Многомерная проблема Беренса – Фишера. - Multivariate Behrens–Fisher problem - Wikipedia

В статистика, то многомерная задача Беренса – Фишера это задача проверки равенства средних из двух многомерный нормальный распределения, когда ковариационные матрицы неизвестны и, возможно, не равны. Поскольку это обобщение одномерной Проблема Беренса-Фишера, он унаследовал все трудности, возникающие в одномерной задаче.

Обозначения и постановка задачи

Позволять ${\displaystyle X_{ij}\sim {\mathcal {N}}_{p}(\mu _{i},\,\Sigma _{i})\ \ (j=1,\dots ,n_{i};\ \ i=1,2)\ }$ быть независимыми случайными выборками из двух ${\displaystyle p}$-вариантные нормальные распределения с неизвестными средними векторами ${\displaystyle \mu _{i}}$ и неизвестно матрицы дисперсии ${\displaystyle \Sigma _{i}}$. Индекс ${\displaystyle i}$ относится к первой или второй популяции, а ${\displaystyle j}$-е наблюдение из ${\displaystyle i}$-я популяция ${\displaystyle X_{ij}}$.

Многомерная задача Беренса – Фишера состоит в проверке нулевой гипотезы ${\displaystyle H_{0}}$ что средства равны по сравнению с альтернативой ${\displaystyle H_{1}}$ неравенства:

${\displaystyle H_{0}:\mu _{1}=\mu _{2}\ \ {\text{vs}}\ \ H_{1}:\mu _{1}\neq \mu _{2}.}$

Определите некоторые статистические данные, которые используются в различных попытках решить многомерную задачу Беренса – Фишера, следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {X_{i}}}&={\frac {1}{n_{i}}}\sum _{j=1}^{n_{i}}X_{ij},\\A_{i}&=\sum _{j=1}^{n_{i}}(X_{ij}-{\bar {X_{i}}})(X_{ij}-{\bar {X_{i}}})',\\S_{i}&={\frac {1}{n_{i}-1}}A_{i},\\{\tilde {S_{i}}}&={\frac {1}{n_{i}}}S_{i},\\{\tilde {S}}&={\tilde {S_{1}}}+{\tilde {S_{2}}},\quad {\text{and}}\\T^{2}&=({\bar {X_{1}}}-{\bar {X_{2}}})'{\tilde {S}}^{-1}({\bar {X_{1}}}-{\bar {X_{2}}}).\end{aligned}}}$

Образец означает ${\displaystyle {\bar {X_{i}}}}$ и матрицы суммы квадратов ${\displaystyle A_{i}}$ находятся достаточный для многомерных нормальных параметров ${\displaystyle \mu _{i},\Sigma _{i},\ (i=1,2)}$, поэтому достаточно сделать вывод, основываясь только на этой статистике. Распределения ${\displaystyle {\bar {X_{i}}}}$ и ${\displaystyle A_{i}}$ независимы и соответственно многомерный нормальный и Wishart:^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {X_{i}}}&\sim {\mathcal {N}}_{p}\left(\mu _{i},\Sigma _{i}/n_{i}\right),\\A_{i}&\sim W_{p}(\Sigma _{i},n_{i}-1).\end{aligned}}}$

Фон

В случае равенства дисперсионных матриц распределение ${\displaystyle T^{2}}$ статистика, как известно, F распределение под нулем и нецентральное F-распределение под альтернативу.^[1]

Основная проблема заключается в том, что, когда истинные значения дисперсионной матрицы неизвестны, то при нулевой гипотезе вероятность отклонения ${\displaystyle H_{0}}$ через ${\displaystyle T^{2}}$ тест зависит от неизвестных дисперсионных матриц.^[1] На практике эта зависимость вредит выводам, когда матрицы дисперсии находятся далеко друг от друга или когда размер выборки недостаточно велик для их точной оценки.^[1]

Теперь средние векторы распределены независимо и нормально,

${\displaystyle {\bar {X_{i}}}\sim {\mathcal {N}}_{p}\left(\mu _{i},\Sigma _{i}/n_{i}\right),}$

но сумма ${\displaystyle A_{1}+A_{2}}$ не следует распределению Уишарта,^[1] что затрудняет вывод.

