamma}$ группы изометрий ${displaystyle X}$ и любой ${displaystyle xin X}$ , если ${displaystyle F_ {x}}$ это набор:

{displaystyle F_ {x} = {gin Gamma: d (x, gx)

то подгруппа, порожденная ${displaystyle F_ {x}}$ содержит нильпотентную подгруппу индекса меньше чем ${displaystyle C}$ . Здесь ${displaystyle d}$ это расстояние индуцирована римановой метрикой.

Непосредственно эквивалентное утверждение может быть дано следующим образом: для любого подмножества ${displaystyle F}$ группы изометрии, если она удовлетворяет следующему:

существует ${displaystyle xin X}$ такой, что ${displaystyle forall gin F: d (x, gx)$ ;
группа ${displaystyle langle Fangle}$ создано ${displaystyle F}$ дискретно

тогда ${displaystyle langle Fangle}$ содержит нильпотентную подгруппу индекса ${displaystyle leq C}$ .

Константы Маргулиса

Оптимальная константа ${displaystyle varepsilon}$ в утверждении можно сделать так, чтобы оно зависело только от размерности и нижней границы кривизны; обычно она нормализована так, что кривизна находится в пределах от -1 до 0. Ее обычно называют постоянной Маргулиса измерения.

Можно также рассмотреть константы Маргулиса для конкретных пространств. Например, была предпринята важная попытка определить константу Маргулиса гиперболических пространств (постоянной кривизны -1). Например:

оптимальная константа для гиперболическая плоскость равно ${displaystyle 2mathrm {arcsinh} left ({sqrt {frac {2cos (2pi / 7) -1} {8cos (pi / 7) +7}}} ight) simeq 0,2629}$ ;^[2]
В целом постоянная Маргулиса ${displaystyle varepsilon _ {n}}$ для гиперболического ${displaystyle n}$ -пространство, как известно, удовлетворяет ограничениям:

{displaystyle c ^ {- n ^ {2}}

для некоторых

{displaystyle 0 0}

.^[3]

Окрестности Цассенхаус

Особенно изученное семейство примеров многообразий с отрицательной кривизной дается симметричные пространства связано с полупростые группы Ли. В этом случае лемме Маргулиса можно дать следующую, более алгебраическую формулировку, восходящую к Ганс Цассенхаус. ^[4]

Если ${displaystyle G}$ является полупростой группой Ли, существует окрестность ${displaystyle Omega}$ идентичности в ${displaystyle G}$ и ${displaystyle C> 0}$ такая, что любая дискретная подгруппа ${displaystyle Gamma}$ который создается ${displaystyle Gamma cap Omega}$ содержит нильпотентную подгруппу индекса ${displaystyle leq C}$ .

Такая окрестность называется Zassenhaus окрестности.

Толсто-тонкий разложение

Позволять ${displaystyle M}$ риманово многообразие и ${displaystyle varepsilon> 0}$ . В тонкая часть из ${displaystyle M}$ это подмножество точек ${displaystyle xin M}$ где радиус приемистости из ${displaystyle M}$ в ${displaystyle x}$ меньше чем ${displaystyle varepsilon}$ , обычно обозначается ${displaystyle M _ {$ , а толстая часть его дополнение, обычно обозначаемое ${displaystyle M_ {geq varepsilon}}$ . Имеется тавтологическое разложение на несвязное объединение ${displaystyle M = M _ {$ .

Когда ${displaystyle M}$ имеет отрицательную кривизну и ${displaystyle varepsilon}$ меньше постоянной Маргулиса при ${displaystyle {widetilde {M}}}$ структура компонентов тонкой части очень проста. Ограничимся случаем гиперболических многообразий конечного объема. Предположим, что ${displaystyle varepsilon}$ меньше постоянной Маргулиса при ${displaystyle mathbb {H} ^ {n}}$ и разреши ${displaystyle M}$ быть гиперболический ${displaystyle n}$ -многообразие конечного объема. Тогда его тонкая часть состоит из двух видов компонентов:^[5]

Куспиды: это неограниченные компоненты, они диффеоморфны плоский ${displaystyle (n-1)}$ -многообразие умножить на строку;
Тубы Маргулиса: это кварталы закрытые геодезические длины ${displaystyle$ на ${displaystyle M}$ . Они ограничены и диффеоморфны окружности, умноженной на a ${displaystyle (n-1)}$ -диск.

В частности, полное гиперболическое многообразие конечного объема всегда диффеоморфно внутренности компактного многообразия (возможно, с пустым краем).

Другие приложения

Лемма Маргулиса - важный инструмент при изучении многообразий отрицательной кривизны. Помимо разложения толстого на тонкий, некоторые другие приложения:

В лемма о воротнике: это более точный вариант описания компактных компонентов тонких деталей. Он утверждает, что любая замкнутая геодезическая длины ${displaystyle ell$ на гиперболической поверхности содержится во вложенном цилиндре диаметра порядка ${displaystyle ell ^ {- 1}}$ .
Лемма Маргулиса дает немедленное качественное решение проблемы минимального кообъема среди гиперболических многообразий: поскольку объем трубки Маргулиса, как видно, ограничен снизу константой, зависящей только от размерности, отсюда следует, что существует положительная нижняя грань для объемы гиперболических п-многообразий для любых п.^[6]
Существование окрестностей Цассенхауза - ключевой ингредиент доказательства Теорема Каждана – Маргулиса..
Можно восстановить Теорема Жордана – Шура как следствие существования кварталов Цассенхауза.

Примечания

^ Баллманн, Громов и Шредер, Теорема 9.5.
^ Ямада, А. (1981). «Об универсальной константе Мардена фуксовых групп». Kodai Math. J. 4 (2): 266–277. Дои:10,2996 / kmj / 1138036373.CS1 maint: ref = harv (связь)
^ Белолипецкий, Михаил (2014). «Гиперболические орбифолды малого объема». Материалы ICM 2014. Kyung Moon SA. arXiv:1402.5394.
^ Рагхунатан, 1972 и Определение 8.22.
^ Терстон 1998, Глава 4.5.
^ Рэтклифф 2006, п. 666.