Узловое разложение - Nodal decomposition

Узловая декомпозиция.

В теория категорий, абстрактная математическая дисциплина, узловое разложение^[1] морфизма ${\displaystyle \varphi :X\to Y}$ представляет собой представление ${\displaystyle \varphi }$ как продукт ${\displaystyle \varphi =\sigma \circ \beta \circ \pi }$, куда ${\displaystyle \pi }$ это сильный эпиморфизм^[2][3][4], ${\displaystyle \beta }$ а биморфизм, и ${\displaystyle \sigma }$ а сильный мономорфизм.^[5][3][4]

Уникальность и обозначения

Единственность узлового разложения.

Если существует, узловое разложение единственно с точностью до изоморфизма в следующем смысле: для любых двух узловых разложений ${\displaystyle \varphi =\sigma \circ \beta \circ \pi }$ и ${\displaystyle \varphi =\sigma '\circ \beta '\circ \pi '}$ существуют изоморфизмы ${\displaystyle \eta }$ и ${\displaystyle \theta }$ такой, что

${\displaystyle \pi '=\eta \circ \pi ,}$

${\displaystyle \beta =\theta \circ \beta '\circ \eta ,}$

${\displaystyle \sigma '=\sigma \circ \theta .}$

Обозначения.

Это свойство оправдывает некоторые специальные обозначения элементов узловой декомпозиции:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\pi =\operatorname {coim} _{\infty }\varphi ,&&P=\operatorname {Coim} _{\infty }\varphi ,\\&\beta =\operatorname {red} _{\infty }\varphi ,&&\\&\sigma =\operatorname {im} _{\infty }\varphi ,&&Q=\operatorname {Im} _{\infty }\varphi ,\end{aligned}}}$

- здесь ${\displaystyle \operatorname {coim} _{\infty }\varphi }$ и ${\displaystyle \operatorname {Coim} _{\infty }\varphi }$ называются узловое изображение ${\displaystyle \varphi }$, ${\displaystyle \operatorname {im} _{\infty }\varphi }$ и ${\displaystyle \operatorname {Im} _{\infty }\varphi }$ в узловое изображение ${\displaystyle \varphi }$, и ${\displaystyle \operatorname {red} _{\infty }\varphi }$ в узловая приведенная часть ${\displaystyle \varphi }$.

В этих обозначениях узловое разложение принимает вид

${\displaystyle \varphi =\operatorname {im} _{\infty }\varphi \circ \operatorname {red} _{\infty }\varphi \circ \operatorname {coim} _{\infty }\varphi .}$

Связь с базовой декомпозицией в преабелевых категориях

В преабелева категория ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ каждый морфизм ${\displaystyle \varphi }$ имеет стандартное разложение

${\displaystyle \varphi =\operatorname {im} \varphi \circ \operatorname {red} \varphi \circ \operatorname {coim} \varphi }$,

называется основное разложение (здесь ${\displaystyle \operatorname {im} \varphi =\ker(\operatorname {coker} \varphi )}$, ${\displaystyle \operatorname {coim} \varphi =\operatorname {coker} (\ker \varphi )}$, и ${\displaystyle \operatorname {red} \varphi }$ - соответственно образ, коимаж и редуцированная часть морфизма ${\displaystyle \varphi }$).

Узловые и базовые разложения.

Если морфизм ${\displaystyle \varphi }$ в преабелева категория ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ имеет узловое разложение, то существуют морфизмы ${\displaystyle \eta }$ и ${\displaystyle \theta }$ которые (не обязательно изоморфизмы) связывают узловое разложение с основным разложением следующими тождествами:

${\displaystyle \operatorname {coim} _{\infty }\varphi =\eta \circ \operatorname {coim} \varphi ,}$

${\displaystyle \operatorname {red} \varphi =\theta \circ \operatorname {red} _{\infty }\varphi \circ \eta ,}$

${\displaystyle \operatorname {im} _{\infty }\varphi =\operatorname {im} \varphi \circ \theta .}$

Категории с узловой декомпозицией

Категория ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ называется категория с узловой декомпозицией^[1] если каждый морфизм ${\displaystyle \varphi }$ имеет узловое разложение в ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$. Это свойство играет важную роль при построении конверты и уточнения в ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$.

В абелева категория ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ основное разложение

${\displaystyle \varphi =\operatorname {im} \varphi \circ \operatorname {red} \varphi \circ \operatorname {coim} \varphi }$

всегда узловой. Как следствие, все абелевы категории имеют узловое разложение.

