Соотношение импульса и глубины в прямоугольном канале - Momentum–depth relationship in a rectangular channel

В классическом физика, импульс является произведением массы и скорости и является векторной величиной, но в механика жидкости он рассматривается как продольная величина (то есть одно измерение), оцениваемая в направлении потока. Кроме того, он оценивается как импульс в единицу времени, соответствующий произведению массовый расход и скорость, и поэтому у него есть единицы силы. Импульсные силы, рассматриваемые в поток в открытом канале являются динамической силой, зависящей от глубины и скорости потока, и статической силой, зависящей от глубины, на которые влияют сила тяжести.

Принцип сохранения количества движения в потоке в открытом канале применяется в терминах удельная сила, или функция импульса; который имеет единицы длины в кубе для любой формы поперечного сечения или может рассматриваться как квадрат длины в случае прямоугольных каналов. Хотя это и не является технически правильным, термин импульс будет использоваться для замены концепции функции импульса. Сопряженное уравнение глубины, которое описывает глубины по обе стороны от гидравлический прыжок, может быть получено из сохранения количества движения в прямоугольных каналах на основе соотношения между количеством движения и глубиной потока. Концепция импульса также может быть применена для оценки силы тяги на шлюзе, устройстве, которое сохраняет удельная энергия но теряет динамику.

Вывод уравнения функции импульса из баланса импульса и силы

В гидродинамике баланс количества движения и силы в контрольном объеме определяется выражением:

${\displaystyle M_{1}+M_{2}=F_{w}+F_{f}+F_{P1}+F_{P2}}$

Где:

• M = импульс в единицу времени (ML / t²)
• F_ш = сила гравитации за счет веса воды (МЛ / т²)
• F_ж = сила из-за трение (МЛ / т²)
• F_п = давление сила (МЛ / т²)
• нижние индексы 1 и 2 обозначают положения вверх и вниз по течению соответственно
• Единицы: L = длина, t = время, M = масса

Применяя баланс количества движения и силы в направлении потока в горизонтальном канале (т. Е. F_ш = 0) и без учета силы трения (гладкое дно и стенки канала):

${\displaystyle M_{1x}+M_{2x}=F_{P1x}+F_{P2x}}$

Подставляя компоненты количества движения в единицу времени и силы давления (с их соответствующими положительными или отрицательными направлениями):

${\displaystyle M_{1x}={\dot {m}}V_{1x}=-\rho QV_{1}\quad and\quad F_{P1x}={\overline {P}}_{1}A_{1}}$

${\displaystyle M_{2x}={\dot {m}}V_{2x}=-\rho QV_{2}\quad and\quad F_{P2x}={\overline {P}}_{2}A_{2}}$

Уравнение становится:

${\displaystyle -\rho QV_{1}+\rho QV_{2}={\overline {P}}_{1}A_{1}-{\overline {P}}_{2}A_{2}}$

Где:

• ${\displaystyle {\dot {m}}}$ = массовый расход (м / т)
• ρ = плотность жидкости (M / L³)
• Q = расход или расход в канале (L³/ т)
• V = скорость потока (л / т)
• ${\displaystyle {\overline {P}}}$ = среднее давление (M / Lt²)
• A = площадь поперечного сечения потока (L²)
• нижние индексы 1 и 2 обозначают положения вверх и вниз по течению соответственно
• Единицы: L (длина); t (время); M (масса)

В гидростатическое давление Распределение имеет треугольную форму от поверхности воды до дна канала (рис. 1). Среднее давление можно получить из интеграла распределения давления:

${\displaystyle {\overline {P}}={1 \over 2}\rho gy}$

Где:

• y = глубина потока (L)
• g = гравитационная постоянная (л / т²)

Рисунок 1: Распределение статического давления

Применяя уравнение неразрывности:

${\displaystyle Q=V_{1}A_{1}=V_{2}A_{2}}$

В случае прямоугольных каналов (т.е. постоянной ширины «b») расход Q можно заменить единичным расходом q, где q = Q / b, что дает:

