Математические описания непрозрачности - Mathematical descriptions of opacity

Когда электромагнитная волна проходит через среду, в которой он ослабляется (это называется "непрозрачный " или же "ослабление "средний), он подвергается экспоненциальный спад как описано Закон Бера – Ламберта. Однако есть много возможных способов охарактеризовать волну и узнать, как быстро она затухает. В этой статье описываются математические отношения между:

• коэффициент затухания;
• Глубина проникновения и глубина кожи;
• комплексное угловое волновое число и постоянная распространения;
• комплексный показатель преломления;
• комплексная электрическая проницаемость;
• AC проводимость (восприимчивость ).

Обратите внимание, что во многих из этих случаев используется несколько противоречивых определений и соглашений. Эта статья не обязательно является всеобъемлющей или универсальной.

Фон: незатухающая волна

Основная статья: Уравнение электромагнитной волны

Описание

Электромагнитная волна, распространяющаяся в +z-направление условно описывается уравнением:

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,}$

куда

E₀ вектор в Икс-у плоскости, с единицами электрического поля (вектор в общем случае сложный вектор, чтобы учесть все возможные поляризации и фазы);

ω это угловая частота волны;

k это угловое волновое число волны;

Re указывает реальная часть;

е является Число Эйлера.

В длина волны по определению

${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}.}$

Для данной частоты длина волны электромагнитной волны зависит от материала, в котором она распространяется. В вакуум длина волны (длина волны, которую имела бы волна этой частоты, если бы она распространялась в вакууме)

${\displaystyle \lambda _{0}={\frac {2\pi \mathrm {c} }{\omega }},}$

где c - скорость света в вакууме.

В отсутствие затухания показатель преломления (также называемый показатель преломления ) - отношение этих двух длин волн, т. е.

${\displaystyle n={\frac {\lambda _{0}}{\lambda }}={\frac {\mathrm {c} k}{\omega }}.}$

В интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды, усредненной по времени по многим колебаниям волны, что составляет:

${\displaystyle I(z)\propto \left|\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}.}$

Обратите внимание, что эта интенсивность не зависит от местоположения z, знак того, что это волна не затухает с расстоянием. Мы определяем я₀ чтобы равняться этой постоянной интенсивности:

${\displaystyle I(z)=I_{0}\propto |\mathbf {E} _{0}|^{2}.}$

Комплексно-сопряженная неоднозначность

Потому что

${\displaystyle \operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}^{*}e^{-i(kz-\omega t)}\right]\!,}$

любое выражение может использоваться взаимозаменяемо^[1]. Как правило, физики и химики используют условное обозначение слева (с е^−iωt), а инженеры-электрики используют обозначение справа (с е^+iωt, например см. электрический импеданс ). Это различие не имеет значения для незатухающей волны, но становится актуальным в некоторых случаях ниже. Например, есть два определения комплексный показатель преломления, один с положительной мнимой частью и один с отрицательной мнимой частью, полученный из двух разных соглашений.^[2] Два определения: комплексные конъюгаты друг друга.

Коэффициент затухания

Основные статьи: Коэффициент затухания и Закон Бера-Ламберта

Один из способов включить затухание в математическое описание волны - использовать коэффициент затухания:^[3]

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=e^{-\alpha z/2}\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,}$

куда α - коэффициент затухания.

Тогда интенсивность волны удовлетворяет:

${\displaystyle I(z)\propto \left|e^{-\alpha z/2}\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-\alpha z},}$

т.е.

${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-\alpha z}.}$

Коэффициент затухания, в свою очередь, просто связан с несколькими другими величинами:

• коэффициент поглощения по существу (но не всегда) синоним коэффициента затухания; видеть коэффициент затухания для подробностей;
• молярный коэффициент поглощения или же молярный коэффициент экстинкции, также называемый молярная поглощающая способность, - коэффициент ослабления, деленный на молярность (и обычно умноженный на ln (10), т.е. декадный); видеть Закон Бера-Ламберта и молярная поглощающая способность для подробностей;
• массовый коэффициент затухания, также называемый массовый коэффициент поглощения, - коэффициент ослабления, деленный на плотность; видеть массовый коэффициент затухания для подробностей;
• сечение поглощения и сечение рассеяния оба количественно связаны с коэффициентом затухания; видеть сечение поглощения и сечение рассеяния для подробностей;
• Коэффициент затухания также иногда называют непрозрачность; видеть непрозрачность (оптика).

