Безразмерная зависимость количества движения от глубины в потоке в открытом канале - Dimensionless momentum-depth relationship in open-channel flow

Импульс в потоке в открытом канале

Что такое импульс?

Импульс для одномерного течения в канале может быть задано выражением:

${\displaystyle M={\frac {Q^{2}}{gA}}+{\overline {y}}A}$

куда: M - импульс [L^3] Q - скорость потока [л^3/ с] g - ускорение свободного падения [L / T^2] A - площадь поперечного сечения потока [L^2] ȳ - расстояние от центра тяжести точки A до поверхности воды [L]

За поток в открытом канале расчеты, в которых импульс можно считать равным консервированный, например, в гидравлическом прыжке, мы^{[ВОЗ? ]} можно приравнять Моментум вверх по течению, M₁к тому, что находится ниже по потоку, M₂, такое, что:

${\displaystyle M_{1}={\frac {Q^{2}}{gA_{1}}}+{\overline {y}}_{1}A_{1}={\frac {Q^{2}}{gA_{2}}}+{\overline {y}}_{2}A_{2}=M_{2}}$

Импульс в прямоугольном канале

В уникальном случае, когда поток находится в прямоугольном канале (таком как лабораторный лоток), мы можем описать это соотношение как единичный импульс, разделив обе части уравнения на ширину канала. Это производит _тыM в ft², и задается уравнением:

${\displaystyle {_{u}M_{1}}={\frac {q^{2}}{gy_{1}}}+{\frac {y_{1}^{2}}{2}}={\frac {q^{2}}{gy_{2}}}+{\frac {y_{2}^{2}}{2}}={_{u}M_{2}}}$

куда: тыM - это M / b [L^2] q - это Q / b [L^2/ T] b - ширина основания прямоугольного канала [L]

Почему импульс важен в потоке в открытом канале?

Импульс - одно из важнейших основных определений в Механика жидкости. Сохранение количества движения - один из трех фундаментальных физических принципов в механике жидкости и [поток в открытом канале | поток в открытом канале] (два других - сохранение массы и сохранение энергии). Этот принцип приводит к уравнению импульса в трех измерениях (x, y и z). При различных предположениях эти уравнения импульса можно упростить до нескольких широко применяемых форм:

Согласно второму закону Ньютона, Ньютоновские жидкости предположения и гипотезы Стокса, исходные уравнения движения жидкости выводятся как Уравнения Навье – Стокса. Эти уравнения являются классическими в механике жидкостей, но нелинейность в этих уравнениях в частных производных затрудняет их математическое решение. В результате аналитические решения уравнений Навье – Стокса все еще остаются сложной темой для исследований.

Для потока с высоким числом Рейнольдса влияние вязкости незначительно. В этих случаях при невязком предположении Уравнения Навье – Стокса можно получить как Уравнения Эйлера. Хотя они по-прежнему являются нелинейными уравнениями в частных производных, устранение вязких членов упрощает проблему.

В некоторых приложениях, когда вязкость, вращательность и сжимаемость жидкости можно пренебречь, уравнения Навье – Стокса могут быть дополнительно упрощены до формы уравнения Лапласа, которое называется потенциальный поток.

В вычислительная гидродинамика, решение упомянутых выше уравнений движения в частных производных с помощью дискретных алгебраических уравнений является наиболее важной процедурой для изучения характеристик потока в различных приложениях.

Импульс также позволяет нам описывать характеристики потока, когда энергия не сохраняется. HEC-RAS широко используемая компьютерная модель, разработанная Инженерным корпусом армии США для расчета профилей водной поверхности, считает, что, когда поток проходит через критическую глубину, основное предположение о постепенном изменении потока, требуемое для уравнения энергии, неприменимо. Места, в которых поток может совершать такой переход, включают: значительные изменения уклона, геометрии русла (например, участки моста), конструкции для контроля уровня и место слияния водоемов. В этих случаях HEC-RAS будет использовать форму уравнения количества движения, чтобы найти высоту поверхности воды в неизвестном месте.

Кроме того, поток количества движения является одним из параметров для оценки воздействия флюида на морские конструкции. Анализ импульсного потока в прибрежных регионах может обеспечить рекомендуемое планирование инфраструктуры для минимизации потенциальных опасностей от экстремальных явлений, таких как штормовой нагон, ураган и цунами (например, (Park et al. 2013), (Yeh 2006), (Guard et al. 2005) ) и (Chanson et al. 2002)).