${\displaystyle q=V_{1}y_{1}=V_{2}y_{2}}$

И поэтому:

${\displaystyle V_{1}=q/y_{1}\quad and\quad V_{2}=q/y_{2}}$

Разделив левую и правую части уравнения импульса-силы на ширину канала и подставив указанные выше соотношения:

${\displaystyle -{\rho q\left({q \over {y_{1}}}\right)}+{\rho q\left({q \over {y_{2}}}\right)}=\left({1 \over 2}\rho g{y_{1}}\right){y_{1}}-{\left({1 \over 2}\rho g{y_{2}}\right){y_{2}}}}$

• нижние индексы 1 и 2 обозначают положения вверх и вниз по течению соответственно.

Делим на ρg:

${\displaystyle -{q^{2} \over g{y_{1}}}+{q^{2} \over g{y_{2}}}={{y_{1}}^{2} \over 2}-{{y_{2}}^{2} \over 2}}$

Разделение переменных на основе сторон прыжка:

${\displaystyle {{y_{1}}^{2} \over 2}+{q^{2} \over g{y_{1}}}={{y_{2}}^{2} \over 2}+{q^{2} \over g{y_{2}}}}$

В приведенном выше соотношении обе стороны соответствуют удельная сила, или функция импульса от ширины канала, также называемая M_{единица измерения}.

${\displaystyle M_{\text{unit}}={y^{2} \over 2}+{q^{2} \over gy}}$

Это уравнение действительно только в определенных уникальных обстоятельствах, например, в лаборатории. лоток, где канал действительно прямоугольный, а канал склон нулевое или маленькое. В этом случае можно предположить, что гидростатическое давление распространяется. M_{единица измерения} выражается в единицах L². Если ширина канала известна, полная удельная сила (L³) в точке можно определить, умножив M_{единица измерения} по ширине, б.

Гидравлические прыжки и сохранение количества движения

На рисунке 2 изображен гидравлический прыжок. Гидравлический скачок представляет собой область быстро меняющегося потока и образуется в канале, когда сверхкритический поток переходит в докритический поток.^[1] Это изменение типа потока проявляется как резкое изменение глубины потока от более мелкого, быстро движущегося сверхкритического потока к более глубокому, медленно движущемуся докритическому потоку. При отсутствии дополнительных сил сопротивления импульс сохраняется.

Скачок заставляет поверхность воды резко подниматься, и в результате образуются поверхностные валки, происходит интенсивное перемешивание, воздух увлекается, и обычно рассеивается большое количество энергии. По этим причинам в инженерных системах гидравлический прыжок иногда вызывается в попытке рассеять энергию потока, смешать химические вещества или действовать как аэрация устройство.^[2][3]

Закон сохранение импульса утверждает, что полный импульс закрытая система объектов (который не взаимодействует с внешними агентами) постоянен.^[4] Несмотря на то, что происходит потеря энергии, импульс при гидравлическом прыжке все же сохраняется. Это означает, что глубина потока по обе стороны от скачка будет иметь одинаковый импульс, и таким образом, если известны импульс и глубина потока по обе стороны от скачка, можно определить глубину с другой стороны от скачка. прыжок. Эти парные глубины известны как последовательные глубины, или же сопряженные глубины. Последнее верно, если прыжок не вызван внешней силой или внешним влиянием.

Рисунок 2: Сохранение импульса - гидравлический прыжок

Зеленая рамка на рисунке 2 представляет контрольный объем закрывает систему прыжков и показывает основные давление силы на систему (F_P1 и F_P2). Поскольку эта система считается горизонтальной (или почти горизонтальной) и не имеет трения, горизонтальные компоненты силы, которые обычно возникают из-за трения (F_ж) и вес воды из наклонного канала (F_ш) игнорируются. Стоит отметить, что наклон треугольных распределений гидростатического давления на каждом участке соответствует удельному весу воды (γ), который измеряется в единицах (м / л²т²)

