Матрица масс - Mass matrix

В аналитическая механика, то матрица масс это симметричный матрица M который выражает связь между производной по времени ${displaystyle {dot {q}}}$ из обобщенный вектор координат q системы и кинетическая энергия Т этой системы уравнением

${displaystyle T={frac {1}{2}}mathbf {dot {q}} ^{ extsf {T}}mathbf {M} mathbf {dot {q}} }$

куда ${displaystyle mathbf {dot {q}} ^{ extsf {T}}}$ обозначает транспонировать вектора ${displaystyle mathbf {dot {q}} }$.^[1] Это уравнение аналогично формуле для кинетической энергии частицы с массой ${displaystyle m}$ и скорость v, а именно

${displaystyle T={frac {1}{2}}m|mathbf {v} |^{2}={frac {1}{2}}mathbf {v} cdot mmathbf {v} }$

и может быть получен из него, выражая положение каждой частицы системы в терминах q.

В общем случае матрица масс M зависит от государства q, и поэтому меняется со временем.

Лагранжева механика дает обыкновенное дифференциальное уравнение (фактически, система связанных дифференциальных уравнений), которая описывает эволюцию системы в терминах произвольного вектора обобщенных координат, который полностью определяет положение каждой частицы в системе. Приведенная выше формула кинетической энергии является одним из членов этого уравнения, которое представляет собой полную кинетическую энергию всех частиц.

Примеры

Двухчастная одномерная система

Система масс в одном пространственном измерении.

Например, рассмотрим систему, состоящую из двух точечных масс, ограниченных прямой дорожкой. Состояние этих систем можно описать вектором q двух обобщенных координат, а именно положения двух частиц на треке.

${displaystyle q={egin{bmatrix}x_{1}&x_{2}end{bmatrix}}^{ extsf {T}}}$.

Предположим, что частицы имеют массы м₁, м₂, кинетическая энергия системы равна

${displaystyle T=sum _{i=1}^{2}{frac {1}{2}}m_{i}{dot {x_{i}}}^{2}}$

Эту формулу также можно записать как

${displaystyle T={frac {1}{2}}{dot {q}}^{ extsf {T}}M{dot {q}}}$

куда

${displaystyle M={egin{bmatrix}m_{1}&0�&m_{2}end{bmatrix}}}$

Система N-тела

В более общем плане рассмотрим систему N частицы, помеченные индексом я = 1, 2, …, N, где положение номера частицы я определяется п_я свободные декартовы координаты (где п_я равно 1, 2 или 3). Позволять q вектор-столбец, содержащий все эти координаты. Матрица масс M это диагональ блочная матрица где в каждом блоке диагональные элементы - это масса соответствующей частицы:^[2]

${displaystyle M=operatorname {diag} left[m_{1}I_{n_{1}},,m_{2}I_{n_{2}},,ldots ,,m_{N}I_{n_{N}}ight]}$

куда я_{н я} это п_я × п_я единичная матрица, или более полно:

${displaystyle M={egin{bmatrix}m_{1}&cdots &0&0&cdots &0&cdots &0&cdots &0vdots &ddots &vdots &vdots &ddots &vdots &ddots &vdots &ddots &vdots �&cdots &m_{1}&0&cdots &0&cdots &0&cdots &0�&cdots &0&m_{2}&cdots &0&cdots &0&cdots &0vdots &ddots &vdots &vdots &ddots &vdots &ddots &vdots &ddots &vdots �&cdots &0&0&cdots &m_{2}&cdots &0&cdots &0vdots &ddots &vdots &vdots &ddots &vdots &ddots &vdots &ddots &vdots �&cdots &0&0&cdots &0&cdots &m_{N}&cdots &0vdots &ddots &vdots &vdots &ddots &vdots &ddots &vdots &ddots &vdots �&cdots &0&0&cdots &0&cdots &0&cdots &m_{N}end{bmatrix}}}$

Вращающаяся гантель

Вращающаяся гантель.

В качестве менее тривиального примера рассмотрим два точечных объекта с массами м₁, м₂, прикрепленный к концам жесткого безмассового стержня длиной 2рпри этом сборка может свободно вращаться и скользить по фиксированной плоскости. Состояние системы можно описать обобщенным координатным вектором

${displaystyle q={egin{bmatrix}x&y&alpha end{bmatrix}}}$

куда Икс, у - декартовы координаты средней точки стержня и α есть угол бара от некоторого произвольного опорного направления. Положения и скорости двух частиц равны

${displaystyle {egin{aligned}x_{1}&=(x,y)+R(cos alpha ,sin alpha )&v_{1}&=left({dot {x}},{dot {y}}ight)+R{dot {alpha }}(-sin alpha ,cos alpha )x_{2}&=(x,y)-R(cos alpha ,sin alpha )&v_{2}&=left({dot {x}},{dot {y}}ight)-R{dot {alpha }}(-sin alpha ,cos alpha )end{aligned}}}$

а их полная кинетическая энергия равна

${displaystyle 2T=m{dot {x}}^{2}+m{dot {y}}^{2}+mR^{2}{dot {alpha }}^{2}-2Rdsin(alpha ){dot {x}}{dot {alpha }}+2Rdcos(alpha ){dot {y}}{dot {alpha }}}$

куда ${displaystyle m=m_{1}+m_{2}}$ и ${displaystyle d=m_{1}-m_{2}}$. Эта формула может быть записана в матричной форме как

${displaystyle T={frac {1}{2}}{dot {q}}^{ extsf {T}}M{dot {q}}}$

куда

${displaystyle M={egin{bmatrix}m&0&-Rdsin alpha �&m&Rdcos alpha -Rdsin alpha &Rdcos alpha &R^{2}mend{bmatrix}}}$

Обратите внимание, что матрица зависит от текущего угла α бара.

Механика сплошной среды

Для дискретных приближений механика сплошной среды как в метод конечных элементов, может быть более одного способа построения матрицы масс, в зависимости от желаемой точности вычислений и производительности. Например, метод сосредоточенной массы, в котором деформация каждого элемента игнорируется, создает диагональную матрицу масс и устраняет необходимость интегрирования массы по деформированному элементу.

Смотрите также

• Момент инерции
• Тензор напряжения-энергии
• Матрица жесткости
• Склерономный

Рекомендации

1. Математические методы для физики и техники, К.Ф. Райли, М. Хобсон, С.Дж. Бенс, издательство Кембриджского университета, 2010 г., ISBN  978-0-521-86153-3
2. Аналитическая механика, Л. Хэнд, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008 г., ISBN  978 0 521 57572 0