Предлагаемые решения

Предлагаемые решения основаны на нескольких основных стратегиях:^[2][3]

• Вычислить статистику, имитирующую ${\displaystyle T^{2}}$ статистика и которые имеют приблизительную ${\displaystyle F}$ распределение с предполагаемыми степенями свободы (df).
• Использовать обобщенные p-значения на основе обобщенные тестовые переменные.
• Используйте принцип объединения-пересечения Роя ^[3][4][5]

Подходы с использованием Т² с приблизительными степенями свободы

Ниже, ${\displaystyle \mathrm {tr} }$ указывает на оператор трассировки.

Яо (1965)

(цитируется ^[6])

${\displaystyle T^{2}\sim {\frac {\nu p}{\nu -p+1}}F_{p,\nu -p+1},}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu &=\left[{\frac {1}{n_{1}}}\left({\frac {{\bar {X}}_{d}'{\tilde {S}}^{-1}{\tilde {S}}_{1}{\tilde {S}}^{-1}{\bar {X_{d}}}}{{\bar {X}}_{d}'{\tilde {S}}^{-1}{\bar {X}}_{d}}}\right)^{2}+{\frac {1}{n_{2}}}\left({\frac {{\bar {X}}_{d}'{\tilde {S}}^{-1}{\tilde {S}}_{2}{\tilde {S}}^{-1}X_{d}^{-1}}{{\bar {X}}_{d}'{\tilde {S}}^{-1}{\bar {X}}_{d}}}\right)^{2}\right]^{-1},\\{\bar {X}}_{d}&={\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}.\end{aligned}}}$

Йохансен (1980)

(цитируется ^[6])

${\displaystyle T^{2}\sim qF_{p,\nu },}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}q&=p+2D-{\frac {6D}{p(p-1)+2}},\\\nu &={\frac {p(p+2)}{3D}},\\\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}D={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{2}{\frac {1}{n_{i}}}{\Bigg \{}\ &\mathrm {tr} \left[{\left(I-({\tilde {S}}_{1}^{-1}+{\tilde {S}}_{2}^{-1})^{-1}{\tilde {S}}_{i}^{-1}\right)}^{2}\right]\\&{}+{\left[\mathrm {tr} \left(I-({\tilde {S}}_{1}^{-1}+{\tilde {S}}_{2}^{-1})^{-1}{\tilde {S}}_{i}^{-1}\right)\right]}^{2}\ {\Bigg \}}.\\\end{aligned}}}$

Нел и Ван дер Мерве (1986)

(цитируется ^[6])

${\displaystyle T^{2}\sim {\frac {\nu p}{\nu -p+1}}F_{p,\nu -p+1},}$

куда

${\displaystyle \nu ={\frac {\mathrm {tr} ({\tilde {S}}^{2})+[\mathrm {tr} ({\tilde {S}})]^{2}}{{\frac {1}{n_{1}}}\left\{\mathrm {tr} ({\tilde {S_{1}}}^{2})+[\mathrm {tr} ({\tilde {S_{1}}})]^{2}\right\}+{\frac {1}{n_{2}}}\left\{\mathrm {tr} ({\tilde {S_{2}}}^{2})+[\mathrm {tr} ({\tilde {S_{2}}})]^{2}\right\}}}.}$

Комментарии к выступлению

Ким (1992) предложил решение, основанное на варианте ${\displaystyle T^{2}}$. Хотя его мощность высока, тот факт, что он не инвариантен, делает его менее привлекательным. Моделирование, проведенное Субраманиамом и Субраманиамом (1973), показывает, что размер теста Яо ближе к номинальному уровню, чем у Джеймса. Кристенсен и Ренчер (1997) провели численные исследования, сравнивая несколько из этих процедур тестирования, и пришли к выводу, что тесты Ким, Нел и Ван дер Мерве обладают наибольшей мощностью. Однако эти две процедуры не инвариантны.