Каковы характеристики импульса?

Для обсуждения рассмотрим идеальную, не имеющую трения, прямоугольный канал. Для каждого значения q a уникальная кривая может быть произведено там, где M отображается как функция глубины. Как и в случае удельной энергии, минимальное значение _тыМ, _тыM_мин, соответствует критическая глубина. Для каждого значения _тыM больше чем _тыM_мин, возможны две глубины. Они называются сопряженными глубинами и представляют собой сверхкритические и подкритические альтернативы для потока данного _тыМ. С гидравлические прыжки сохранить импульс, если известна глубина на входе или выходе гидравлического прыжка, мы можем определить неизвестную глубину, проведя вертикальную линию через известную глубину и считывая ее сопряженную. На диаграмме M-y ниже показаны три кривые M-y с расходом агрегата 10, 15 и 20 футов.²/ с. Можно заметить, что кривые M-y смещаются в положительном направлении оси M по мере увеличения значения q. Из упомянутого ранее уравнения M-y, когда y увеличивается до бесконечности, q² / gy₁ член будет незначительным, и значение M будет сходиться к 0,5y² (показана черной пунктирной кривой на диаграмме M-y). Взяв производную dM / dy = 0, мы также можем получить уравнение минимума M с разными значениями q:

${\displaystyle {\frac {dM}{dy}}=y_{c}-{\frac {q^{2}}{gy_{c}^{2}}}}$

Удалив член q в приведенном выше уравнении со связью между q и y_c (y_c = (q² / грамм )^1/3 ), и поместив полученное уравнение y в исходное уравнение M-y ccg3 ce, мы можем получить характеристическую кривую критических M и y (показанную красной пунктирной кривой на диаграмме M-y):

${\displaystyle y_{c}={\frac {2}{3}}{\sqrt {M_{c}}}}$

M-y Диаграмма для потока в открытом канале

Безразмерная диаграмма M’-y ’

Зачем нам нужна безразмерная зависимость импульса от глубины?

Глубину сопряжения можно определить по кривым, подобным приведенной выше. Однако, поскольку эта кривая уникальна для q = 20 футов²/ с, нам нужно будет построить новую кривую для каждого прямоугольного канала с заданной шириной основания (или разряда). Если мы сможем установить безразмерную зависимость, мы сможем применить кривую к любой задаче, в которой поперечное сечение имеет прямоугольную форму. Чтобы создать безразмерную взаимосвязь импульса и глубины, мы разделим обе стороны на нормализующее значение, которое позволит нам использовать безразмерные отношения между моментумом и глубиной для всех значений q.

Вывод безразмерной зависимости импульс – глубина.

При условии:

${\displaystyle {_{u}M_{1}}={\frac {q^{2}}{gy_{1}}}+{\frac {y_{1}^{2}}{2}}={\frac {q^{2}}{gy_{2}}}+{\frac {y_{2}^{2}}{2}}={_{u}M_{2}}}$

и что:

${\displaystyle {q^{2}}={gy_{c}^{3}}}$

согласно Buckingham π теорема, с помощью размерного анализа, мы можем нормализовать взаимосвязь между глубиной и моментумом, разделив их на значение квадрата критической глубины и подставив q² чтобы дать:

${\displaystyle {\frac {_{u}M}{y_{c}^{2}}}={\frac {gy_{c}^{3}}{gyy_{c}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{2y_{c}^{2}}}}$

куда: уc критическая глубина.

Если мы положим M ’= _тыМой_c², и y ’= y / y_c, это уравнение становится:

${\displaystyle M'={\frac {1}{y'}}+{\frac {y'^{2}}{2}}}$

Безразмерная диаграмма импульс – глубина

Применив преобразование в безразмерные единицы, описанное выше, можно получить диаграмму безразмерный импульс – глубина.

Какая связь между безразмерной диаграммой импульс – глубина и безразмерной диаграммой энергия – глубина?

