Личность Мингарелли - Mingarelli identity

В области обыкновенные дифференциальные уравнения, то Личность Мингарелли[1] это теорема, которая дает критерии для колебание и отсутствие колебаний решений некоторых линейные дифференциальные уравнения в реальном домене. Это расширяет Личность Пиконе от двух до трех и более дифференциальных уравнений второго порядка.

Личность

Рассмотрим п решения следующей (несвязанной) системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка над т–Интервал [аб]:

куда .

Позволять обозначают оператор прямой разности, т.е.

Оператор разности второго порядка находится путем повторения оператора первого порядка, как в

,

с аналогичным определением для более высоких итераций. Оставив независимую переменную т для удобства и предполагая Икся(т) ≠ 0 на (аб], там тождество,[2]

куда

Когда п = 2 это равенство сводится к Личность Пиконе.

Приложение

Вышеупомянутое тождество быстро приводит к следующей теореме сравнения для трех линейных дифференциальных уравнений:[3] что расширяет классический Теорема сравнения Штурма – Пиконе.

Позволять пя, qя я = 1, 2, 3, - действительнозначные непрерывные функции на интервале [аб] и разреши

- три однородных линейных дифференциальных уравнения второго порядка в самосопряженная форма, куда

  • пя(т) > 0 для каждого я и для всех т в [аб] , и
  • то ря - произвольные действительные числа.

Предположим, что для всех т в [аб] у нас есть,

,
,
.

Тогда, если Икс1(т) > 0 на [аб] и Икс2(б) = 0, то любое решение Икс3(т) имеет хотя бы один ноль в [аб].

Примечания

  1. ^ Это выражение было придумано Филип Хартман, в соответствии с Кларк Д.Н., Г. Печелли и Р. Сакстедер (1981)
  2. ^ (Мингарелли 1979, п. 223).
  3. ^ (Мингарелли 1979, Теорема 2).

Рекомендации

  • Clark D.N .; Г. Печелли & Р. Сакстедер (1981). Вклад в анализ и геометрию. Балтимор, США: Издательство Университета Джона Хопкинса. С. ix + 357. ISBN  0-80182-779-5.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Мингарелли, Анджело Б. (1979). «Некоторые расширения теоремы Штурма – Пиконе». Comptes Rendus Mathématique. Торонто, Онтарио, Канада: Королевское общество Канады. 1 (4): 223–226.CS1 maint: ref = harv (связь)