Модуль (алгебраическая теория чисел) - Modulus (algebraic number theory)

Для операции, которая дает остаток числа, см. Операция по модулю.

В математика, в области алгебраическая теория чисел, а модуль (множественное число модули) (или же цикл,^[1] или же расширенный идеал^[2]) является формальным продуктом места из глобальное поле (т.е. поле алгебраических чисел или поле глобальной функции ). Он используется для кодирования разветвление данные для абелевы расширения глобального поля.

Определение

Позволять K быть глобальным полем с кольцо целых чисел р. А модуль официальный продукт^[3][4]

${displaystyle mathbf {m} =prod _{mathbf {p} }mathbf {p} ^{u (mathbf {p} )},,,u (mathbf {p} )geq 0}$

куда п проходит через все места из K, конечный или же бесконечный, показатели ν (п) равны нулю, за исключением конечного числа п. Если K - числовое поле, ν (п) = 0 или 1 для действительных мест и ν (п) = 0 для сложных мест. Если K - функциональное поле, ν (п) = 0 для всех бесконечных мест.

В случае функционального поля модуль - это то же самое, что и эффективный делитель,^[5] а в случае числового поля модуль можно рассматривать как особую форму Делитель Аракелова.^[6]

Понятие соответствие может быть расширен до настройки модулей. Если а и б являются элементами K^×, определение а ≡^∗б (модп^ν) зависит от типа простого п является:^[7][8]

• если конечно, то

${displaystyle aequiv ^{ast }!b,(mathrm {mod} ,mathbf {p} ^{u })Leftrightarrow mathrm {ord} _{mathbf {p} }left({frac {a}{b}}-1ight)geq u }$

где ord_п это нормализованная оценка связано с п;

• если это реальная позиция (числового поля) и ν = 1, то

${displaystyle aequiv ^{ast }!b,(mathrm {mod} ,mathbf {p} )Leftrightarrow {frac {a}{b}}>0}$

под реальное вложение связано с п.

• если это любое другое бесконечное место, нет никаких условий.

Тогда, учитывая модуль м, а ≡^∗б (модм) если а ≡^∗б (модп^{ν (п)}) для всех п такое, что ν (п) > 0.

Группа классов лучей

Основная статья: Группа классов лучей

В луч по модулю m является^[9][10][11]

${displaystyle K_{mathbf {m} ,1}=left{ain K^{ imes }:aequiv ^{ast }!1,(mathrm {mod} ,mathbf {m} )ight}.}$

Модуль м можно разделить на две части, м_ж и м_∞, произведение по конечным и бесконечным точкам соответственно. Позволять я^м быть одним из следующих:

• если K числовое поле, подгруппа группа фракционных идеалов порожденные идеалами, взаимно простыми с м_ж;^[12]
• если K является функциональным полем алгебраическая кривая над k, группа дивизоров, рациональный над k, с поддерживать далеко от м.^[13]

В обоих случаях есть групповой гомоморфизм я : K_м,1 → я^м получено путем отправки а к главный идеал (соотв. делитель ) (а).

В группа классов лучей по модулю m частное C_м = я^м / я (K_м,1).^[14][15] Класс i (K_м,1) называется класс лучей по модулю m.

Эрих Хекке оригинальное определение Гекке персонажи может быть истолковано с точки зрения символы группы классов лучей по некоторому модулю м.^[16]

Характеристики

Когда K является числовым полем, выполняются следующие свойства.^[17]

• Когда м = 1, группа классов лучей - это просто группа идеального класса.
• Группа классов лучей конечна. Его порядок номер класса луча.
• Номер класса луча делится на номер класса из K.

Примечания

1. Lang 1994, §VI.1
2. Кон 1985, определение 7.2.1
3. Януш 1996, §IV.1
4. Серр 1988, §III.1
5. Серр 1988, §III.1
6. Нойкирх 1999, §III.1
7. Януш 1996, §IV.1
8. Серр 1988, §III.1
9. Милн 2008, §V.1
10. Януш 1996, §IV.1
11. Серр 1988, §VI.6
12. Януш 1996, §IV.1
13. Серр 1988, §V.1
14. Януш 1996, §IV.1
15. Серр 1988, §VI.6
16. Нойкирх 1999, §VII.6
17. Януш 1996, §4.1

Рекомендации

• Кон, Харви (1985), Введение в построение полей классов, Кембриджские исследования по высшей математике, 6, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-24762-7
• Януш, Джеральд Дж. (1996), Поля алгебраических чисел, Аспирантура по математике, 7, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-0429-2
• Ланг, Серж (1994), Алгебраическая теория чисел, Тексты для выпускников по математике, 110 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94225-4, МИСТЕР  1282723
• Милн, Джеймс (2008), Теория поля классов (v4.0 изд.), получено 2010-02-22
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 322. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-65399-8. МИСТЕР  1697859. Zbl  0956.11021.
• Серр, Жан-Пьер (1988), Алгебраические группы и поля классов, Тексты для выпускников по математике, 117, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-96648-9