Внимательно осмотрев безразмерная энергия – глубина Из диаграммы можно сделать интересный вывод: M ’является той же функцией от y’, что и E ’от 1 / y’, и наоборот. Это продемонстрировано на следующей диаграмме, которая выгодно отличается от диаграммы Безразмерная энергия-глубина Диаграмма. Обратите внимание, что единственное различие между диаграммой выше и диаграммой ниже состоит в том, что значения оси Y являются обратными друг другу, и что масштаб был изменен, чтобы соответствовать масштабу, найденному при обсуждении Безразмерная энергия-глубина.

Поскольку Энергия и Импульс имеют эту взаимную взаимосвязь (обнаруживаемую также в безразмерных формах этих отношений), мы можем использовать безразмерную диаграмму энергии-глубины для создания безразмерной диаграммы импульс-глубина и наоборот.

Решение простого варианта гидравлического прыжка с безразмерной схемой

Продемонстрировать использование безразмерной диаграммы импульс – глубина в решении простого гидравлический прыжок проблема (гидравлический прыжок также очень распространен в других ситуациях. Давайте рассмотрим прямоугольный канал с шириной основания 10 футов и скоростью потока 100 футов³/ с, при глубине потока воды ниже по потоку 6 футов. Какова глубина потока на верхнем конце гидравлического прыжка?

Шаг 1 - Рассчитайте q:

${\displaystyle q={\frac {Q}{b}}}$

${\displaystyle q={\frac {100ft^{3}/s}{10ft}}=10ft^{2}/s}$

Шаг 2 - Рассчитать y_c:

${\displaystyle y_{c}={\sqrt[{3}]{q^{2} \over g}}}$

${\displaystyle y_{c}={\sqrt[{3}]{{(10ft^{2}/s)}^{2} \over 32.2ft/s^{2}}}=1.459ft}$

(примечания-вычисления отображаются до 3-х знаков после запятой, чтобы уменьшить ошибки округления в Шаг 6)

Шаг 3 - Рассчитайте y ’для глубины ниже по течению:

${\displaystyle y'={\frac {y_{d}}{y_{c}}}}$

${\displaystyle y'={\frac {6ft}{1.46ft}}=4.112}$

Шаг 4 - Определите сопряженную безразмерную глубину из диаграммы:

Используя безразмерную диаграмму, представленную выше, постройте y ’= 4,11 до его пересечения с кривой M’. Прочтите диаграмму, чтобы найти сопряженную глубину и определить новое значение y ’по левой оси.

Шаг 5 - Рассчитайте глубину выше по течению (сопряженную) до 6 футов, преобразовав y ’= 0,115 в его фактическую глубину:

${\displaystyle y'={\frac {y_{u}}{y_{c}}}}$

${\displaystyle {y_{u}}={y'}{y_{c}}=0.115(1.459ft)=0.168ft}$

Шаг 6 - Проверка:

${\displaystyle {_{u}M_{u}}={\frac {q^{2}}{gy_{1}}}+{\frac {y_{1}^{2}}{2}}}$

${\displaystyle {_{u}M_{u}}={\frac {10^{2}}{(32.2)0.168}}+{\frac {0.168^{2}}{2}}=18.500ft^{2}}$

и

${\displaystyle {_{u}M_{d}}={\frac {q^{2}}{gy_{2}}}+{\frac {y_{2}^{2}}{2}}}$

${\displaystyle {_{u}M_{d}}={\frac {10^{2}}{(32.2)6}}+{\frac {6^{2}}{2}}=18.518ft^{2}}$

Разница между _тыM_ты и _тыM_d отображается как 0,18 фута² из-за ошибок округления. Следовательно, _тыM_ты и _тыM_d показано, что они представляют один и тот же единичный импульс через скачок, и импульс сохраняется, подтверждая вычисления с использованием безразмерной диаграммы выше.

Эта тема была внесена в частичное выполнение требований для курса Вирджинского технологического института, факультета гражданской и экологической инженерии: CEE 5984 - Open Channel Flow в осеннем семестре 2010 года.

Решение гидравлического прыжка со шлюзом

Следующий пример гидравлического прыжка на ворота шлюза Выход даст четкое представление о том, как сохранение энергии и сохранение количества движения применяются в потоке в открытом канале.

