Узкая классная группа - Narrow class group

В алгебраическая теория чисел, то узкоклассная группа из числовое поле K это уточнение классная группа из K который учитывает некоторую информацию о вложениях K в области действительные числа.

Формальное определение

Предположим, что K это конечное расширение из Q. Напомним, что обычная группа классов K определяется как

${\displaystyle C_{K}=I_{K}/P_{K},\,\!}$

куда я_K это группа фракционные идеалы из K, и п_K группа главных дробных идеалов K, то есть идеалы вида АО_K куда а является элементом K.

В узкоклассная группа определяется как частное

${\displaystyle C_{K}^{+}=I_{K}/P_{K}^{+},}$

где сейчас п_K⁺ это группа полностью положительные главные дробные идеалы из K; то есть идеалы формы АО_K куда а является элементом K такое, что σ (а) является положительный для каждого вложения

${\displaystyle \sigma :K\to \mathbf {R} .}$

Использует

Узкая классовая группа занимает видное место в теории представления целых чисел с помощью квадратичные формы. Примером может служить следующий результат (Фрёлих и Тейлор, глава V, теорема 1.25).

Теорема. Предположим, что

${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}}),}$

куда d это целое число без квадратов, и что узкоклассная группа K тривиально. Предположим, что

${\displaystyle \{\omega _{1},\omega _{2}\}\,\!}$

является базисом кольца целых чисел K. Определите квадратичную форму

${\displaystyle q_{K}(x,y)=N_{K/\mathbf {Q} }(\omega _{1}x+\omega _{2}y)}$,

куда N_K/Q это норма. Затем простое число п имеет форму

${\displaystyle p=q_{K}(x,y)\,\!}$

для некоторых целых чисел Икс и у если и только если либо

${\displaystyle p\mid d_{K}\,\!,}$

или же

${\displaystyle p=2\quad {\mbox{and}}\quad d_{K}\equiv 1{\pmod {8}},}$

или же

${\displaystyle p>2\quad {\mbox{and}}\quad \left({\frac {d_{K}}{p}}\right)=1,}$

куда d_K это дискриминант из K, и

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)}$

указывает на Символ Лежандра.

Примеры

Например, можно доказать, что квадратичные поля Q(√−1), Q(√2), Q(√−3) все имеют тривиальную узкую группу классов. Затем, выбирая соответствующие базы для целые числа каждого из этих поля, из приведенной теоремы следует следующее:

• Премьер п имеет форму п = Икс² + у² для целых чисел Икс и у если и только если

${\displaystyle p=2\quad {\mbox{or}}\quad p\equiv 1{\pmod {4}}.}$

(Это известно как Теорема Ферма о суммах двух квадратов.)

• Премьер п имеет форму п = Икс² − 2у² для целых чисел Икс и у если и только если

${\displaystyle p=2\quad {\mbox{or}}\quad p\equiv 1,7{\pmod {8}}.}$

• Премьер п имеет форму п = Икс² − ху + у² для целых чисел Икс и у если и только если

${\displaystyle p=3\quad {\mbox{or}}\quad p\equiv 1{\pmod {3}}.}$ (ср. Эйзенштейн простое )

Пример, иллюстрирующий разницу между узкой классовой группой и обычная классная группа это случай Q(√6). У этого есть тривиальная группа классов, но его узкая группа классов имеет порядок 2. Поскольку группа классов тривиальна, верно следующее утверждение:

• Премьер п или его обратное -п имеет форму ± p = Икс² - 6у² для целых чисел Икс и у если и только если

${\displaystyle p=2\quad {\mbox{or}}\quad p=3\quad {\mbox{or}}\quad \left({\frac {6}{p}}\right)=1.}$

Однако это утверждение неверно, если мы сосредоточимся только на п и нет -п (и даже ложно для п = 2), поскольку узкая группа классов нетривиальна. Утверждение, которое классифицирует положительное п следующее:

• Премьер п имеет форму п = Икс² - 6у² для целых чисел Икс и у если и только если п = 3 или

${\displaystyle \left({\frac {6}{p}}\right)=1\quad {\mbox{and}}\quad \left({\frac {-2}{p}}\right)=1.}$

(Принимая во внимание, что первое утверждение допускает простые числа ${\displaystyle p\equiv 1,5,19,23{\pmod {24}}}$, второй допускает только простые числа ${\displaystyle p\equiv 1,19{\pmod {24}}}$.)

Смотрите также

• Группа класса
• Квадратичная форма

Рекомендации

• А. Фрёлих и М. Дж. Тейлор, Алгебраическая теория чисел (стр.180), Cambridge University Press, 1991.