Кришнамурти и Ю (2004)

Кришнамурти и Ю (2004) предложили процедуру, которая корректирует в Нел и Вар дер Мерве (1986) приблизительную df для знаменателя ${\displaystyle T^{2}}$ под нулевым распределением, чтобы сделать его инвариантным. Они показывают, что приблизительные степени свободы лежат в интервале${\displaystyle \left[\min\{n_{1}-1,n_{2}-1\},n_{1}+n_{2}-2\right]}$чтобы гарантировать, что степени свободы не отрицательные. Они сообщают о численных исследованиях, которые показывают, что их процедура столь же эффективна, как тест Неля и Ван дер Мерве для меньшего измерения, и более эффективна для большего измерения. В целом они утверждают, что их процедура лучше, чем инвариантные процедуры Яо (1965) и Йохансена (1980). Таким образом, процедура Кришнамурти и Ю (2004) имеет самый известный размер и мощность по состоянию на 2004 год.

Статистика теста ${\displaystyle T^{2}}$ в процедуре Кришнмурти и Ю следует распределению${\displaystyle T^{2}\sim \nu pF_{p,\nu -p+1}/(\nu -p+1),}$ куда

${\displaystyle \nu ={\frac {p+p^{2}}{{\frac {1}{n_{1}-1}}\{\mathrm {tr} [({\tilde {S}}_{1}{\tilde {S}}^{-1})^{2}]+[\mathrm {tr} ({\tilde {S}}_{1}{\tilde {S}}^{-1})]^{2}\}+{\frac {1}{n_{2}-1}}\{\mathrm {tr} [({\tilde {S}}_{2}{\tilde {S}}^{-1})^{2}]+[\mathrm {tr} ({\tilde {S}}_{2}{\tilde {S}}^{-1})]^{2}\}}}.}$

Рекомендации

1. Андерсон, Т. (2003). Введение в многомерный статистический анализ (3-е изд.). Хобокен, Н. Дж .: Wiley Interscience. п. 259. ISBN  0-471-36091-0.
2. Christensen, W. F .; А.К. Ренчер (1997). «Сравнение количества ошибок типа I и уровней мощности для семи решений многомерной задачи Беренса – Фишера». Сообщения в статистике. Моделирование и вычисления. 26: 1251–1273. Дои:10.1080/03610919708813439.
3. Парк, Чжунён; Бимал Синха (2007). Некоторые аспекты многомерной задачи Беренса – Фишера. (PDF) (Технический отчет).
4. Олкин, Инграм; Джек Л. Томский (1981). «Новый класс многомерных тестов, основанный на принципе объединения-пересечения». Анна. Стат. 9 (4): 792–802. Дои:10.1214 / aos / 1176345519.
5. Gamage, J .; Т. Мэтью; С. Вираханди (2004). «Обобщенные p-значения и обобщенные доверительные области для многомерной задачи Беренса-Фишера и MANOVA». Журнал многомерного анализа. 88: 177–189. Дои:10.1016 / s0047-259x (03) 00065-4.
6. Кришнамурти, К .; Дж. Ю (2004). «Модифицированный тест Неля и Ван дер Мерве для многомерной задачи Беренса-Фишера». Статистика и вероятностные письма. 66: 161–169. Дои:10.1016 / j.spl.2003.10.012.

• Родригес-Кортес, Ф. Дж. И Нагар, Д. К. (2007). Процентные баллы для проверки равенства средних векторов. Журнал Нигерийского математического общества, 26:85–95.
• Гупта А. К., Нагар Д. К., Матеу Дж. И Родригес-Кортес Ф. Дж. (2013). Процентные точки тестовой статистики, полезной в manova со структурированными ковариационными матрицами. Журнал прикладной статистической науки, 20:29-41.