В полилинейная алгебра, а изменение формы из тензоры есть ли биекция между набором индексы из порядок -
тензор и множество индексов порядка
тензор, где
. Использование индексов предполагает наличие тензоров в координатном представлении относительно базиса. Координатное представление тензора можно рассматривать как многомерный массив, и биекция от одного набора индексов к другому, следовательно, сводится к перегруппировке элементов массива в массив другой формы. Такая перестановка представляет собой особый вид линейная карта между векторным пространством порядка-
тензоры и векторное пространство порядка
тензоры.
Определение
Учитывая положительное целое число
, обозначение
относится к набор
из первых d положительные целые числа.
Для каждого целого числа
куда
для положительного целого числа
, позволять Vk обозначить пk-размерный векторное пространство через поле
. Тогда существуют изоморфизмы векторного пространства (линейные отображения)

куда
есть ли перестановка и
это симметричная группа на
элементы. С помощью этих (и других) изоморфизмов векторного пространства тензор может быть интерпретирован несколькими способами как порядок
тензор где
.
Координатное представление
Первый изоморфизм векторных пространств в списке выше,
, дает координатное представление абстрактного тензора. Предположим, что каждый из
векторные пространства
имеет основа
. Выражение тензора относительно этого базиса имеет вид

где коэффициенты

являются элементами

. Координатное представление

является

куда

это
стандартный базисный вектор из

. Это можно рассматривать как
d-мерный массив, элементами которого являются коэффициенты

.
Векторизация
С помощью биективного отображения
, изоморфизм векторного пространства между
и
строится через отображение
где для каждого натурального числа
такой, что
, вектор
обозначает jстандартный базисный вектор
. При таком изменении формы тензор просто интерпретируется как вектор в
. Это известно как векторизация, и аналогичен векторизация матриц. Стандартный выбор биекции
таково, что

что согласуется со способом, которым оператор двоеточия в Matlab и GNU Octave преобразует тензор более высокого порядка в вектор. В общем, векторизация
это вектор
.
Общие сплющивания
Для любой перестановки
Существует канонический изоморфизм между двумя тензорными произведениями векторных пространств
и
. Скобки обычно опускаются в таких продуктах из-за естественный изоморфизм между
и
, но, конечно, может быть введен повторно, чтобы подчеркнуть определенную группу факторов. В группировке

Существуют
группы с
факторы в
группа (где
и
).
Сдача
для каждого
удовлетворение
,
-сглаживание тензора
, обозначенный
, получается путем применения двух описанных выше процессов в каждом из
группы факторов. То есть координатное представление
группа факторов получается с помощью изоморфизма
, что требует указания баз для всех векторных пространств
. Затем результат векторизуется с использованием биекции
получить элемент
, куда
, произведение размерностей векторных пространств в
группа факторов. Результатом применения этих изоморфизмов внутри каждой группы факторов является элемент
, который является тензором порядка
.
Векторизация
является
-реформирование,
в которой
.
Регистрация
Позволять
- координатное представление абстрактного тензора относительно базиса. стандартный факторk сплющивание из
является
-реформирование, в котором
и
. Обычно стандартное уплощение обозначают как

Эти изменения иногда называют аттестация или же разворачивается в литературе. Стандартный выбор для биекций
тот, который соответствует изменению формы функция в Matlab и GNU Octave, а именно
