Метод непрерывных дробей - Method of continued fractions

В метод непрерывных дробей - метод, разработанный специально для решения интегральных уравнений квантовая теория рассеяния подобно Уравнение Липпмана-Швингера или же Уравнения Фаддеева. Это было изобретено Горачек и Сасакава ^[1] в 1983 г. Целью метода является решение интегрального уравнения

${\displaystyle |\psi \rangle =|\phi \rangle +G_{0}V|\psi \rangle }$

итеративно и построить сходящийся непрерывная дробь для Т-матрица

${\displaystyle T=\langle \phi |V|\psi \rangle .}$

У метода есть два варианта. В первом (обозначенном как MCFV) мы строим аппроксимации оператора потенциальной энергии ${\displaystyle V}$ в виде разделимая функция ранга 1, 2, 3 ... Второй вариант (метод MCFG^[2]) строит аппроксимации конечного ранга к Оператор Грина. Приближения строятся в пределах Крыловское подпространство построенный из вектора ${\displaystyle |\phi \rangle }$ с действием оператора ${\displaystyle A=G_{0}V}$. Таким образом, метод можно понимать как повторное суммирование из (в целом расходятся) Родился сериал к Аппроксимации Паде. Это также тесно связано с Вариационный принцип Швингера В целом метод требует такого же количества числовой работы, как и расчет членов ряда Борна, но обеспечивает гораздо более быструю сходимость результатов.

Алгоритм MCFV

Вывод метода происходит следующим образом. Сначала мы представляем первый ранг (сепарабельное) приближение к потенциалу

${\displaystyle V={\frac {V|\phi \rangle \langle \phi |V}{\langle \phi |V|\phi \rangle }}+V_{1}.}$

Интегральное уравнение для ранговой части потенциала легко разрешимо. Поэтому полное решение исходной проблемы можно выразить как

${\displaystyle |\psi \rangle =|\phi \rangle +{\frac {T}{\langle \phi |V|\phi \rangle }}|\psi _{1}\rangle ,\qquad T={\frac {\langle \phi |V|\phi \rangle ^{2}}{\langle \phi |V|\phi \rangle -\langle \phi |V|\psi _{1}\rangle }},}$

с точки зрения новой функции ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$. Эта функция является решением модифицированного уравнения Липпмана-Швингера

${\displaystyle |\psi _{1}\rangle =|\phi _{1}\rangle +G_{0}V_{1}|\psi _{1}\rangle ,}$

с ${\displaystyle |\phi _{1}\rangle =G_{0}V|\phi \rangle .}$Остающийся потенциальный член ${\displaystyle V_{1}}$ прозрачен для приходящей волны

${\displaystyle V_{1}|\phi \rangle =\langle \phi |V_{1}=0,}$

я. е. это более слабый оператор, чем исходный. Новая задача, полученная таким образом для ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ имеет ту же форму, что и исходная, и мы можем повторить процедуру. Это относится к повторяющимся отношениям

${\displaystyle V_{i}=V_{i-1}-{\frac {V_{i-1}|\phi _{i-1}\rangle \langle \phi _{i-1}|V_{i-1}}{\langle \phi _{i-1}|V_{i-1}|\phi _{i-1}\rangle }}}$

${\displaystyle |\phi _{i}\rangle =G_{0}V_{i-1}|\phi _{i-1}\rangle .}$

Можно показать, что T-матрица исходной задачи может быть выражена в виде цепной дроби

${\displaystyle T={\cfrac {\beta _{0}^{2}}{\beta _{0}-\gamma _{1}-{\cfrac {\beta _{1}^{2}}{\beta _{1}-\gamma _{2}-{\cfrac {\beta _{2}^{2}}{\beta _{2}-\gamma _{3}-\ddots }}}}}},}$

где мы определили

${\displaystyle \beta _{i}=\langle \phi _{i-1}|V_{i-1}|\phi _{i-1}\rangle ,\qquad \gamma _{i}=\langle \phi _{i-1}|V_{i-1}|\phi _{i}\rangle .}$

В практических расчетах бесконечная цепная дробь заменяется конечной в предположении, что

${\displaystyle \beta _{N}=\beta _{N+1}=\dots =0,\qquad \gamma _{N}=\gamma _{N+1}=\dots =0.}$

Это эквивалентно предположению, что остаточное решение

${\displaystyle |\psi _{N}\rangle =|\phi _{N}\rangle +G_{0}V_{N}|\psi _{N}\rangle ,}$

незначительно. Это правдоподобное предположение, поскольку остаточный потенциал ${\displaystyle V_{N}}$ имеет все векторы${\displaystyle |\phi _{i}\rangle ,i=0,1,...,N-1}$ в его пустое пространство и можно показать, что этот потенциал сходится к нулю, а цепная дробь сходится к точной T-матрице.

Алгоритм MCFG

Второй вариант^[2] метода строят приближения к оператору Грина

${\displaystyle G_{i+1}=G_{i}-{\frac {|\phi _{i+1}\rangle \langle \phi _{i+1}|}{\langle \phi _{i}|V|\phi _{i+1}\rangle }},}$

теперь с векторами

${\displaystyle |\phi _{i+1}\rangle =G_{i}V|\phi _{i}\rangle }$.

Цепная дробь для T-матрицы теперь также сохраняется, с немного другим определением коэффициентов. ${\displaystyle \beta _{i},\gamma _{i}}$.^[2]

Свойства и отношение к другим методам

Выражения для T-матрицы, полученные обоими методами, можно отнести к определенному классу вариационных принципов. В случае первой итерации метода MCFV мы получаем тот же результат, что и из Вариационный принцип Швингера с пробной функцией ${\displaystyle |\psi \rangle =|\phi \rangle }$. Более высокие итерации с N членами в непрерывной дроби воспроизводят ровно 2N членов (2N + 1) Родился сериал для метода MCFV (или MCFG) соответственно. Метод апробирован при расчете столкновений электроны из атом водорода в приближении статического обмена. В этом случае метод воспроизводит точные результаты для сечение рассеяния на 6 значащих цифрах за 4 итерации. Также можно показать, что оба метода точно воспроизводят решение задачи Уравнение Липпмана-Швингера с потенциалом, данным оператор конечного ранга. При этом количество итераций равно рангу потенциала. Метод успешно применяется для решения задач как в ядерный^[3] и молекулярная физика.^[4]

Рекомендации

1. Горачек, Я.; Сасакава, Т. (1983). «Метод непрерывных дробей с приложением к атомной физике». Физический обзор A. 28 (4): 2151–2156. Дои:10.1103 / PhysRevA.28.2151. ISSN  0556-2791.
2. Horáček, J .; Сасакава, Т. (1984). «Метод непрерывных дробей применительно к атомной физике. II». Физический обзор A. 30 (5): 2274–2277. Дои:10.1103 / PhysRevA.30.2274. ISSN  0556-2791.
3. Сасакава Т. "Модели и методы в физике нескольких тел", под редакцией Феррейра, Фонсека, Стерит, Спрингер-Верлаг, Берлин, Гейдельберг, 1987 г.
4. Ribeiro, E.M.S .; Machado, L.E .; Ли, М.-Т .; Брескансин, Л. М. (2001). «Применение метода непрерывных фракций к рассеянию электронов на многоатомных молекулах». Компьютерная физика Коммуникации. 136 (1–2): 117–125. Дои:10.1016 / S0010-4655 (01) 00151-5. ISSN  0010-4655.