Средне-периодическая функция - Mean-periodic function

В математический анализ, концепция средне-периодическая функция является обобщением концепции периодическая функция введен в 1935 г. Жан Дельсарт.^[1][2] Дальнейшие результаты были получены Лоран Шварц.^[3][4]

Определение

Рассмотрим сложный -значная функция ж из настоящий переменная. Функция ж периодичен с периодом а именно если на самом деле Икс, у нас есть ж(Икс) − ж(Икс − а) = 0. Это можно записать как

${\displaystyle \int f(x-y)\,d\mu (y)=0\qquad \qquad (1)}$

где ${\displaystyle \mu }$ разница между Меры Дирака при 0 иа. Функция ж периодичен в среднем, если он удовлетворяет тому же уравнению (1), но где ${\displaystyle \mu }$ - некоторая произвольная ненулевая мера с компактным (следовательно, ограниченным) носителем.

Уравнение (1) можно интерпретировать как свертка, так что периодическая в среднем функция есть функция ж для которого существует борелевская мера с компактным носителем (знаковая) ${\displaystyle \mu }$ для которого ${\displaystyle f*\mu =0}$.^[4]

Есть несколько хорошо известных эквивалентных определений.^[2]

Связь с почти периодическими функциями

Периодические в среднем функции представляют собой отдельное обобщение периодических функций из почти периодические функции. Например, экспоненциальные функции периодичны в среднем, поскольку ехр (Икс+1) − е.exp (Икс) = 0, но они не являются почти периодическими, так как они неограниченны. Тем не менее, есть теорема, согласно которой любой равномерно непрерывный ограниченная периодическая в среднем функция почти периодична (по Бору). С другой стороны, существуют почти периодические функции, которые не являются периодическими в среднем.^[2]

Приложения

В работе, связанной с Переписка Ленглендса, периодичность в среднем некоторых (связанных с) дзета-функций, связанных с арифметическая схема было предложено соответствовать автоморфности связанной L-функции.^[5] Существует определенный класс периодических в среднем функций, вытекающих из теории чисел.

Смотрите также

• 　почти периодические функции

использованная литература

1. Дельсарт, Жан (1935). "Периодические функции". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 17: 403–453.
2. Кахане, Ж.-П. (1959). Лекции о средне периодических функциях (PDF). Институт фундаментальных исследований Тата, Бомбей.
3. Мальгранж, Бернар (1954). "Fonctions moyenne-périodiques (d'après J.-P. Kahane)" (PDF). Séminaire Bourbaki (97): 425–437.
4. Шварц, Лоран (1947). "Теория женераль моды мояен-периодическая" (PDF). Анна. математики. 48 (2): 857–929. Дои:10.2307/1969386. JSTOR  1969386.
5. Фесенко, И.; Ricotta, G .; Судзуки, М. (2012). "Периодичность в среднем и дзета-функции". Annales de l'Institut Fourier. 62 (5): 1819–1887. arXiv:0803.2821. Дои:10.5802 / aif.2737.