Глубина проникновения и глубина кожи

Основные статьи: Глубина проникновения и Глубина кожи

Глубина проникновения

Очень похожий подход использует Глубина проникновения:^[4]

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=e^{-z/(2\delta _{\mathrm {pen} })}\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,}$

${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-z/\delta _{\mathrm {pen} }},}$

куда δ_ручка - глубина проникновения.

Глубина кожи

В глубина кожи определяется так, что волна удовлетворяет:^[5][6]

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=e^{-z/\delta _{\mathrm {skin} }}\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,}$

${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-2z/\delta _{\mathrm {skin} }},}$

куда δ_кожа глубина кожи.

Физически глубина проникновения - это расстояние, на которое волна может пройти до своего интенсивность уменьшается в 1 /е${\displaystyle {}\approx {}}$0,37. Глубина скин-слоя - это расстояние, которое волна может пройти до своего амплитуда уменьшается тем же фактором.

Коэффициент поглощения связан с глубиной проникновения и глубиной скин-фактора соотношением

${\displaystyle \alpha =1/\delta _{\mathrm {pen} }=2/\delta _{\mathrm {skin} }.}$

Комплексное угловое волновое число и постоянная распространения

Основная статья: Постоянная распространения

Комплексное угловое волновое число

Другой способ включить затухание - использовать комплексное угловое волновое число:^[5][7]

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i({\underline {k}}z-\omega t)}\right]\!,}$

куда k - комплексное угловое волновое число.

Тогда интенсивность волны удовлетворяет:

${\displaystyle I(z)\propto \left|\mathbf {E} _{0}e^{i({\underline {k}}z-\omega t)}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-2\operatorname {Im} ({\underline {k}})z},}$

т.е.

${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-2\operatorname {Im} ({\underline {k}})z}.}$

Таким образом, сравнивая это с подходом коэффициента поглощения,^[3]

${\displaystyle \operatorname {Re} ({\underline {k}})=k,}$

${\displaystyle \operatorname {Im} ({\underline {k}})=\alpha /2.}$

В соответствии с отмеченная выше двусмысленность, некоторые авторы используют комплексно сопряженный определение:^[8]

${\displaystyle \operatorname {Re} ({\underline {k}})=k,}$

${\displaystyle \operatorname {Im} ({\underline {k}})=-\alpha /2.}$

Постоянная распространения

Близкий подход, особенно распространенный в теории линии передачи, использует постоянная распространения:^[9][10]

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{-\gamma z+i\omega t}\right]\!,}$

куда γ - постоянная распространения.

Тогда интенсивность волны удовлетворяет:

${\displaystyle I(z)\propto \left|\mathbf {E} _{0}e^{-\gamma z+i\omega t}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-2\operatorname {Re} (\gamma )z},}$

т.е.

${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-2\operatorname {Re} (\gamma )z}.}$

Сравнивая два уравнения, постоянная распространения и комплексное угловое волновое число связаны соотношением:

${\displaystyle \gamma =i{\underline {k}}^{*},}$

где * обозначает комплексное сопряжение.

${\displaystyle \operatorname {Re} (\gamma )=\operatorname {Im} ({\underline {k}})=\alpha /2.}$

Эта величина также называется постоянная затухания,^[8][11] иногда обозначается α.

${\displaystyle \operatorname {Im} (\gamma )=\operatorname {Re} ({\underline {k}})=k.}$

Эта величина также называется фазовая постоянная, иногда обозначается β.^[11]

К сожалению, обозначения не всегда согласованы. Например, ${\displaystyle {\underline {k}}}$ иногда называют "константой распространения" вместо γ, который меняет местами реальную и мнимую части.^[12]

Комплексный показатель преломления

Основная статья: Показатель преломления

Напомним, что в средах без затухания показатель преломления и угловое волновое число связаны соотношением:

${\displaystyle n={\frac {\mathrm {c} }{v}}={\frac {\mathrm {c} k}{\omega }},}$

куда

• п - показатель преломления среды;
• c - это скорость света в вакууме;
• v это скорость света в среде.