Если преабелева категория ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ линейно полный^[6], обладающая сильными мономорфизмами^[7] и обладают сильными эпиморфизмами^[8], тогда ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ имеет узловое разложение.^[9]

В более общем смысле, предположим категорию ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ линейно полный^[6], обладающая сильными мономорфизмами^[7], обладающие сильными эпиморфизмами^[8], причем сильные эпиморфизмы различают мономорфизмы^[10] в ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$, и, двойственно, сильные мономорфизмы различают эпиморфизмы^[11] в ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$, тогда ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ имеет узловое разложение.^[12]

Категория Ste из стереотипные пространства (будучи неабелевым) имеет узловое разложение^[13], а также (не-добавка ) категория SteAlg из стереотипные алгебры .^[14]

Примечания

1. Акбаров 2016, п. 28.
2. An эпиморфизм ${\displaystyle \varepsilon :A\to B}$ как говорят сильный, если для любого мономорфизм ${\displaystyle \mu :C\to D}$ и для любых морфизмов ${\displaystyle \alpha :A\to C}$ и ${\displaystyle \beta :B\to D}$ такой, что ${\displaystyle \beta \circ \varepsilon =\mu \circ \alpha }$ существует морфизм ${\displaystyle \delta :B\to C}$, так что ${\displaystyle \delta \circ \varepsilon =\alpha }$ и ${\displaystyle \mu \circ \delta =\beta }$.
   
3. Borceux 1994.
4. Цаленко 1974. sfn error: нет цели: CITEREFTsalenko1974 (помощь)
5. А мономорфизм ${\displaystyle \mu :C\to D}$ как говорят сильный, если для любого эпиморфизм ${\displaystyle \varepsilon :A\to B}$ и для любых морфизмов ${\displaystyle \alpha :A\to C}$ и ${\displaystyle \beta :B\to D}$ такой, что ${\displaystyle \beta \circ \varepsilon =\mu \circ \alpha }$ существует морфизм ${\displaystyle \delta :B\to C}$, так что ${\displaystyle \delta \circ \varepsilon =\alpha }$ и ${\displaystyle \mu \circ \delta =\beta }$
6. Категория ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ как говорят линейно полный, если любой функтор из линейно упорядоченного множества в ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ имеет непосредственный и обратные пределы.
7. Категория ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ как говорят обладает сильными мономорфизмами, если для каждого объекта ${\displaystyle X}$ категория ${\displaystyle \operatorname {SMono} (X)}$ из всех сильные мономорфизмы в ${\displaystyle X}$ скелетно мал (то есть имеет скелет, который является набором).
8. Категория ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ как говорят обладают сильными эпиморфизмами, если для каждого объекта ${\displaystyle X}$ категория ${\displaystyle \operatorname {SEpi} (X)}$ из всех сильные эпиморфизмы из ${\displaystyle X}$ скелетно мал (то есть имеет скелет, который является набором).
9. Акбаров 2016, п. 37.
10. Он сказал, что сильные эпиморфизмы различают мономорфизмы в категории ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$, если каждый морфизм ${\displaystyle \mu }$, которая не является мономорфизмом, может быть представлена ​​как композиция ${\displaystyle \mu =\mu '\circ \varepsilon }$, куда ${\displaystyle \varepsilon }$ это сильный эпиморфизм что не является изоморфизмом.
11. Он сказал, что сильные мономорфизмы различают эпиморфизмы в категории ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$, если каждый морфизм ${\displaystyle \varepsilon }$, не являющийся эпиморфизмом, можно представить в виде композиции ${\displaystyle \varepsilon =\mu \circ \varepsilon '}$, куда ${\displaystyle \mu }$ это сильный мономорфизм что не является изоморфизмом.
12. Акбаров 2016, п. 31.
13. Акбаров 2016, п. 142.
14. Акбаров 2016, п. 164.

Рекомендации

• Борсё, Ф. (1994). Справочник по категориальной алгебре 1. Основная теория категорий. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521061193.
• Цаленко, М.С .; Шульгейфер, Э. (1974). Основы теории категорий. Наука.
• Акбаров, С.С. (2016). «Конверты и уточнения по категориям, с приложениями к функциональному анализу». Математические диссертации. 513: 1–188. arXiv:1110.2013. Дои:10.4064 / dm702-12-2015.