Личность Мингарелли - Mingarelli identity

В области обыкновенные дифференциальные уравнения, то Личность Мингарелли^[1] это теорема, которая дает критерии для колебание и отсутствие колебаний решений некоторых линейные дифференциальные уравнения в реальном домене. Это расширяет Личность Пиконе от двух до трех и более дифференциальных уравнений второго порядка.

Личность

Рассмотрим п решения следующей (несвязанной) системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка над т–Интервал [а, б]:

${\displaystyle (p_{i}(t)x_{i}^{\prime })^{\prime }+q_{i}(t)x_{i}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{i}(a)=1,\,\,x_{i}^{\prime }(a)=R_{i}}$ куда ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$.

Позволять ${\displaystyle \Delta }$ обозначают оператор прямой разности, т.е.

${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}.}$

Оператор разности второго порядка находится путем повторения оператора первого порядка, как в

${\displaystyle \Delta ^{2}(x_{i})=\Delta (\Delta x_{i})=x_{i+2}-2x_{i+1}+x_{i},}$,

с аналогичным определением для более высоких итераций. Оставив независимую переменную т для удобства и предполагая Икс_я(т) ≠ 0 на (а, б], там тождество,^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n-1}^{2}\Delta ^{n-1}(p_{1}r_{1})]_{a}^{b}&=\int _{a}^{b}(x_{n-1}^{\prime })^{2}\Delta ^{n-1}(p_{1})-\int _{a}^{b}x_{n-1}^{2}\Delta ^{n-1}(q_{1})-\sum _{k=0}^{n-1}C(n-1,k)(-1)^{n-k-1}\int _{a}^{b}p_{k+1}W^{2}(x_{k+1},x_{n-1})/x_{k+1}^{2},\end{aligned}}}$

куда

• ${\displaystyle r_{i}=x_{i}^{\prime }/x_{i}}$ это логарифмическая производная,
• ${\displaystyle W(x_{i},x_{j})=x_{i}^{\prime }x_{j}-x_{i}x_{j}^{\prime }}$, это Определитель Вронскиана,
• ${\displaystyle C(n-1,k)}$ находятся биномиальные коэффициенты.

Когда п = 2 это равенство сводится к Личность Пиконе.

Приложение

Вышеупомянутое тождество быстро приводит к следующей теореме сравнения для трех линейных дифференциальных уравнений:^[3] что расширяет классический Теорема сравнения Штурма – Пиконе.

Позволять п_я, q_я я = 1, 2, 3, - действительнозначные непрерывные функции на интервале [а, б] и разреши

1. ${\displaystyle (p_{1}(t)x_{1}^{\prime })^{\prime }+q_{1}(t)x_{1}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{1}(a)=1,\,\,x_{1}^{\prime }(a)=R_{1}}$
2. ${\displaystyle (p_{2}(t)x_{2}^{\prime })^{\prime }+q_{2}(t)x_{2}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{2}(a)=1,\,\,x_{2}^{\prime }(a)=R_{2}}$
3. ${\displaystyle (p_{3}(t)x_{3}^{\prime })^{\prime }+q_{3}(t)x_{3}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{3}(a)=1,\,\,x_{3}^{\prime }(a)=R_{3}}$

- три однородных линейных дифференциальных уравнения второго порядка в самосопряженная форма, куда

• п_я(т) > 0 для каждого я и для всех т в [а, б] , и
• то р_я - произвольные действительные числа.

Предположим, что для всех т в [а, б] у нас есть,

${\displaystyle \Delta ^{2}(q_{1})\geq 0}$,

${\displaystyle \Delta ^{2}(p_{1})\leq 0}$,

${\displaystyle \Delta ^{2}(p_{1}(a)R_{1})\leq 0}$.

Тогда, если Икс₁(т) > 0 на [а, б] и Икс₂(б) = 0, то любое решение Икс₃(т) имеет хотя бы один ноль в [а, б].

Примечания

1. Это выражение было придумано Филип Хартман, в соответствии с Кларк Д.Н., Г. Печелли и Р. Сакстедер (1981) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFClark_D.N., _ G._Pecelli, _and_R._Sacksteder1981 (помощь)
2. (Мингарелли 1979, п. 223).
3. (Мингарелли 1979, Теорема 2).

Рекомендации

• Clark D.N .; Г. Печелли & Р. Сакстедер (1981). Вклад в анализ и геометрию. Балтимор, США: Издательство Университета Джона Хопкинса. С. ix + 357. ISBN  0-80182-779-5.
• Мингарелли, Анджело Б. (1979). «Некоторые расширения теоремы Штурма – Пиконе». Comptes Rendus Mathématique. Торонто, Онтарио, Канада: Королевское общество Канады. 1 (4): 223–226.