Алгебра Ли монстров - Monster Lie algebra

В математика, то монстр алгебра Ли является бесконечномерный обобщенная алгебра Каца – Муди действовал группа монстров, который использовался для доказательства чудовищный самогон домыслы.

Структура

Алгебра Ли чудовищ м это Z²-градуированная алгебра Ли. Часть степени (м, п) имеет размер c_мин если (м, п) ≠ (0, 0) и размерность 2, если (м, п) = (0, 0). В целые числа c_п являются коэффициентами при q^п из j-инвариантный в качестве эллиптическая модульная функция

{ displaystyle j (q) -744 = {1 over q} + 196884q + 21493760q ^ {2} + cdots.}

В Подалгебра Картана является двумерным подпространством степени (0, 0), поэтому алгебра Ли монстров имеет ранг 2.

У чудовищной алгебры Ли есть только одна настоящая простой корень, задаваемый вектором (1, −1), и Группа Вейля имеет порядок 2 и действует отображением (м, п) к (п, м). Мнимые простые корни - это векторы (1, п) за п = 1, 2, 3, ..., и они имеют кратности c_п.

В формула знаменателя для монстра алгебры Ли - это формула произведения для j-инвариантный:

{ displaystyle j (p) -j (q) = left ({1 over p} - {1 over q} right) prod _ {n, m = 1} ^ { infty} (1- p ^ {n} q ^ {m}) ^ {c_ {nm}}.}

Формула знаменателя (иногда называемая тождеством бесконечного произведения Койке-Нортона-Загьера) была открыта в 1980-х годах. Несколько математиков, в том числе Масао Койке, Саймон П. Нортон, и Дон Загир, самостоятельно сделал открытие.^[1]

Строительство

Есть два способа построить алгебру Ли-монстра.^{[нужна цитата ]} Поскольку это обобщенная алгебра Каца – Муди, простые корни которой известны, ее можно определить с помощью явных образующих и соотношений; однако эта презентация не описывает действие группы монстров на ней.

Его также можно построить из монстр вершинная алгебра используя Теорема Годдарда-Торна из теория струн. Эта конструкция намного сложнее, но также доказывает, что группа монстров действует естественно на нем.^[1]

Рекомендации

^ ^а ^б Борчердс, Ричард Э. (октябрь 2002 г.). "Что такое ... монстр?" (PDF). Уведомления Американского математического общества. 49 (2): 1076–1077. (См. Стр. 1077).

Борчердс, Ричард (1986). «Вершинные алгебры, алгебры Каца-Муди и монстр». Proc. Natl. Акад. Sci. Соединенные Штаты Америки. 83 (10): 3068–71. Bibcode:1986PNAS ... 83.3068B. Дои:10.1073 / pnas.83.10.3068. ЧВК 323452. PMID 16593694.
Френкель, Игорь; Леповски, Джеймс; Меурман, Арне (1988). Вершинные операторные алгебры и монстр. Чистая и прикладная математика. 134. Академическая пресса. ISBN 0-12-267065-5.
Кац Виктор (1996). Вершинные алгебры для начинающих. Серия университетских лекций. 10. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0643-2.; Кац, Виктор Г (1998). переработанное и дополненное, 2-е издание. ISBN 0-8218-1396-X.
- Кац, Виктор (1999). «Исправления к книге Виктора Каца« Вершинные алгебры для начинающих », второе издание». arXiv:математика / 9901070.
Картер, Р.В. (2005). Алгебры Ли конечного и аффинного типов. Кембриджские исследования. 96. ISBN 0-521-85138-6. (Вводный учебный текст с кратким изложением алгебры Борчердса в главе 21)

[WhatIs-1] а ^б Борчердс, Ричард Э. (октябрь 2002 г.). "Что такое ... монстр?" (PDF). Уведомления Американского математического общества. 49 (2): 1076–1077. (См. Стр. 1077).

[1]