Нильпотентная орбита - Nilpotent orbit

В математике нильпотентные орбиты являются обобщениями нильпотентный матрицы которые играют важную роль в теория представлений реальных и сложных полупростые группы Ли и полупростые алгебры Ли.

Определение

Элемент Икс из полупростая алгебра Ли грамм называется нильпотентный если это присоединенный эндоморфизм

объявление X: грамм → грамм, объявление X(Y) = [Икс,Y]

нильпотентна, то есть (объявление X)^п = 0 для достаточно большого п. Эквивалентно Икс нильпотентен, если его характеристический многочлен п_{объявление X}(т) равно т^{тусклый грамм}.

Полупростой Группа Ли или же алгебраическая группа грамм действует на свою алгебру Ли через присоединенное представительство, и свойство быть нильпотентным инвариантно относительно этого действия. А нильпотентная орбита - орбита присоединенного действия такая, что любой (эквивалентно, все) ее элементы являются (являются) нильпотентными.

Примеры

Нильпотентный ${displaystyle n imes n}$ матрицы со сложными элементами образуют основной мотивирующий случай для общей теории, соответствующий сложным общая линейная группа. От Нормальная форма Джордана матриц мы знаем, что каждая нильпотентная матрица сопряжена с уникальной матрицей с жордановыми блоками размеров ${displaystyle lambda _ {1} geq lambda _ {2} geq ldots geq lambda _ {r},}$ куда ${displaystyle lambda}$ это раздел из п. Таким образом, в случае п= 2 есть две нильпотентные орбиты, нулевая орбита состоящий из нулевая матрица и соответствующий разбиению (1,1) и главная орбита состоящий из всех ненулевых матриц А с нулевым следом и определителем,

{displaystyle A = {egin {bmatrix} x & y z & -xend {bmatrix}}, quad (x, y, z) eq (0,0,0) quad {;}}

с

{displaystyle x ^ {2} + yz = 0,}

соответствующий разделу (2). Геометрически эта орбита представляет собой двумерную комплексную квадратичную конус в четырехмерном векторном пространстве ${displaystyle 2 imes 2}$ матрицы минус его вершина.

Комплекс специальная линейная группа является подгруппой общей линейной группы с такими же нильпотентными орбитами. Однако если мы заменим сложный специальная линейная группа с настоящий специальная линейная группа, могут возникнуть новые нильпотентные орбиты. В частности, для п= 2 теперь есть 3 нильпотентные орбиты: нулевая орбита и два действительных полуконуса (без вершины), соответствующие положительным и отрицательным значениям ${displaystyle y-z}$ в параметризации выше.

Характеристики

Нильпотентные орбиты можно охарактеризовать как орбиты сопряженного действия, Зариски закрытие содержит 0.
Число нильпотентных орбит конечно.
Замыкание Зариского нильпотентной орбиты представляет собой объединение нильпотентных орбит.
Теорема Якобсона – Морозова.: над полем характеристика ноль, любой нильпотентный элемент е может быть включен в сл₂-тройной {е,час,ж} и все такие тройки сопряжены Z_грамм(е), централизатор из е в грамм. Вместе с теорией представлений сл₂, это позволяет пометить нильпотентные орбиты конечными комбинаторными данными, что приводит к Классификация Дынкина – Костанта нильпотентных орбит.

Структура Poset

Нильпотентные орбиты образуют частично заказанный набор: учитывая две нильпотентные орбиты, О₁ меньше или равно О₂ если О₁ содержится в закрытии Зариского О₂. Этот ЧУМ имеет уникальный минимальный элемент, нулевую орбиту и единственный максимальный элемент, регулярная нильпотентная орбита, но в целом это не градуированный посет. Если поле земли алгебраически замкнутый тогда нулевая орбита покрытый по уникальной орбите, называемой минимальная орбита, а регулярная орбита покрывает единственную орбиту, называемую субрегулярная орбита.

В случае специальная линейная группа SL_п, нильпотентные орбиты параметризуются перегородки из п. По теореме Gerstenhaber, порядок орбит соответствует порядок доминирования на перегородках п. Более того, если грамм является группа изометрий билинейной формы, т.е. ортогональная или симплектическая подгруппа группы SL_п, то его нильпотентные орбиты параметризуются разбиениями п удовлетворяющее определенному условию четности и соответствующая структура ч.у. индуцирована порядком доминирования на всех разбиениях (это нетривиальная теорема, принадлежащая Герстенхаберу и Хесселинку).

Смотрите также

Присоединенное представительство