Соотношение энергия – глубина в прямоугольном канале - Energy–depth relationship in a rectangular channel

В поток в открытом канале, удельная энергия (е) - длина энергии или напор относительно дна канала. Удельная энергия выражается в единицах кинетическая энергия, и потенциальная энергия, и внутренняя энергия. В Уравнение Бернулли, который исходит из анализа контрольного объема, используется для описания конкретных энергетических соотношений в динамика жидкостей. Обсуждаемая здесь форма уравнения Бернулли предполагает, что поток несжимаемый и устойчивый. Три компонента энергии в уравнении Бернулли - это высота, давление и скорость. Однако, поскольку при потоке в открытом канале поверхность воды открыта для атмосфера, член давления между двумя точками имеет одинаковое значение и поэтому игнорируется. Таким образом, если известны удельная энергия и скорость потока в канале, можно определить глубину потока. Это соотношение может использоваться для расчета изменений глубины вверх или вниз по течению от изменений в канале, таких как ступени, сужения или управляющие структуры. Это также фундаментальное соотношение, используемое в стандартный шаговый метод чтобы вычислить, как глубина потока изменяется на досягаемости, исходя из энергии, полученной или потерянной из-за наклона канала.

Вступление

Если пренебречь членом давления, энергия существует в двух формах: потенциал и кинетический. Предполагая, что все частицы жидкости движутся с одинаковой скоростью, применимо общее выражение для кинетической энергии (KE = ½ мв²). Это общее выражение можно записать в терминах кинетической энергии на единицу единица измерения жидкости,

${\displaystyle {\frac {\mathit {KE}}{\textrm {weight}}}={\frac {{\frac {1}{2}}mv^{2}}{\gamma V}}={\frac {{\frac {1}{2}}{\bigl (}\rho V{\bigr )}v^{2}}{\rho gV}}}$           (1)

Где:	м = масса
	v = скорость жидкости (длина / время)
	V = объем (длина^3)
	ρ = плотность жидкости (масса / объем)
	γ = конкретный вес воды (вес / единицу объема)
	грамм = ускорение из-за сила тяжести (длина / время^2)

Кинетическая энергия в футах представлена ​​как скоростной напор,

${\displaystyle {\mathit {KE}}={\frac {v^{2}}{2g}}}$          (2)

Частицы жидкости также обладают потенциальной энергией, которая связана с возвышением жидкости над произвольной точкой отсчета. Для жидкости веса (ρg) на высоте у выше установленного значения потенциальная энергия равна wy. Таким образом, потенциальная энергия на единицу веса жидкости может быть выражена просто как высота над исходной точкой,

${\displaystyle {\frac {\mathit {PE}}{\rho g}}=y}$          (3)

Комбинируя энергетические термины для кинетической и потенциальной энергии, а также влияний, вызываемых давлением и потерями напора, получаем следующее уравнение:

${\displaystyle {\frac {v_{1}^{2}}{2g}}+y_{1}+{\frac {P_{1}}{\gamma }}-h_{f}={\frac {v_{2}^{2}}{2g}}+y_{2}+{\frac {P_{2}}{\gamma }}}$           (4)

Где:	у = Расстояние по вертикали от опорной точки (длина)
	п = давление (вес / объем)
	часж = потеря напора из-за трения (длина)

Когда жидкость движется вниз по потоку, энергия теряется из-за трения. Эти потери могут быть связаны с шероховатостью дна канала, сужениями канала и другими структурами потока. В этом анализе не учитываются потери энергии из-за трения.

Уравнение 4 оценивает поток в двух местах: точке 1 (вверх по потоку) и точке 2 (вниз по потоку). Как упоминалось ранее, давление в точках 1 и 2 одинаково. атмосферное давление в потоке в открытом канале, поэтому условия давления сокращаются. Потери напора из-за трения также не учитываются при определении удельной энергии; следовательно, исчезает и этот термин. После этих сокращений уравнение принимает вид

${\displaystyle {\frac {v_{1}^{2}}{2g}}+y_{1}={\frac {v_{2}^{2}}{2g}}+y_{2}}$           (5)

а полная удельная энергия в любой точке системы равна,

${\displaystyle E={\frac {v^{2}}{2g}}+y}$           (6)

Объемный разряд

Чтобы оценить член кинетической энергии, необходима скорость жидкости. Объемный расход, Q обычно используется при расчетах расхода в открытом канале. Для прямоугольных каналов также используется единичный расход, и во многих альтернативных формулах для прямоугольных каналов этот термин используется вместо v или же Q. В обычных единицах США Q находится в футах³/ сек. и q находится в футах²/ сек.