Диаграмма M-y

Диаграмма M-y представляет собой график зависимости глубины потока (y) от количества движения (M). В этом случае M не относится к импульсу (M / Lt²), а функции импульса (L³ или L²). Это создает конкретную кривую импульса, которая создается путем вычисления импульса для диапазона значений глубины и построения графика результатов. Каждая кривая M-y уникальна для определенного расход, Q, или единичный расход, q. Импульс на оси x графика может иметь единицы длины.³ (при использовании общего уравнения функции импульса) или единиц длины² (при использовании прямоугольной формы M_{единица измерения} уравнение). В прямоугольном канале единичной ширины кривая M-y строится с использованием:

${\displaystyle M_{\text{unit}}={q^{2} \over gy}+{y^{2} \over 2}}$

На рисунке 3 показан образец диаграммы M-y, показывающий графики четырех кривых удельного импульса. Каждая из этих кривых соответствует определенному q как указано на рисунке. По мере увеличения расхода агрегата кривая смещается вправо.

Рисунок 3: Кривые M-y для различных расходов агрегата

Диаграммы M-y могут предоставить информацию о характеристиках и поведении определенного разряда в канале. В первую очередь, диаграмма M-y покажет, какие глубины потока соответствуют сверхкритический или же докритический поток для данного увольнять, а также определение критической глубины и критического количества движения потока. Кроме того, диаграммы M-y могут помочь в поиске сопряженные глубины потока, которые имеют такую ​​же удельную силу или функцию импульса, как и в случае глубин потока по обе стороны от гидравлический прыжок. А безразмерный вид диаграммы M-y Представление любого единичного разряда может быть создано и использовано вместо конкретных кривых M-y, обсуждаемых здесь и упомянутых на рисунке 3.

Критический поток

Поток называется критический если объемная скорость потока ${\displaystyle V}$ равна скорости распространения мелкой гравитационная волна ${\displaystyle {\sqrt {gy}}}$.^[1][5] При критическом расходе удельная энергия и удельный импульс (сила) минимальны для данного разряда.^[1] На рисунке 4 показана эта взаимосвязь, показывая кривая удельной энергии (Диаграмма E-y) рядом с соответствующей кривой удельного импульса (диаграмма M-y) для единичного расхода q = 10 футов²/ с. Зеленая линия на этих рисунках пересекает кривые при минимальном значении оси X, которое показывает каждая кривая. Как уже отмечалось, оба этих пересечения происходят на глубине примерно 1,46 фута, что является критической глубиной потока для конкретных условий в данном канале. Эта критическая глубина представляет собой глубину перехода в канале, где поток переключается с сверхкритический поток к докритический поток или наоборот.

Рисунок 4: Кривые E-y и M-y для прямоугольного канала с q = 10 футов²/ с

В прямоугольном канале критическая глубина (y_c) также можно найти математически, используя следующее уравнение:

${\displaystyle y_{c}=\left({q^{2} \over g}\right)^{1 \over 3}}$

Где:

• g = гравитационная постоянная (Л / т²)
• q = удельный расход или расход - для прямоугольного канала, увольнять на единицу ширины канала (L²/ т)

Сравнение сверхкритического потока и докритического потока на диаграмме M-y

Как упоминалось ранее, диаграмма M-y может предоставить указание классификации потока для данной глубины и расхода. Когда поток не является критическим, он классифицируется как субкритический или же сверхкритический. Это различие основано на Число Фруда потока, который представляет собой отношение объемной скорости (V) к скорости распространения мелкой волны:${\displaystyle \left({\sqrt {gy}}\right)}$.^[5] Общее уравнение числа Фруда выражается в единицах силы тяжести (g), скорости потока (V) и гидравлической глубины (A / B), где (A) представляет площадь поперечного сечения, а (B) - ширину верхней части. Для прямоугольных каналов это отношение равно глубине потока (y).

