Обобщенная алгебра Каца – Муди. - Generalized Kac–Moody algebra

В математика, а обобщенная алгебра Каца – Муди это Алгебра Ли это похоже на Алгебра Каца – Муди, за исключением того, что разрешено иметь мнимые простые корни. Обобщенные алгебры Каца – Муди также иногда называют Алгебры GKM, Алгебры Борчердса – Каца – Муди, BKM алгебры, или Алгебры Борчердса. Самый известный пример - это монстр алгебра Ли.

Мотивация

Конечномерный полупростые алгебры Ли обладают следующими свойствами:

Они имеют невырожденную симметрическую инвариантную билинейную форму (,).
У них есть такая градация, что кусок нулевой степени ( Подалгебра Картана ) абелева.
У них есть (Картан) инволюция ш.
(а, w (а)) положительно, если а не равно нулю.

Например, для алгебр п от п матрицы нулевого следа, билинейная форма имеет вид (а, б) = Трассировка (ab), инволюция Картана задается минус транспонирование, а градуировка может быть дана «расстоянием от диагонали», так что подалгебра Картана является диагональными элементами.

И наоборот, можно попытаться найти все алгебры Ли с этими свойствами (и удовлетворяющими некоторым другим техническим условиям). Ответ состоит в том, что можно получить суммы конечномерных и аффинные алгебры Ли.

В монстр алгебра Ли удовлетворяет несколько более слабую версию приведенных выше условий: (а, w (а)) положительно, если а отличен от нуля и имеет ненулевая степень, но может быть отрицательным, когда а имеет нулевую степень. Алгебры Ли, удовлетворяющие этим более слабым условиям, являются более или менее обобщенными алгебрами Каца – Муди. По сути, они аналогичны алгебрам, задаваемым некоторыми генераторами и соотношениями (описанными ниже).

Неформально обобщенные алгебры Каца – Муди - это алгебры Ли, которые ведут себя как конечномерные полупростые алгебры Ли. В частности, у них есть Группа Вейля, Формула характера Вейля, Подалгебра Картана, корни, веса и т. д.

Определение

Симметричный Матрица Картана представляет собой (возможно, бесконечную) квадратную матрицу с элементами ${ displaystyle c_ {ij}}$ такой, что

${ Displaystyle c_ {ij} = c_ {ji} }$
${ Displaystyle c_ {ij} leq 0 }$ если ${ Displaystyle я neq j }$
${ displaystyle 2c_ {ij} / c_ {ii} }$ является целым числом, если ${ displaystyle c_ {ii}> 0. }$

Универсальная обобщенная алгебра Каца – Муди с заданной симметризованной матрицей Картана определяется формулой генераторы ${ displaystyle e_ {i}}$ и ${ displaystyle f_ {i}}$ и ${ displaystyle h_ {i}}$ и отношения

${ Displaystyle [е_ {я}, е_ {j}] = ч_ {я} }$ если ${ displaystyle i = j}$ , 0 иначе
${ displaystyle [h_ {i}, e_ {j}] = c_ {ij} e_ {j} }$ , ${ displaystyle [h_ {i}, f_ {j}] = - c_ {ij} f_ {j} }$
${ displaystyle [e_ {i}, [e_ {i}, ldots, [e_ {i}, e_ {j}]]] = [f_ {i}, [f_ {i}, ldots, [f_ { i}, f_ {j}]]] = 0 }$ для ${ displaystyle 1-2c_ {ij} / c_ {ii} }$ применения ${ Displaystyle е_ {я} }$ или ${ displaystyle f_ {i} }$ если ${ displaystyle c_ {ii}> 0 }$
${ Displaystyle [е_ {я}, е_ {j}] = [е_ {я}, е_ {j}] = 0 }$ если ${ displaystyle c_ {ij} = 0. }$

Они отличаются от соотношений (симметризуемых) Алгебра Каца – Муди главным образом, позволяя диагональным элементам матрицы Картана быть неположительными. Другими словами, мы позволяем простым корням быть мнимыми, тогда как в алгебре Каца – Муди простые корни всегда действительны.

Обобщенная алгебра Каца – Муди получается из универсальной путем изменения матрицы Картана, операций уничтожения чего-либо в центре или взятия центральное расширение, или добавив внешние отведения.

Некоторые авторы дают более общее определение, убирая условие симметричности матрицы Картана. Об этих несимметризуемых обобщенных алгебрах Каца – Муди известно немного, и, похоже, там нет интересных примеров.

Также возможно распространить определение на супералгебры.

Структура

Обобщенную алгебру Каца – Муди можно градуировать, задавая е_я степень 1, ж_я степень -1, и час_я степень 0.

Фрагмент нулевой степени - это абелева подалгебра, натянутая на элементы час_я и называется Подалгебра Картана.

Свойства

Большинство свойств обобщенных алгебр Каца – Муди являются прямым расширением обычных свойств (симметризуемых) алгебр Каца – Муди.

Обобщенная алгебра Каца – Муди имеет инвариант симметричная билинейная форма такой, что ${ Displaystyle (е_ {я}, е_ {я}) = 1}$ .
Существует формула символов для модули наибольшего веса, аналогично Формула характера Вейля – Каца для Алгебры Каца – Муди за исключением того, что в нем есть поправочные члены для мнимых простых корней.

Примеры

Считается, что наиболее обобщенные алгебры Каца – Муди не имеют отличительных черт. Интересные бывают трех типов:

Конечномерный полупростые алгебры Ли.
Аффинные алгебры Каца – Муди
Алгебры с Лоренцева подалгебра Картана чья функция знаменателя автоморфная форма особого веса.

Похоже, что существует лишь конечное число примеров третьего типа. монстр алгебра Ли, действовало группа монстров и используется в чудовищный самогон домыслы, а поддельный монстр алгебра Ли. Есть похожие примеры, связанные с некоторыми другими спорадические простые группы.

Можно найти множество примеров обобщенных алгебр Каца – Муди, используя следующий принцип: все, что выглядит как обобщенная алгебра Каца – Муди, является обобщенной алгеброй Каца – Муди. Более точно, если алгебра Ли градуирована лоренцевой решеткой, имеет инвариантную билинейную форму и удовлетворяет нескольким другим легко проверяемым техническим условиям, то это обобщенная алгебра Каца – Муди. В частности, можно использовать вершинные алгебры для построения алгебры Ли из любых ровная решетка.Если решетка положительно определена, она дает конечномерную полупростую алгебру Ли, если она положительно полуопределена, она дает аффинную алгебру Ли, а если она лоренцева, она дает алгебру, удовлетворяющую указанным выше условиям, которая, следовательно, является обобщенной алгеброй Каца – Муди. алгебра. Когда решетка является четной 26-мерной унимодулярной лоренцевой решеткой, конструкция дает ложную алгебру Ли монстра; все остальные лоренцевы решетки, кажется, дают неинтересные алгебры.

использованная литература

Кац, Виктор Г. (1994). Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-46693-8. Cite имеет пустой неизвестный параметр: | соавторы = (Помогите)
Вакимото, Минору (2001). Бесконечномерные алгебры Ли. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2654-9. Cite имеет пустой неизвестный параметр: | соавторы = (Помогите)
Рэй, Урми (2006). Автоморфные формы и супералгебры Ли. Дордрехт: Спрингер. ISBN 1-4020-5009-7. Cite имеет пустой неизвестный параметр: | соавторы = (Помогите)