${\displaystyle q={\frac {Q}{b}}}$           (7)

Где:	q = расход блока (длина^2/время)
	Q = объемный расход (длина^3/время)
	б = ширина основания прямоугольного канала (длина)

Затем уравнение 6 можно переписать для прямоугольных каналов как

${\displaystyle E={\frac {q^{2}}{2gy^{2}}}+y}$           (8)

Диаграмма E – y

Для данного разряда удельную энергию можно рассчитать для различной глубины потока и нанести на диаграмму E – y. Типичная диаграмма E – y показана ниже.

Три разных q значения нанесены на диаграмму удельной энергии выше. Расход агрегата увеличивается слева направо, что означает, что q₁ < q₂ < q₃. Есть отчетливый асимптотический отношения, когда верхняя часть кривой приближается к E = у линия и нижняя часть кривой стремится к Икс-ось. Также показаны критическая энергия или минимальная энергия, E_c и соответствующее значение критической глубины, у_c. Показанные значения относятся к q₁ только разряд, но для любого разряда существуют уникальные критические значения.

Критические отношения потока

В критическая глубина значение, упомянутое в разделе диаграммы E – y выше, математически представлено отношением скорости жидкости к скорости небольшой амплитуды. гравитационная волна. Это соотношение называется Число Фруда.

${\displaystyle {\mathit {Fr}}={\frac {v}{\sqrt {gy}}}}$           (9)

Критическая глубина имеет число Фруда, равное единице, и соответствует минимальной энергии, которой может обладать поток для данного разряда. Не все потоки критичны, так что насчет числа Фруда, не равного единице? Считаются числа Фруда меньше единицы. субкритический и числа Фруда выше единицы считаются сверхкритический.

${\displaystyle {\mathit {Fr}}=1;\;{\textit {Critical}}}$           (10)

${\displaystyle {\mathit {Fr}}<1;\;{\textit {Subcritical}}}$           (11)

${\displaystyle {\mathit {Fr}}>1;\;{\textit {Supercritical}}}$           (12)

Физически докритический поток глубокий, а скорости медленные. Это означает, что докритический поток имеет высокую потенциальную энергию и низкую кинетическую энергию. С другой стороны, сверхкритический поток имеет тенденцию быть мелким, а скорости - высокими. Сверхкритический поток имеет низкую потенциальную энергию и высокую кинетическую энергию.

Если мы вернемся к диаграмме E – y, можно увидеть, что линия проходит через критическое значение на каждой последующей кривой разряда. Эта линия соответствует ${\displaystyle y=2/3E}$.

Значения глубины на кривой E – y, превышающие критическую глубину, соответствуют глубинам докритического потока. Точно так же значения, меньшие критической глубины, соответствуют глубинам сверхкритического потока.

Для прямоугольных каналов критическую глубину можно рассчитать, взяв производная уравнения энергии и положив его равным нулю. Энергия, связанная с критической глубиной, находится путем помещения выражения критической глубины в уравнение удельной энергии. Выражение для критической энергии графически показано линией ${\displaystyle y_{c}=2/3E_{c}}$, который связывает критические значения глубины.

${\displaystyle {\frac {dE}{dy}}={\frac {d}{dy}}{\biggl (}{\frac {q^{2}}{2gy^{2}}}+y{\biggr )}=0}$           (13)

${\displaystyle y_{c}={\biggl (}{\frac {q^{2}}{g}}{\biggr )}^{\frac {1}{3}}}$           (14)

${\displaystyle E_{c}={\frac {3}{2}}y_{c}}$           (15)

Альтернативные глубины

Для данного значения энергии и расхода обычно существует две возможных соответствующих глубины потока. На диаграмме выше альтернативные глубины обозначены у₁ и у₂ и соответствуют докритической и сверхкритической областях течения соответственно. Это верно для всех значений энергии, превышающих критическую. Это соотношение не выполняется при критической энергии, когда только критическая глубина, у_c, возможно и для значений энергии меньше энергии критической глубины, когда нет положительных глубин. Следующее уравнение можно использовать для нахождения одной альтернативной глубины относительно другой в прямоугольных каналах. Значения для у₁ и у₂ взаимозаменяемы.