${\displaystyle F_{r}={{V} \over {\sqrt {g\left({A \over B}\right)}}}={{V} \over {\sqrt {gy}}}}$

Число Фруда больше единицы равно сверхкритический, а Число Фруда меньше чем один субкритический. В целом сверхкритические потоки бывают мелкими и быстрыми, а докритические - глубокими и медленными. Эти различные классификации потоков также представлены на диаграммах M-y, где разные области графика представляют разные типы потоков. На рисунке 5 показаны эти области с кривой удельного импульса, соответствующей q = 10 футов.²/ с. Как указывалось ранее, критический поток представлен минимальным импульсом, который существует на кривой (зеленая линия). Сверхкритические потоки соответствуют любой точке на кривой импульса, которая имеет глубину меньше критической глубины с докритические потоки имеющий глубину больше критической.^[6]

Рисунок 5: Кривая M-y. Докритические и сверхкритические области для q = 10 футов²/ с

Сопряженные глубины в прямоугольном канале

Сопряженные, или последовательные, глубины - это парные глубины, которые образуются выше и ниже по потоку от гидравлического скачка, при этом поток выше по потоку является сверхкритическим, а поток ниже по потоку - докритическим. Сопряженные глубины можно найти либо графически, используя конкретную кривую импульса, либо алгебраически с помощью набора уравнений. Поскольку импульс сохраняется во время гидравлического скачка, сопряженные глубины имеют эквивалентный импульс, и при наличии разряда сопряженность потока с любой глубиной может быть определена с помощью диаграммы M-y (рис. 6).

Вертикальная линия, которая дважды пересекает кривую M-y (т.е. некритические условия потока), представляет глубины на противоположных сторонах гидравлического скачка. При достаточном импульсе (импульсе, превышающем критический поток), сопряженная пара глубин существует в каждой точке, где вертикальная линия пересекает кривую M-y. Рисунок 6 иллюстрирует это поведение с импульсом 10 футов.² для единичного разряда 10 футов²/ с. Эта линия импульса пересекает кривую M-y на глубинах 0,312 (y₁) и 4,31 фута (y₂). Глубина y₁ соответствует сверхкритической глубине перед скачком, а глубина y₂ соответствует докритической глубине после скачка.

Глубину сопряжения также можно рассчитать с помощью Число Фруда и глубина либо сверхкритический или же субкритический поток. Следующие уравнения можно использовать для определения сопряженная глубина на известную глубину в прямоугольном канале:

${\displaystyle y_{2}={y_{1} \over 2}\left(-1+{\sqrt {(1+8{F_{r_{1}}}^{2})}}\right)\quad or\quad y_{1}={y_{2} \over 2}\left(-1+{\sqrt {(1+8{F_{r_{2}}}^{2})}}\right)}$

Рисунок 6: Диаграмма M-Y для q = 10 футов²/ с Отображение сопряженных глубин, соответствующих импульсу 10 футов²

Вывод уравнения сопряженной глубины для прямоугольного канала.

Начнем с сохранение импульса функция ${\displaystyle M_{1}=M_{2}}$, для прямоугольных каналов:

${\displaystyle \left({q^{2} \over gy_{1}}+{y_{1}^{2} \over 2}\right)=\left({q^{2} \over gy_{2}}+{y_{2}^{2} \over 2}\right)}$

Где:

• q = расход на единицу ширины канала (L²/ т)
• g = гравитационная постоянная (Л / т²)
• y = глубина потока (L)
• нижние индексы 1 и 2 обозначают положения вверх и вниз по течению соответственно.

Изолировать q² члены по одну сторону от знака равенства с ${\displaystyle y^{2}}$ условия с другой стороны:

${\displaystyle {q^{2} \over gy_{1}}-{q^{2} \over gy_{2}}=-{y_{1}^{2} \over 2}+{y_{2}^{2} \over 2}}$

Разложите на множители постоянные члены q²/ г и 1/2:

${\displaystyle {q^{2} \over g}\left({1 \over y_{1}}-{1 \over y_{2}}\right)={1 \over 2}({y_{2}^{2}}-{y_{1}^{2}})}$

Объедините члены глубины в левой части и разверните квадратичную в правой части:

${\displaystyle {q^{2} \over g}\left({{y_{2}-y_{1}} \over {y_{1}y_{2}}}\right)={1 \over 2}({y_{2}-y_{1}})({y_{2}+y_{1}})}$

