Мотивная дзета-функция - Motivic zeta function

В алгебраическая геометрия, то мотивирующая дзета-функция из гладкое алгебраическое многообразие это формальный степенной ряд

Здесь это -я симметричная степень , т.е. частное действием симметричная группа , и это класс в кругу мотивов (см. ниже).

Если наземное поле конечно, и к , получаем локальная дзета-функция из .

Если основное поле - комплексные числа, и применяется один Эйлерова характеристика с компактными опорами для , получается .

Мотивные меры

А мотивационная мера это карта из множества конечного типа схемы через поле к коммутативному звенеть , удовлетворяющий трем свойствам

зависит только от класса изоморфизма ,
если замкнутая подсхема ,
.

Например, если конечное поле и кольцо целых чисел, то определяет мотивационную меру, счетная мера.

Если основным полем являются комплексные числа, то эйлерова характеристика с компактными носителями определяет мотивирующую меру со значениями в целых числах.

Дзета-функция относительно мотивационной меры это формальный степенной ряд в данный

.

Существует универсальная мотивационная мера. Принимает значения в K-кольце многообразий, , которое представляет собой кольцо, порожденное символами , для всех сортов , при условии отношений

если и изоморфны,
если замкнутое подмногообразие в ,
.

Универсальная мотивационная мера порождает мотивированную дзета-функцию.

Примеры

Позволять обозначим класс аффинная линия.

Если гладкая проективно неприводимая изгиб из род признание линейный пакет степени 1, а мотивационная мера принимает значения в области, в которой обратима, то

куда является многочленом степени . Таким образом, в этом случае мотивирующая дзета-функция равна рациональный. В более высоком измерении мотивирующая дзета-функция не всегда рациональна.

Если гладкий поверхность над алгебраически замкнутым полем характеристики , то производящая функция по мотивам Схемы Гильберта из можно выразить через мотивирующую дзета-функцию следующим образом: Гётче Формула

Здесь - схема Гильберта длины подсхемы . Для аффинной плоскости эта формула дает

По сути, это функция распределения.