${\displaystyle y_{2}={\frac {2y_{1}}{-1+{\sqrt {1+{\frac {8gy_{1}^{3}}{q^{2}}}}}}}={\frac {2y_{1}}{-1+{\sqrt {1+{\frac {8}{{Fr_{1}}^{2}}}}}}}}$           (16)

Теория и вывод альтернативной зависимости глубины

В открытом потоке прямоугольных каналов альтернативное уравнение глубины связывает восходящее (у₁) и ниже по потоку (у₂) глубина установившегося потока для потока, который встречает устройство управления, такое как шлюз, которое сохраняет энергию для данного разряда.

Альтернативное уравнение глубины может быть получено таким же образом, как и уравнение сопряженной глубины. В открытом потоке прямоугольных каналов сопряженное уравнение глубины связывает восходящее (у₁) и ниже по потоку (у₂) глубины установившегося потока для потока, который встречает чисто гидравлический скачок, который сохраняет импульс для данного разряда. В математический вывод сопряженного уравнения глубины может быть полезным инструментом в понимании вывода альтернативного уравнения глубины, пожалуйста, обратитесь к приведенной выше ссылке для более глубокого обсуждения его вывода.

Сопряженное уравнение глубины

${\displaystyle y_{2}={\frac {y_{1}}{2}}\left({\sqrt {1+8Fr_{1}^{2}}}-1\right)}$           (17)

Связь двойственности между импульсами и функциями удельной энергии и вывод альтернативной зависимости глубины

Другая важная концепция, которая может быть применена к выводу альтернативного уравнения глубины, возникает из сравнения безразмерной функции импульса с безразмерной функцией удельной энергии. Видно, что безразмерная функция импульса (M^') имеет такое же функциональное соотношение, что и безразмерная функция удельной энергии (E^"), когда оба должным образом преобразованы. (Хендерсон, 1966). Из этого сравнения можно заметить, что любой результат, применимый к безразмерному уравнению импульса (M^') аналогичным образом применимо к безразмерному уравнению удельной энергии (E^"). Из этой концепции двойственности мы можем определить аналог уравнения сопряженной глубины для конкретного уравнения энергии, чтобы обеспечить аналитическую связь между альтернативными глубинами. у₁ и у₂. Ниже приведены математические выводы, лежащие в основе этой концепции:

Безразмерная функция импульса

1) Начиная с функции импульса для прямоугольного канала:

${\displaystyle {M}={\frac {q^{2}}{gy}}+{\frac {y^{2}}{2}}}$          (18)

2) Разделить на (у_c² ) чтобы получить безразмерная форма:

${\displaystyle {\frac {M}{y_{c}^{2}}}={\frac {q^{2}}{gyy_{c}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{2y_{c}^{2}}}}$          (19)

3) Настройка ${\displaystyle M'={\frac {M}{y_{c}^{2}}}}$ , ${\displaystyle y'={\frac {y}{y_{c}}}}$, и сделав замену на ${\displaystyle q^{2}=gy_{c}^{3}}$:

${\displaystyle M'={\frac {1}{y'}}+{\frac {y'^{2}}{2}}}$          (20)

Безразмерная функция удельной энергии

1) Начиная с функции удельной энергии для прямоугольного канала:

${\displaystyle E={\frac {q^{2}}{2gy^{2}}}+y}$           (8)

2) Разделить на у_c для получения безразмерного вида:

${\displaystyle {\frac {E}{y_{c}}}={\frac {y}{y_{c}}}+{\frac {q^{2}}{2gy^{2}y_{c}}}}$          (21)

3) Где ${\displaystyle E'={\frac {E}{y_{c}}}}$ , ${\displaystyle y'={\frac {y}{y_{c}}}}$, и сделав замену на ${\displaystyle q^{2}=gy_{c}^{3}}$ :

${\displaystyle E'=y'+{\frac {1}{2y'^{2}}}}$          (22)

4) Настройка ${\displaystyle y''={\frac {1}{y'}}={\frac {y_{c}}{y}}}$ и подставляя в уравнение (22), находим окончательный безразмерный вид функции удельной энергии:

${\displaystyle E''={\frac {1}{y''}}+{\frac {y''^{2}}{2}}}$          (23)

Путем сравнения функций безразмерного импульса и удельной энергии можно заметить, что наше окончательное безразмерное уравнение удельной энергии идентично функциональному соотношению, определенному для уравнения безразмерного импульса:

${\displaystyle M'={\frac {1}{y'}}+{\frac {y'^{2}}{2}}}$ и ${\displaystyle E''={\frac {1}{y''}}+{\frac {y''^{2}}{2}}}$          (20, 23)

Следовательно, любой результат, применимый к уравнению безразмерного импульса, будет также применяться к безразмерному уравнению удельной энергии при условии, что используется преобразование.

