Неравенство Милнора – Вуда - Milnor–Wood inequality

В математика, более конкретно в дифференциальная геометрия и геометрическая топология, то Неравенство Милнора – Вуда препятствие для наложения пучков кругов на поверхности с плоской структурой. Он назван в честь Джон Милнор и Джон В. Вуд.

Плоские пучки

За линейные пучки, плоскостность определяется как обращение в нуль формы кривизны ассоциированного связь. Произвольная гладкая (или топологическая) d-размерный пучок волокон плоский, если он может быть наделен слоение коразмерности d, поперечной волокнам.

Неравенство

Неравенство Милнора – Вуда названо в честь двух отдельных результатов, которые были доказаны Джон Милнор и Джон В. Вуд. Оба они имеют дело с ориентируемыми расслоениями кругов над замкнутая ориентированная поверхность ${\displaystyle \Sigma _{g}}$ положительного рода грамм.

Теорема (Милнор, 1958)^[1] Позволять ${\displaystyle \pi \colon E\to \Sigma _{g}}$ - плоское ориентированное линейное расслоение окружностей. Тогда Число Эйлера пучка удовлетворяет ${\displaystyle |e(\pi )|\leq g-1}$.

Теорема (Вуд, 1971).^[2] Позволять ${\displaystyle \pi \colon E\to \Sigma _{g}}$ - плоское ориентированное топологическое расслоение окружностей. Тогда Число Эйлера пучка удовлетворяет ${\displaystyle |e(\pi )|\leq 2g-2}$.

Из теоремы Вуда следует более старый результат Милнора, поскольку гомоморфизм ${\displaystyle \pi _{1}:\Sigma \to SL(2,\mathbb {R} )}$ Классификация линейного плоского расслоения окружностей приводит к топологическому расслоению окружностей через двумерное карта покрытия ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )\to PSL(2,\mathbb {R} )\subset \operatorname {Homeo} ^{+}(S^{1})}$, удваивая число Эйлера.

Любое из этих двух утверждений можно иметь в виду, ссылаясь на неравенство Милнора – Вуда.

Рекомендации

1. Дж. Милнор. «О существовании связи нулевой кривизны». Comm. Математика. Helv. 21 (1958): 215–223.
2. Дж. Вуд. «Связки с полностью отключенной структурной группой» (PDF). Comm. Математика. Helv. 46 (1971): 257–273. Дои:10.1007 / BF02566843.