Поделить на ${\displaystyle (y_{2}-y_{1})}$:

${\displaystyle {q^{2} \over g}\left({1 \over {y_{1}y_{2}}}\right)={1 \over 2}({y_{2}+y_{1}})}$

Вспомните непрерывность в прямоугольном канале, что:

${\displaystyle q=V_{1}y_{1}=V_{2}y_{2}}$

Заменять ${\displaystyle V_{1}y_{1}}$ в левую часть уравнения для q:

${\displaystyle {{V_{1}^{2}y_{1}^{2}} \over {gy_{1}y_{2}}}={{V_{1}^{2}y_{1}} \over {gy_{2}}}={{y_{2}+y_{1}} \over 2}}$

Поделить на ${\displaystyle {y_{1}/y_{2}}}$:

${\displaystyle {{V_{1}^{2}} \over {g}}={{y_{2}({y_{2}+y_{1}})} \over {2y_{1}}}}$

Поделить на ${\displaystyle y_{1}}$ и признаем, что левая часть теперь равна F_r1²:

${\displaystyle {{V_{1}^{2}} \over {gy_{1}}}={{y_{2}({y_{2}+y_{1}})} \over {2y_{1}^{2}}}\Rightarrow {V_{1}^{2} \over gy_{1}}=F_{r_{1}}^{2}={y_{2}^{2} \over {2y_{1}^{2}}}+{{y_{2}y_{1}} \over 2y_{1}^{2}}={y_{2}^{2} \over {2y_{1}^{2}}}+{{y_{2}} \over 2y_{1}}}$

Переставьте и установите уравнение равным нулю:

${\displaystyle 0={y_{2}^{2} \over {2y_{1}^{2}}}+{{y_{2}} \over 2y_{1}}-F_{r_{1}}^{2}}$

Чтобы облегчить следующий шаг, позвольте ${\displaystyle x={y_{2}/y_{1}}}$, и приведенное выше уравнение становится:

${\displaystyle 0={1 \over {2}}x^{2}+{1 \over {2}}x-F_{r_{1}}^{2}}$

Решить для ${\displaystyle x}$ с использованием квадратное уровненеие с ${\displaystyle a={1/2}}$, ${\displaystyle b={1/2}}$, и ${\displaystyle c=}$-F_r1²:

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad \Rightarrow \quad x={y_{2} \over y_{1}}={\frac {-{1 \over 2}\pm {\sqrt {{1 \over 2}^{2}-4\left({1 \over 2}\right)\left(-F_{r_{1}}^{2}\right)}}}{2\left({1 \over 2}\right)}}={\frac {-{1 \over 2}\pm {\sqrt {{1 \over 4}+2{F_{r_{1}}^{2}}}}}{1}}}$

Вытяните 1/4 квадратного корня изнутри:

${\displaystyle {y_{2} \over y_{1}}=-{1 \over 2}\pm {\sqrt {{1 \over 4}\left(1+8{F_{r_{1}}^{2}}\right)}}=-{1 \over 2}\pm {1 \over 2}{\sqrt {\left(1+8{F_{r_{1}}^{2}}\right)}}}$

Сосредоточьтесь на корне с положительным вторым членом:

${\displaystyle {y_{2} \over y_{1}}=-{1 \over 2}+{1 \over 2}{\sqrt {\left(1+8{F_{r_{1}}^{2}}\right)}}\quad \Rightarrow \quad y_{2}=-{y_{1} \over 2}+{y_{1} \over 2}{\sqrt {\left(1+8{F_{r_{1}}^{2}}\right)}}}$

Разложите на множители (y₁/ 2) сроки:

${\displaystyle y_{2}={y_{1} \over 2}\left(-1+{\sqrt {\left(1+8{F_{r_{1}}^{2}}\right)}}\right)}$

Вышеупомянутое уравнение сопряженной глубины в прямоугольном канале может использоваться для нахождения докритической или сверхкритической глубины из известных условий либо выше по потоку (y₁, F_r1) или ниже по потоку (y₂, F_r2).