Вывод альтернативного уравнения глубины

С использованием сопряженная глубина уравнение и концепция двойственности между безразмерными формами импульса (M^') и удельной энергии (E^") можно получить аналитическую зависимость между альтернативными глубинами.

1) Начните с сопряженное уравнение глубины (ур.17):

${\displaystyle y_{2}={\frac {y_{1}}{2}}\left({\sqrt {1+8{\mathit {Fr}}_{1}^{2}}}-1\right)}$ , куда Пт₁ число Фруда в позиции 1

2) Разработайте аналог Пт₁ наблюдая, что уравнение безразмерного импульса (уравнение 20) имеет значение у^' равняется единице на критической глубине. Если бы мы выбрали ${\displaystyle q={\sqrt {g}}}$ тогда результирующая зависимость M-y будет численно идентична безразмерной M^'-у^' отношения с у_c это единство. Для этой единицы разряда q число Фруда упрощается до:

${\displaystyle {\mathit {Fr}}_{\left(q={\sqrt {g}}\right)}={\frac {v}{\sqrt {gy}}}={\frac {q}{\sqrt {gy^{3}}}}={\frac {\sqrt {g}}{\sqrt {gy^{3}}}}={\frac {1}{\sqrt {y^{3}}}}}$          (24)

3) Хотя размерно у₁ и у₁^" различны, их числовые величины одинаковы при единице, и, таким образом, мы можем выразить аналог Пт₁ в сопряженном уравнении глубины как:

${\displaystyle {\tilde {{\mathit {Fr}}_{1}}}={\frac {1}{\sqrt {y''^{3}}}}}$          (25)

где тильда в ${\displaystyle {\tilde {{\mathit {Fr}}_{1}}}}$ символ указывает, что это просто уравнение удельной энергии, аналог числа Фруда в данном анализе.

4) Подстановка ${\displaystyle {\tilde {{\mathit {Fr}}_{1}}}}$ в безразмерное уравнение сопряженной глубины и вспоминая ${\displaystyle y''={\frac {1}{y'}}={\frac {y_{c}}{y}}}$ для обоих у₁ и у₂:

${\displaystyle y''_{2}={\frac {y''_{1}}{2}}\left(-1+{\sqrt {1+{\frac {8}{(y_{1}'')^{3}}}}}\right)}$          (26)

5) Заметив, что ${\displaystyle y_{2}={\frac {y_{c}}{y_{2}''}}}$ и ${\displaystyle \left(y_{1}''\right)^{3}=\left({\frac {y_{c}}{y_{1}}}\right)^{3}={\frac {q^{2}}{gy_{1}^{3}}}}$ уравнение (26) можно упростить до окончательного аналитического альтернативного соотношения глубины:

${\displaystyle y_{2}={\frac {2y_{1}}{-1+{\sqrt {1+{\frac {8gy_{1}^{3}}{q^{2}}}}}}}}$           (27)

6) Вспоминая, что для прямоугольных каналов, ${\displaystyle y_{c}=\left({\frac {q^{2}}{g}}\right)^{\frac {1}{3}}}$ и ${\displaystyle Fr={\frac {v}{\sqrt {gy}}}={\frac {q}{y{\sqrt {gy}}}}}$ и признавая, что ${\displaystyle {\mathit {Fr}}^{2}=\left({\frac {y_{c}}{y}}\right)^{3}={\frac {q^{2}}{gy^{3}}}}$ , окончательная аналитическая альтернативная зависимость глубины также может быть представлена ​​как:

${\displaystyle y_{2}={\frac {2y_{1}}{-1+{\sqrt {1+{\frac {8gy_{1}^{3}}{q^{2}}}}}}}={\frac {2y_{1}}{-1+{\sqrt {1+{\frac {8}{{{\mathit {Fr}}_{1}}^{2}}}}}}}}$           (16)

Обратите внимание, что из-за симметрии исходного уравнения сопряженной глубины полученное безразмерное уравнение альтернативной глубины применяется независимо от числа Фруда в точке 1. То есть у₁ может соответствовать как сверхкритическим, так и докритическим условиям потока. Альтернативное соотношение глубины даст альтернативную глубину для у₁ соответствующая противоположному режиму потока в любом случае.