Как показано на средней панели на схематическом графике, в прямоугольном канале глубокий восходящий поток (позиция 1) встречает шлюз перед положением 2. Шлюз вызывает уменьшение глубины потока в положении 2, и образуется гидравлический скачок. между положением 2 и дальше по потоку, где глубина потока снова увеличивается (положение 3). На левой панели на Рисунке 2 показана диаграмма M-y этих трех положений (импульс также упоминается как другие определения в разных источниках, например, «Удельная сила» в (Chaudhry 2008)), а правая панель на схематическом графике показывает E-y диаграмма для этих 3 позиций. Потерями энергии между положениями 1 и 2 можно пренебречь (например, в предположении сохранения энергии), но внешнее воздействие на затвор вызывает значительную потерю импульса. Напротив, между положениями 2 и 3 турбулентность в гидравлическом прыжке рассеивает энергию, в то время как можно предположить, что импульс сохраняется. Если мы знаем расход агрегата как q = 10 футов²/ с, а глубина потока в позиции 1 как y₁ = 8,0 футов, за счет применения сохранения энергии между положениями 1 и 2 и сохранения количества движения между 2 и 3, глубина потока в положении 2 (y₂) и 3 (y₃) можно вычислить.

Применение сохранение энергии между положением 1 и 2:

${\displaystyle E_{1}=E_{2}}$

${\displaystyle y_{1}+{\frac {q^{2}}{2gy_{1}}}=y_{2}+{\frac {q^{2}}{2gy_{2}}}=8.02ft}$

${\displaystyle y_{2}={\frac {2y_{1}}{-1+{\sqrt {1+8{\frac {gy_{1}^{3}}{q^{2}}}}}}}=0.45ft}$

Применение сохранения импульса между положениями 2 и 3:

${\displaystyle M_{2}=M_{3}}$

${\displaystyle {\frac {y_{2}}{2}}+{\frac {q^{2}}{gy_{2}}}={\frac {y_{3}}{2}}+{\frac {q^{2}}{gy_{3}}}=32.4ft}$

${\displaystyle y_{3}={\frac {y_{2}}{2}}(-1+{\sqrt {1+8{\frac {q^{2}}{gy_{2}^{3}}}}})=3.46ft}$

Кроме того, мы можем получить тягу и на затвор шлюза:

${\displaystyle \triangle {M}=M_{1}-M_{2}=25.5}$

${\displaystyle Thrust=\gamma \triangle {M}=\rho g\triangle {M}=1590lbs/ff}$

(Пример выше взят из курса доктора Моглена «Поток в открытом канале» (CEE5384) в Технологическом институте Вирджинии, США)

Гидравлический прыжок со шлюзом

Рекомендации

• Бруннер, Г.В., HEC-RAS, Гидравлическое справочное руководство по системе анализа рек (CPD-69), Инженерный корпус армии США, Центр гидрологической инженерии, 2010 г.
• Шансон, Х., Аоки, С.-и. И Маруяма, М. (2002), «Экспериментальное исследование наката цунами на сухих и влажных горизонтальных берегах», Science of Tsunami Hazards 20 (5), 278–293.
• Чаудри, M.H., Open-Channel Flow (второе издание), Springer Science + Business Media, llc, 2008.
• Френч, Р. Х., Гидравлика открытого канала, McGraw-Hill, Inc., 1985.
• Guard, P., Baldock, T. & Nielsen, P. (2005), Общие решения для начального наката разрушающегося фронта цунами, в "International Symposium Disaster Reduction on Coasts", Monash University, pp. 1–8. .
• Хендерсон Ф.М., Поток в открытом канале, Прентис-Холл, 1966.
• Жанна В.С. Введение в механику жидкости, издательство PWS-Kent Publishing Company, 1993.
• Линси, Р.К., Францини, Дж. Б., Фрейберг, Д. Л., Чобаноглоус, Г., Water-Resources Engineering (четвертое издание), McGraw-Hill, Inc., 1992.
• Park, H., Cox, DT, Lynett, PJ, Wiebe, DM & Shin, S. (2013), «Моделирование наводнения цунами в искусственных средах: физическое и численное сравнение высоты, скорости и импульса свободной поверхности. поток », Береговая инженерия 79, 9–21.
• Йе, Х. (2006), «Максимальные гидродинамические силы в зоне наката цунами», Журнал водного, портового, прибрежного и океанского машиностроения 132 (6), 496–500.