Примечание о сопряженных глубинах по сравнению с альтернативными глубинами

Важно не перепутать сопряженные глубины (между которыми сохраняется импульс) с чередующиеся глубины (между которыми сохраняется энергия). В случае гидравлического прыжка поток испытывает некоторую потерю энергии напором, так что докритический поток после скачка содержит меньше энергии, чем сверхкритический поток перед прыжком. Альтернативные глубины действительны по сравнению с энергосберегающими устройствами, такими как шлюзовые ворота и сопряженные глубины действительны для устройств сохранения импульса, таких как гидравлические прыжки.

Применение уравнения функции импульса для оценки силы тяги на шлюзе.

Уравнение количества движения может быть применено для определения силы, действующей со стороны воды на ворота шлюза (Рисунок 7). Вопреки сохранению жидкости энергия когда поток встречает шлюз, импульс вверх и вниз по потоку от шлюза не сохраняется. В толкать сила, действующая на затвор, помещенный в прямоугольный канал, может быть получена из следующего уравнения, которое может быть получено так же, как уравнение сохранения количества движения для прямоугольных каналов:

${\displaystyle F_{\text{thrust-gate}}=\gamma b(\Delta M)=\gamma b(M_{\text{unit,1}}-M_{\text{unit,2}})}$

Где:

• F_{заслонка} = сила, оказываемая водой на затвор шлюза (мл / т²)
• γ = удельный вес воды (М / л²т²)
• ΔM_{единица измерения} = разница в импульсе на единицу ширины между входной и выходной сторонами шлюзового затвора (L²).

Рисунок 7: Сила на шлюзе (упрощенная версия)

Пример

Вода течет по гладкому прямоугольному каналу без трения со скоростью 100,0 кубических футов в секунду. Ширина канала составляет 10,0 футов. Измеренная глубина потока перед шлюзом составила 16,3 фута с соответствующим чередующиеся глубины 0,312 фута. Температура воды составила 70 ° F. Какая сила тяги у ворот?

Применяя уравнение количества движения на единицу ширины к положениям выше и ниже по потоку соответственно:

${\displaystyle M_{\text{unit}}={{y^{2}} \over 2}+{{q^{2}} \over gy}}$

${\displaystyle M_{\text{unit,1}}={{{y_{1}}^{2}} \over 2}+{{q^{2}} \over gy_{1}}={{{16.3}^{2}} \over 2}+{{{\left({100 \over 10}\right)}^{2}} \over {(32.2)(16.3)}}}$

${\displaystyle M_{\text{unit,1}}=132\quad ft^{2}}$

и

${\displaystyle M_{\text{unit,2}}=10\quad ft^{2}}$

Удельный вес воды при температуре 70 ° F составляет 62,30 ${\displaystyle {lb/ft^{3}}}$. Результирующая чистая осевая сила на шлюзе составляет:

${\displaystyle F_{\text{thrust-gate}}=\gamma b(M_{\text{unit,1}}-M_{\text{unit,2}})}$

${\displaystyle F_{\text{thrust-gate}}=(62.30)(10)(132-10)}$

${\displaystyle F_{\text{thrust-gate}}=76,142\quad lbs}$

Рекомендации

1. Хендерсон, Ф. М. (1966). Open Channel Flow, MacMillan Publishing Co., Inc., Нью-Йорк, штат Нью-Йорк.
2. Чаудри, М. Х. (2008). Открытый поток, Springer Science + Business Media, LLC, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк.
3. Штурм, Т. В. (2010). Гидравлика открытого канала, Макгроу-Хилл, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк.
4. Финнемор, Э. Дж., И Францини, Дж. Б. (2002). Механика жидкостей с инженерными приложениями, Макгроу-Хилл, Нью-Йорк, Нью-Йорк.
5. Чоу, В. Т. (1959). Гидравлика открытого канала, Макгроу-Хилл, Нью-Йорк, Нью-Йорк.
6. Френч, Р. Х. (1985). Гидравлика открытого канала, Макгроу-Хилл, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк.