Мотивная дзета-функция - Motivic zeta function

В алгебраическая геометрия, то мотивирующая дзета-функция из гладкое алгебраическое многообразие ${displaystyle X}$ это формальный степенной ряд

${displaystyle Z(X,t)=sum _{n=0}^{infty }[X^{(n)}]t^{n}}$

Здесь ${displaystyle X^{(n)}}$ это ${displaystyle n}$-я симметричная степень ${displaystyle X}$, т.е. частное ${displaystyle X^{n}}$ действием симметричная группа ${displaystyle S_{n}}$, и ${displaystyle [X^{(n)}]}$ это класс ${displaystyle X^{(n)}}$ в кругу мотивов (см. ниже).

Если наземное поле конечно, и к ${displaystyle Z(X,t)}$, получаем локальная дзета-функция из ${displaystyle X}$.

Если основное поле - комплексные числа, и применяется один Эйлерова характеристика с компактными опорами для ${displaystyle Z(X,t)}$, получается ${displaystyle 1/(1-t)^{chi (X)}}$.

Мотивные меры

А мотивационная мера это карта ${displaystyle mu }$ из множества конечного типа схемы через поле ${displaystyle k}$ к коммутативному звенеть ${displaystyle A}$, удовлетворяющий трем свойствам

${displaystyle mu (X),}$ зависит только от класса изоморфизма ${displaystyle X}$,

${displaystyle mu (X)=mu (Z)+mu (Xsetminus Z)}$ если ${displaystyle Z}$ замкнутая подсхема ${displaystyle X}$,

${displaystyle mu (X_{1} imes X_{2})=mu (X_{1})mu (X_{2})}$.

Например, если ${displaystyle k}$ конечное поле и ${displaystyle A={mathbb {Z} }}$ кольцо целых чисел, то ${displaystyle mu (X)=#(X(k))}$ определяет мотивационную меру, счетная мера.

Если основным полем являются комплексные числа, то эйлерова характеристика с компактными носителями определяет мотивирующую меру со значениями в целых числах.

Дзета-функция относительно мотивационной меры ${displaystyle mu }$ это формальный степенной ряд в ${displaystyle A[[t]]}$ данный

${displaystyle Z_{mu }(X,t)=sum _{n=0}^{infty }mu (X^{(n)})t^{n}}$.

Существует универсальная мотивационная мера. Принимает значения в K-кольце многообразий, ${displaystyle A=K(V)}$, которое представляет собой кольцо, порожденное символами ${displaystyle [X]}$, для всех сортов ${displaystyle X}$, при условии отношений

${displaystyle [X']=[X],}$ если ${displaystyle X'}$ и ${displaystyle X}$ изоморфны,

${displaystyle [X]=[Z]+[Xsetminus Z]}$ если ${displaystyle Z}$ замкнутое подмногообразие в ${displaystyle X}$,

${displaystyle [X_{1} imes X_{2}]=[X_{1}]cdot [X_{2}]}$.

Универсальная мотивационная мера порождает мотивированную дзета-функцию.

Примеры

Позволять ${displaystyle mathbb {L} =[{mathbb {A} }^{1}]}$ обозначим класс аффинная линия.

${displaystyle Z({mathbb {A} }^{n},t)={frac {1}{1-{mathbb {L} }^{n}t}}}$

${displaystyle Z({mathbb {P} }^{n},t)=prod _{i=0}^{n}{frac {1}{1-{mathbb {L} }^{i}t}}}$

Если ${displaystyle X}$ гладкая проективно неприводимая изгиб из род ${displaystyle g}$ признание линейный пакет степени 1, а мотивационная мера принимает значения в области, в которой ${displaystyle {mathbb {L} }}$ обратима, то

${displaystyle Z(X,t)={frac {P(t)}{(1-t)(1-{mathbb {L} }t)}},,}$

куда ${displaystyle P(t)}$ является многочленом степени ${displaystyle 2g}$. Таким образом, в этом случае мотивирующая дзета-функция равна рациональный. В более высоком измерении мотивирующая дзета-функция не всегда рациональна.

Если ${displaystyle S}$ гладкий поверхность над алгебраически замкнутым полем характеристики ${displaystyle 0}$, то производящая функция по мотивам Схемы Гильберта из ${displaystyle S}$ можно выразить через мотивирующую дзета-функцию следующим образом: Гётче Формула

${displaystyle sum _{n=0}^{infty }[S^{[n]}]t^{n}=prod _{m=1}^{infty }Z(S,{mathbb {L} }^{m-1}t^{m})}$

Здесь ${displaystyle S^{[n]}}$ - схема Гильберта длины ${displaystyle n}$ подсхемы ${displaystyle S}$. Для аффинной плоскости эта формула дает

${displaystyle sum _{n=0}^{infty }[({mathbb {A} }^{2})^{[n]}]t^{n}=prod _{m=1}^{infty }{frac {1}{1-{mathbb {L} }^{m+1}t^{m}}}}$

По сути, это функция распределения.