Мультилинейное умножение - Multilinear multiplication

В полилинейная алгебра, применяя карту, которая является тензорное произведение линейных отображений к тензор называется мультилинейное умножение.

Абстрактное определение

Позволять ${\displaystyle F}$ поле нулевой характеристики, например ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbb {C} }$.Позволять ${\displaystyle V_{k}}$ - конечномерное векторное пространство над ${\displaystyle F}$, и разреши ${\displaystyle {\mathcal {A}}\in V_{1}\otimes V_{2}\otimes \cdots \otimes V_{d}}$ быть на порядок простой тензор, т.е. существуют векторы ${\displaystyle \mathbf {v} _{k}\in V_{k}}$ такой, что ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {v} _{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {v} _{d}}$. Если нам дан набор линейных карт ${\displaystyle A_{k}:V_{k}\to W_{k}}$, то мультилинейное умножение из ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ с ${\displaystyle (A_{1},A_{2},\ldots ,A_{d})}$ определено^[1] как действие на ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ из тензорное произведение этих линейных отображений,^[2] а именно

$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}\otimes A_{2}\otimes \cdots \otimes A_{d}:V_{1}\otimes V_{2}\otimes \cdots \otimes V_{d}&\to W_{1}\otimes W_{2}\otimes \cdots \otimes W_{d},\\\mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {v} _{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {v} _{d}&\mapsto A_{1}(\mathbf {v} _{1})\otimes A_{2}(\mathbf {v} _{2})\otimes \cdots \otimes A_{d}(\mathbf {v} _{d})\end{aligned}}}$$

Поскольку тензорное произведение линейных карт сама по себе является линейной картой,^[2] и поскольку каждый тензор допускает разложение тензорного ранга,^[1] вышеприведенное выражение линейно распространяется на все тензоры. То есть для общего тензора ${\displaystyle {\mathcal {A}}\in V_{1}\otimes V_{2}\otimes \cdots \otimes V_{d}}$, мультилинейное умножение

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {B}}:=(A_{1}\otimes A_{2}\otimes \cdots \otimes A_{d})({\mathcal {A}})\\[4pt]={}&(A_{1}\otimes A_{2}\otimes \cdots \otimes A_{d})\left(\sum _{i=1}^{r}\mathbf {a} _{i}^{1}\otimes \mathbf {a} _{i}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {a} _{i}^{d}\right)\\[5pt]={}&\sum _{i=1}^{r}A_{1}(\mathbf {a} _{i}^{1})\otimes A_{2}(\mathbf {a} _{i}^{2})\otimes \cdots \otimes A_{d}(\mathbf {a} _{i}^{d})\end{aligned}}}$$

куда ${\textstyle {\mathcal {A}}=\sum _{i=1}^{r}\mathbf {a} _{i}^{1}\otimes \mathbf {a} _{i}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {a} _{i}^{d}}$ с ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}^{k}\in V_{k}}$ один из ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$разложения тензорного ранга. Справедливость приведенного выше выражения не ограничивается разложением тензорного ранга; фактически, это справедливо для любого выражения ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ как линейная комбинация чистых тензоров, что следует из универсальное свойство тензорного произведения.

В литературе обычно используются следующие сокращенные обозначения для полилинейных умножений:

$${\displaystyle (A_{1},A_{2},\ldots ,A_{d})\cdot {\mathcal {A}}:=(A_{1}\otimes A_{2}\otimes \cdots \otimes A_{d})({\mathcal {A}})}$$

и

$${\displaystyle A_{k}\cdot _{k}{\mathcal {A}}:=(\operatorname {Id} _{V_{1}},\ldots ,\operatorname {Id} _{V_{k-1}},A_{k},\operatorname {Id} _{V_{k+1}},\ldots ,\operatorname {Id} _{V_{d}})\cdot {\mathcal {A}},}$$

куда ${\displaystyle \operatorname {Id} _{V_{k}}:V_{k}\to V_{k}}$ это оператор идентификации.

Определение в координатах

В вычислительной полилинейной алгебре принято работать в координатах. Предположим, что внутренний продукт закреплен на ${\displaystyle V_{k}}$ и разреши ${\displaystyle V_{k}^{*}}$ обозначить двойное векторное пространство из ${\displaystyle V_{k}}$. Позволять ${\displaystyle \{e_{1}^{k},\ldots ,e_{n_{k}}^{k}\}}$ быть основой для ${\displaystyle V_{k}}$, позволять ${\displaystyle \{(e_{1}^{k})^{*},\ldots ,(e_{n_{k}}^{k})^{*}\}}$ - дуальный базис, и пусть ${\displaystyle \{f_{1}^{k},\ldots ,f_{m_{k}}^{k}\}}$ быть основой для ${\displaystyle W_{k}}$. Линейная карта ${\textstyle M_{k}=\sum _{i=1}^{m_{k}}\sum _{j=1}^{n_{k}}m_{i,j}^{(k)}f_{i}^{k}\otimes (e_{j}^{k})^{*}}$ тогда представляется матрицей ${\displaystyle {\widehat {M}}_{k}=[m_{i,j}^{(k)}]\in F^{m_{k}\times n_{k}}}$. Аналогично, относительно базиса стандартного тензорного произведения ${\displaystyle \{e_{j_{1}}^{1}\otimes e_{j_{2}}^{2}\otimes \cdots \otimes e_{j_{d}}^{d}\}_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{d}}}$, абстрактный тензор

$${\displaystyle {\mathcal {A}}=\sum _{j_{1}=1}^{n_{1}}\sum _{j_{2}=1}^{n_{2}}\cdots \sum _{j_{d}=1}^{n_{d}}a_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{d}}e_{j_{1}}^{1}\otimes e_{j_{2}}^{2}\otimes \cdots \otimes e_{j_{d}}^{d}}$$

представлен многомерным массивом ${\displaystyle {\widehat {\mathcal {A}}}=[a_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{d}}]\in F^{n_{1}\times n_{2}\times \cdots \times n_{d}}}$ . Заметьте, что

$${\displaystyle {\widehat {\mathcal {A}}}=\sum _{j_{1}=1}^{n_{1}}\sum _{j_{2}=1}^{n_{2}}\cdots \sum _{j_{d}=1}^{n_{d}}a_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{d}}\mathbf {e} _{j_{1}}^{1}\otimes \mathbf {e} _{j_{2}}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{j_{d}}^{d},}$$

куда ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}^{k}\in F^{n_{k}}}$ это jстандартный базисный вектор ${\displaystyle F^{n_{k}}}$ а тензорное произведение векторов - аффинное Карта Сегре ${\displaystyle \otimes :(\mathbf {v} ^{(1)},\mathbf {v} ^{(2)},\ldots ,\mathbf {v} ^{(d)})\mapsto [v_{i_{1}}^{(1)}v_{i_{2}}^{(2)}\cdots v_{i_{d}}^{(d)}]_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{d}}}$. Из вышеприведенного выбора базисов следует, что полилинейное умножение ${\displaystyle {\mathcal {B}}=(M_{1},M_{2},\ldots ,M_{d})\cdot {\mathcal {A}}}$ становится

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\mathcal {B}}}&=({\widehat {M}}_{1},{\widehat {M}}_{2},\ldots ,{\widehat {M}}_{d})\cdot \sum _{j_{1}=1}^{n_{1}}\sum _{j_{2}=1}^{n_{2}}\cdots \sum _{j_{d}=1}^{n_{d}}a_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{d}}\mathbf {e} _{j_{1}}^{1}\otimes \mathbf {e} _{j_{2}}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{j_{d}}^{d}\\&=\sum _{j_{1}=1}^{n_{1}}\sum _{j_{2}=1}^{n_{2}}\cdots \sum _{j_{d}=1}^{n_{d}}a_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{d}}({\widehat {M}}_{1},{\widehat {M}}_{2},\ldots ,{\widehat {M}}_{d})\cdot (\mathbf {e} _{j_{1}}^{1}\otimes \mathbf {e} _{j_{2}}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{j_{d}}^{d})\\&=\sum _{j_{1}=1}^{n_{1}}\sum _{j_{2}=1}^{n_{2}}\cdots \sum _{j_{d}=1}^{n_{d}}a_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{d}}({\widehat {M}}_{1}\mathbf {e} _{j_{1}}^{1})\otimes ({\widehat {M}}_{2}\mathbf {e} _{j_{2}}^{2})\otimes \cdots \otimes ({\widehat {M}}_{d}\mathbf {e} _{j_{d}}^{d}).\end{aligned}}}$$

Результирующий тензор ${\displaystyle {\widehat {\mathcal {B}}}}$ живет в ${\displaystyle F^{m_{1}\times m_{2}\times \cdots \times m_{d}}}$.

Поэлементное определение

Из приведенного выше выражения получается поэлементное определение полилинейного умножения. Действительно, поскольку ${\displaystyle {\widehat {\mathcal {B}}}}$ - многомерный массив, его можно выразить как

$${\displaystyle {\widehat {\mathcal {B}}}=\sum _{j_{1}=1}^{n_{1}}\sum _{j_{2}=1}^{n_{2}}\cdots \sum _{j_{d}=1}^{n_{d}}b_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{d}}\mathbf {e} _{j_{1}}^{1}\otimes \mathbf {e} _{j_{2}}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{j_{d}}^{d},}$$

куда ${\displaystyle b_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{d}}\in F}$ коэффициенты. Тогда из приведенных выше формул следует, что

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\left((\mathbf {e} _{i_{1}}^{1})^{T},(\mathbf {e} _{i_{2}}^{2})^{T},\ldots ,(\mathbf {e} _{i_{d}}^{d})^{T}\right)\cdot {\widehat {\mathcal {B}}}\\={}&\sum _{j_{1}=1}^{n_{1}}\sum _{j_{2}=1}^{n_{2}}\cdots \sum _{j_{d}=1}^{n_{d}}b_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{d}}\left((\mathbf {e} _{i_{1}}^{1})^{T}\mathbf {e} _{j_{1}}^{1}\right)\otimes \left((\mathbf {e} _{i_{2}}^{2})^{T}\mathbf {e} _{j_{2}}^{2}\right)\otimes \cdots \otimes \left((\mathbf {e} _{i_{d}}^{d})^{T}\mathbf {e} _{j_{d}}^{d}\right)\\={}&\sum _{j_{1}=1}^{n_{1}}\sum _{j_{2}=1}^{n_{2}}\cdots \sum _{j_{d}=1}^{n_{d}}b_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{d}}\delta _{i_{1},j_{1}}\cdot \delta _{i_{2},j_{2}}\cdots \delta _{i_{d},j_{d}}\\={}&b_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{d}},\end{aligned}}}$$

куда ${\displaystyle \delta _{i,j}}$ это Дельта Кронекера. Следовательно, если ${\displaystyle {\mathcal {B}}=(M_{1},M_{2},\ldots ,M_{d})\cdot {\mathcal {A}}}$, тогда

$${\displaystyle {\begin{aligned}&b_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{d}}=\left((\mathbf {e} _{i_{1}}^{1})^{T},(\mathbf {e} _{i_{2}}^{2})^{T},\ldots ,(\mathbf {e} _{i_{d}}^{d})^{T}\right)\cdot {\widehat {\mathcal {B}}}\\={}&\left((\mathbf {e} _{i_{1}}^{1})^{T},(\mathbf {e} _{i_{2}}^{2})^{T},\ldots ,(\mathbf {e} _{i_{d}}^{d})^{T}\right)\cdot ({\widehat {M}}_{1},{\widehat {M}}_{2},\ldots ,{\widehat {M}}_{d})\cdot \sum _{j_{1}=1}^{n_{1}}\sum _{j_{2}=1}^{n_{2}}\cdots \sum _{j_{d}=1}^{n_{d}}a_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{d}}\mathbf {e} _{j_{1}}^{1}\otimes \mathbf {e} _{j_{2}}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{j_{d}}^{d}\\={}&\sum _{j_{1}=1}^{n_{1}}\sum _{j_{2}=1}^{n_{2}}\cdots \sum _{j_{d}=1}^{n_{d}}a_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{d}}((\mathbf {e} _{i_{1}}^{1})^{T}{\widehat {M}}_{1}\mathbf {e} _{j_{1}}^{1})\otimes ((\mathbf {e} _{i_{2}}^{2})^{T}{\widehat {M}}_{2}\mathbf {e} _{j_{2}}^{2})\otimes \cdots \otimes ((\mathbf {e} _{i_{d}}^{d})^{T}{\widehat {M}}_{d}\mathbf {e} _{j_{d}}^{d})\\={}&\sum _{j_{1}=1}^{n_{1}}\sum _{j_{2}=1}^{n_{2}}\cdots \sum _{j_{d}=1}^{n_{d}}a_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{d}}m_{i_{1},j_{1}}^{(1)}\cdot m_{i_{2},j_{2}}^{(2)}\cdots m_{i_{d},j_{d}}^{(d)},\end{aligned}}}$$

где ${\displaystyle m_{i,j}^{(k)}}$ элементы ${\displaystyle {\widehat {M}}_{k}}$ как определено выше.

Характеристики

Позволять ${\displaystyle {\mathcal {A}}\in V_{1}\otimes V_{2}\otimes \cdots \otimes V_{d}}$ - тензор порядка d над тензорным произведением ${\displaystyle F}$-векторные пространства.

Поскольку полилинейное умножение является тензорным произведением линейных отображений, мы имеем следующее свойство полилинейности (при построении карты):^[1][2]

$${\displaystyle A_{1}\otimes \cdots \otimes A_{k-1}\otimes (\alpha A_{k}+\beta B)\otimes A_{k+1}\otimes \cdots \otimes A_{d}=\alpha A_{1}\otimes \cdots \otimes A_{d}+\beta A_{1}\otimes \cdots \otimes A_{k-1}\otimes B\otimes A_{k+1}\otimes \cdots \otimes A_{d}}$$

Мультилинейное умножение - это линейная карта:^[1][2]

$${\displaystyle (M_{1},M_{2},\ldots ,M_{d})\cdot (\alpha {\mathcal {A}}+\beta {\mathcal {B}})=\alpha \;(M_{1},M_{2},\ldots ,M_{d})\cdot {\mathcal {A}}+\beta \;(M_{1},M_{2},\ldots ,M_{d})\cdot {\mathcal {B}}}$$

Из определения следует, что сочинение двух полилинейных умножений также является полилинейным умножением:^[1][2]

$${\displaystyle (M_{1},M_{2},\ldots ,M_{d})\cdot \left((K_{1},K_{2},\ldots ,K_{d})\cdot {\mathcal {A}}\right)=(M_{1}\circ K_{1},M_{2}\circ K_{2},\ldots ,M_{d}\circ K_{d})\cdot {\mathcal {A}},}$$

куда ${\displaystyle M_{k}:U_{k}\to W_{k}}$ и ${\displaystyle K_{k}:V_{k}\to U_{k}}$ являются линейными отображениями.

Обратите особое внимание на то, что полилинейные умножения на разные множители коммутируют,

$${\displaystyle M_{k}\cdot _{k}\left(M_{\ell }\cdot _{\ell }{\mathcal {A}}\right)=M_{\ell }\cdot _{\ell }\left(M_{k}\cdot _{k}{\mathcal {A}}\right)=M_{k}\cdot _{k}M_{\ell }\cdot _{\ell }{\mathcal {A}},}$$

если ${\displaystyle k\neq \ell .}$

Вычисление

Мультилинейное умножение фактора k ${\displaystyle M_{k}\cdot _{k}{\mathcal {A}}}$ можно вычислить в координатах следующим образом. Прежде всего заметьте, что

$${\displaystyle {\begin{aligned}M_{k}\cdot _{k}{\mathcal {A}}&=M_{k}\cdot _{k}\sum _{j_{1}=1}^{n_{1}}\sum _{j_{2}=1}^{n_{2}}\cdots \sum _{j_{d}=1}^{n_{d}}a_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{d}}\mathbf {e} _{j_{1}}^{1}\otimes \mathbf {e} _{j_{2}}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{j_{d}}^{d}\\&=\sum _{j_{1}=1}^{n_{1}}\cdots \sum _{j_{k-1}=1}^{n_{k-1}}\sum _{j_{k+1}=1}^{n_{k+1}}\cdots \sum _{j_{d}=1}^{n_{d}}\mathbf {e} _{j_{1}}^{1}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{j_{k-1}}^{k-1}\otimes M_{k}\left(\sum _{j_{k}=1}^{n_{k}}a_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{d}}\mathbf {e} _{j_{k}}^{k}\right)\otimes \mathbf {e} _{j_{k+1}}^{k+1}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{j_{d}}^{d}.\end{aligned}}}$$

Далее, поскольку

$${\displaystyle F^{n_{1}}\otimes F^{n_{2}}\otimes \cdots \otimes F^{n_{d}}\simeq F^{n_{k}}\otimes (F^{n_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{n_{k-1}}\otimes F^{n_{k+1}}\otimes \cdots \otimes F^{n_{d}})\simeq F^{n_{k}}\otimes F^{n_{1}\cdots n_{k-1}n_{k+1}\cdots n_{d}},}$$

существует биективное отображение, называемое фактор-k стандарт сплющивание,^[1] обозначается ${\displaystyle (\cdot )_{(k)}}$, который определяет ${\displaystyle M_{k}\cdot _{k}{\mathcal {A}}}$ с элементом из последнего пространства, а именно

$${\displaystyle \left(M_{k}\cdot _{k}{\mathcal {A}}\right)_{(k)}:=\sum _{j_{1}=1}^{n_{1}}\cdots \sum _{j_{k-1}=1}^{n_{k-1}}\sum _{j_{k+1}=1}^{n_{k+1}}\cdots \sum _{j_{d}=1}^{n_{d}}M_{k}\left(\sum _{j_{k}=1}^{n_{k}}a_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{d}}\mathbf {e} _{j_{k}}^{k}\right)\otimes \mathbf {e} _{\mu _{k}(j_{1},\ldots ,j_{k-1},j_{k+1},\ldots ,j_{d})}:=M_{k}{\mathcal {A}}_{(k)},}$$

куда ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$это jстандартный базисный вектор ${\displaystyle F^{N_{k}}}$, ${\displaystyle N_{k}=n_{1}\cdots n_{k-1}n_{k+1}\cdots n_{d}}$, и ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{(k)}\in F^{n_{k}}\otimes F^{N_{k}}\simeq F^{n_{k}\times N_{k}}}$ это фактор-k матрица уплощения из ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ чьи столбцы фактор-k векторов ${\displaystyle [a_{j_{1},\ldots ,j_{k-1},i,j_{k+1},\ldots ,j_{d}}]_{i=1}^{n_{k}}}$ в некотором порядке, определяемом конкретным выбором биективного отображения

$${\displaystyle \mu _{k}:[1,n_{1}]\times \cdots \times [1,n_{k-1}]\times [1,n_{k+1}]\times \cdots \times [1,n_{d}]\to [1,N_{k}].}$$

Другими словами, мультилинейное умножение ${\displaystyle (M_{1},M_{2},\ldots ,M_{d})\cdot {\mathcal {A}}}$ можно вычислить как последовательность d фактор-k мультилинейные умножения, которые сами по себе могут быть эффективно реализованы как классические умножения матриц.

Приложения

В разложение по сингулярным числам высшего порядка (HOSVD) факторизует тензор, заданный в координатах ${\displaystyle {\mathcal {A}}\in F^{n_{1}\times n_{2}\times \cdots \times n_{d}}}$ как мультилинейное умножение ${\displaystyle {\mathcal {A}}=(U_{1},U_{2},\ldots ,U_{d})\cdot {\mathcal {S}}}$, куда ${\displaystyle U_{k}\in F^{n_{k}\times n_{k}}}$ ортогональные матрицы и ${\displaystyle {\mathcal {S}}\in F^{n_{1}\times n_{2}\times \cdots \times n_{d}}}$.

дальнейшее чтение

1. М., Ландсберг Дж. (2012). Тензоры: геометрия и приложения. Провиденс, Р.И .: Американское математическое общество. ISBN  9780821869079. OCLC  733546583.
2. Полилинейная алгебра | Вернер Гройб | Springer. Universitext. Springer. 1978 г. ISBN  9780387902845.