А комплексный показатель преломления поэтому может быть определено в терминах комплексного углового волнового числа, определенного выше:

${\displaystyle {\underline {n}}={\frac {\mathrm {c} {\underline {k}}}{\omega }}.}$

куда п - показатель преломления среды.

Другими словами, волна должна удовлетворять

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i\omega ({\underline {n}}z/\mathrm {c} -t)}\right]\!.}$

Тогда интенсивность волны удовлетворяет:

${\displaystyle I(z)\propto \left|\mathbf {E} _{0}e^{i\omega ({\underline {n}}z/\mathrm {c} -t)}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-2\omega \operatorname {Im} ({\underline {n}})z/\mathrm {c} },}$

т.е.

${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-2\omega \operatorname {Im} ({\underline {n}})z/\mathrm {c} }.}$

По сравнению с предыдущим разделом, мы имеем

${\displaystyle \operatorname {Re} ({\underline {n}})={\frac {\mathrm {c} k}{\omega }}.}$

Эту величину часто (неоднозначно) называют просто показатель преломления.

${\displaystyle \operatorname {Im} ({\underline {n}})={\frac {\mathrm {c} \alpha }{2\omega }}={\frac {\lambda _{0}\alpha }{4\pi }}.}$

Эта величина называется коэффициент экстинкции и обозначен κ.

В соответствии с отмеченная выше двусмысленность, некоторые авторы используют комплексно-сопряженное определение, где (все еще положительный) коэффициент экстинкции равен минус мнимая часть ${\displaystyle {\underline {n}}}$.^[2][13]

Комплексная электрическая проницаемость

Основная статья: Комплексная диэлектрическая проницаемость

В среде без затухания электрическая проницаемость и показатель преломления связаны между собой:

${\displaystyle n=\mathrm {c} {\sqrt {\mu \varepsilon }}\quad {\text{(SI)}},\qquad n={\sqrt {\mu \varepsilon }}\quad {\text{(cgs)}},}$

куда

• μ это магнитная проницаемость среды;
• ε это электрическая проницаемость среды.
• "SI" относится к Система единиц СИ, а «cgs» относится к Гауссовские единицы измерения.

В затухающих средах используется то же соотношение, но диэлектрическая проницаемость может быть комплексным числом, называемым комплексная электрическая проницаемость:^[3]

${\displaystyle {\underline {n}}=\mathrm {c} {\sqrt {\mu {\underline {\varepsilon }}}}\quad {\text{(SI)}},\qquad {\underline {n}}={\sqrt {\mu {\underline {\varepsilon }}}}\quad {\text{(cgs)}},}$

куда ε - комплексная электрическая проницаемость среды.

Квадрат обеих сторон и использование результатов предыдущего раздела дает:^[7]

${\displaystyle \operatorname {Re} ({\underline {\varepsilon }})={\frac {\mathrm {c} ^{2}\varepsilon _{0}}{\omega ^{2}\mu /\mu _{0}}}\!\left(k^{2}-{\frac {\alpha ^{2}}{4}}\right)\quad {\text{(SI)}},\qquad \operatorname {Re} ({\underline {\varepsilon }})={\frac {\mathrm {c} ^{2}}{\omega ^{2}\mu }}\!\left(k^{2}-{\frac {\alpha ^{2}}{4}}\right)\quad {\text{(cgs)}},}$

${\displaystyle \operatorname {Im} ({\underline {\varepsilon }})={\frac {\mathrm {c} ^{2}\varepsilon _{0}}{\omega ^{2}\mu /\mu _{0}}}k\alpha \quad {\text{(SI)}},\qquad \operatorname {Im} ({\underline {\varepsilon }})={\frac {\mathrm {c} ^{2}}{\omega ^{2}\mu }}k\alpha \quad {\text{(cgs)}}.}$

Проводимость переменного тока

Основная статья: Электрическая проводимость

Другой способ включить затухание - через электропроводность, как показано ниже.^[14]

Одним из уравнений распространения электромагнитных волн является Закон Максвелла-Ампера:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\mathrm {d} \mathbf {D} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(SI)}},\qquad \nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi }{\mathrm {c} }}\mathbf {J} +{\frac {1}{\mathrm {c} }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {D} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(cgs)}},}$

куда D это поле смещения.