Насколько известно автору, этот окончательный результат для альтернативной взаимосвязи глубины не встречается ни в одном учебнике и является оригинальным вкладом автора Д-р Гленн Э. Моглен of Virginia Tech и появляется на этом веб-сайте при содействии Пола Ле Белла и курса CEE 5984 Open Channel Flow в Virginia Tech.

Пример

Концепция альтернативных глубин может быть продемонстрирована с помощью ворота шлюза пример. Затворы шлюза используются для управления потоком воды в открытых каналах и в идеальных условиях, когда трение не учитывается, они сохраняют энергию для данного разряда.

Вода течет по прямоугольному каналу, в котором находится шлюз. Глубина потока выше по потоку, у₁ составляет 5,0 футов, отверстие шлюзового затвора составляет 1,0 фут, а расход агрегата составляет, ${\displaystyle q=10.{\frac {{\textrm {ft}}^{2}}{\textrm {s}}}}$. Какова глубина потока за шлюзом, у₂?

Поскольку энергия сохраняется на затворе шлюза, энергии на входе и выходе равны, или ${\displaystyle E_{1}=E_{2}}$. Уравнение удельной энергии (уравнение 8), альтернативное уравнение глубины (уравнение 16) и диаграмма E – y используются, чтобы продемонстрировать, как решить эту проблему.

${\displaystyle y_{2}={\frac {2y_{1}}{-1+{\sqrt {1+{\frac {8gy_{1}^{3}}{q^{2}}}}}}}={\frac {2(5.0\,\mathrm {ft} )}{-1+{\sqrt {1+{\frac {8(32.2{\frac {\mathrm {ft} }{\mathrm {s} ^{2}}})(5.0\,\mathrm {ft} )^{3}}{\left(10{\frac {\mathrm {ft} ^{2}}{\mathrm {s} }}\right)^{2}}}}}}}=0.59\,\mathrm {ft} }$

Сравните удельные энергии на входе (у₁) и ниже по потоку (у₂) глубины, чтобы продемонстрировать сохранение энергии (${\displaystyle E_{1}=E_{2}}$) у шлюзовых ворот:

${\displaystyle E_{1}=y_{1}+{\frac {q^{2}}{2gy_{1}^{2}}}=5.0\,\mathrm {ft} +{\frac {\left(10{\frac {\mathrm {ft} ^{2}}{\mathrm {s} }}\right)^{2}}{2\left(32.2{\frac {\mathrm {ft} }{\mathrm {s} ^{2}}}\right)(5.0\,\mathrm {ft} )^{2}}}=5.06\,\mathrm {ft} }$

${\displaystyle E_{2}=y_{2}+{\frac {q^{2}}{2gy_{2}^{2}}}=0.59\,\mathrm {ft} +{\frac {\left(10{\frac {\mathrm {ft} ^{2}}{\mathrm {s} }}\right)^{2}}{2\left(32.2{\frac {\mathrm {ft} }{\mathrm {s} ^{2}}}\right)(0.59\,\mathrm {ft} )^{2}}}=5.06\,\mathrm {ft} }$

Следовательно, ${\displaystyle E_{1}=E_{2}=5.06\,\mathrm {ft} }$ и энергия сохраняется.

Рекомендации

1. М. Х. Чаудри, Поток в открытом канале. Нью-Йорк: Спрингер, 2008.
2. Е. Дж. Финнемор, Дж. Б. Францини, Механика жидкости и инженерные приложения. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл, 2002.
3. Моглен, Г. (2010) Лекционные заметки из CEE 4324/5984: Open Channel Flow, Virginia Tech <https://web.archive.org/web/20121105134341/http://filebox.vt.edu/users/moglen/ocf/index.html >, 2 сентября 2010 г.
4. Хендерсон, Ф.М., 1966. Open Channel Flow, Prentice-Hall.
5. Моглен, Гленн Э. Сводная таблица основных взаимосвязей потоков в открытом канале. Virginia Tech CEE 4324/5984 Open Channel Flow. PDF.