Вложенные интервалы - Nested intervals

4 члена последовательности вложенных интервалов

В математика, последовательность вложенные интервалы понимается как набор наборов действительных чисел

я п

так что каждый набор $я п$ является интервал реальной линии, для п = 1, 2, 3, ..., и что далее

я п + 1

это подмножество

я п

для всех п. Другими словами, интервалы уменьшаются, левый конец перемещается только вправо, а правый - только влево.

Главный вопрос, который необходимо задать, - это природа пересечение из всех $я п$ . Без какой-либо дополнительной информации все, что можно сказать, это то, что перекресток J из всех $я п$ , т.е. совокупность всех точек, общих для интервалов, является либо пустой набор, точка или некоторый интервал.

Возможность пустого пересечения можно проиллюстрировать пересечением, когда $я п$ это открытый интервал

(0, 2 - п)

.

Здесь перекресток пустой, потому что нет номера Икс одновременно больше 0 и меньше каждой дроби 2^−п.

Иная ситуация для закрытые интервалы. В Теорема о вложенных интервалах заявляет, что если каждый $я п$ замкнутый и ограниченный интервал, скажем

я п = [а п, б п]

с участием

а п \leq б п

тогда в предположении вложенности пересечение $я п$ не пусто. Это может быть одноэлементный набор {c} или другой закрытый интервал [а, б]. Более конкретно, требование вложенности означает, что

а п \leq а п + 1

и

б п \geq б п + 1

.

Более того, если длина интервалов сходится к 0, то пересечение $я п$ это синглтон.

Можно рассмотреть дополнение каждого интервала, записанное как ${displaystyle (-infty, a_ {n}) чашка (b_ {n}, infty)}$ . От Законы де Моргана, дополнение к пересечению представляет собой объединение двух непересекающихся открытых множеств. Посредством связность из реальная линия должно быть что-то между ними. Это показывает, что пересечение (даже бесчисленный количество) вложенных, замкнутых и ограниченных интервалов непусто.

Высшие измерения

В двух измерениях есть аналогичный результат: вложенный закрытые диски в плоскости должно быть общее пересечение. Этот результат показал Герман Вейль классифицировать сингулярное поведение некоторых дифференциальные уравнения.

Смотрите также

использованная литература

Фриди, Дж. А. (2000), "3.3 Теорема о вложенных интервалах", Вводный анализ: теория исчисления, Academic Press, стр. 29, ISBN 9780122676550.
Шилов, Георгий Э. (2012), "1.8 Принцип вложенных интервалов", Элементарный действительный и комплексный анализ, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, стр. 21–22, ISBN 9780486135007.
Сохраб, Хушанг Х. (2003), "Теорема 2.1.5 (теорема о вложенных интервалах)", Базовый реальный анализ, Springer, стр. 45, ISBN 9780817642112.