Подключение Закон Ома и определение (реального) диэлектрическая проницаемость

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\sigma \mathbf {E} +\varepsilon {\frac {\mathrm {d} \mathbf {E} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(SI)}},\qquad \nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi \sigma }{\mathrm {c} }}\mathbf {E} +{\frac {\varepsilon }{\mathrm {c} }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {E} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(cgs)}},}$

куда σ это (реальная, но зависящая от частоты) электрическая проводимость, называемая AC проводимость.

С синусоидальной зависимостью от времени от всех величин, т.е.

${\displaystyle \mathbf {H} =\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {H} _{0}e^{-i\omega t}\right]\!,}$

${\displaystyle \mathbf {E} =\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{-i\omega t}\right]\!,}$

результат

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} _{0}=-i\omega \mathbf {E} _{0}\!\left(\varepsilon +i{\frac {\sigma }{\omega }}\right)\quad {\text{(SI)}},\qquad \nabla \times \mathbf {H} _{0}={\frac {-i\omega }{\mathrm {c} }}\mathbf {E} _{0}\!\left(\varepsilon +i{\frac {4\pi \sigma }{\omega }}\right)\quad {\text{(cgs)}}.}$

Если нынешний J не был включен явно (через закон Ома), а только неявно (через комплексную диэлектрическую проницаемость), величина в скобках будет просто комплексной электрической проницаемостью. Следовательно,

${\displaystyle {\underline {\varepsilon }}=\varepsilon +i{\frac {\sigma }{\omega }}\quad {\text{(SI)}},\qquad {\underline {\varepsilon }}=\varepsilon +i{\frac {4\pi \sigma }{\omega }}\quad {\text{(cgs)}}.}$

По сравнению с предыдущим разделом, проводимость переменного тока удовлетворяет

${\displaystyle \sigma ={\frac {k\alpha }{\omega \mu }}\quad {\text{(SI)}},\qquad \sigma ={\frac {k\alpha \mathrm {c} ^{2}}{4\pi \omega \mu }}\quad {\text{(cgs)}}.}$

Примечания

1. MIT OpenCourseWare 6.007 Дополнительные примечания: Условные обозначения в электромагнитных (ЭМ) волнах
2. Для определения комплексного показателя преломления с положительной мнимой частью см. Оптические свойства твердых тел, Марк Фокс, стр. 6. Для определения комплексного показателя преломления с отрицательной мнимой частью см. Справочник по инфракрасным оптическим материалам, Пол Клочек, стр. 588.
3. Гриффитс, раздел 9.4.3.
4. Сборник химической терминологии ИЮПАК
5. Гриффитс, раздел 9.4.1.
6. Джексон, Раздел 5.18A
7. Джексон, Раздел 7.5.B
8. Лифанте, Хинес (2003). Интегрированная фотоника. п. 35. ISBN  978-0-470-84868-5.
9. «Постоянная распространения», в Глоссарии ATIS Telecom 2007
10. П. У. Хоукс; Б. Казань (1995-03-27). Adv Imaging и электронная физика. 92. п. 93. ISBN  978-0-08-057758-6.
11. С. Сиванагараджу (01.09.2008). Передача и распределение электроэнергии. п. 132. ISBN  9788131707913.
12. См., Например, Энциклопедия лазерной физики и техники
13. Панково, с. 87-89
14. Джексон, раздел 7.5C

Рекомендации

• Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Нью-Йорк: Вили. ISBN  0-471-30932-X.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл. ISBN  0-13-805326-X.
• Я. И. Панкове (1971). Оптические процессы в полупроводниках. Нью-Йорк: Dover Publications Inc.