График переполнения - Overfull graph

В теория графов, переполненный график это граф, размер больше, чем произведение на максимум степень и половина его порядок настил, т.е. ${displaystyle |E|>Delta (G)lfloor |V|/2floor }$ куда ${displaystyle |E|}$ это размер грамм, ${displaystyle displaystyle Delta (G)}$ это максимальная степень грамм, и ${displaystyle |V|}$ это порядок грамм. Концепция переполненный подграф, переполненный граф, являющийся подграф, сразу следует. Альтернативное, более строгое определение переполненного подграфа S графа G требует ${displaystyle displaystyle Delta (G)=Delta (S)}$.

Характеристики

Несколько свойств переполненных графов:

1. Переполненные графы имеют нечетный порядок.
2. Переполненные графики 2 класс. То есть они требуют как минимум Δ + 1 цвета в любых окраска края.
3. График грамм, с переполненным подграфом S такой, что ${displaystyle displaystyle Delta (G)=Delta (S)}$, относится к классу 2.

Чрезмерная гипотеза

В 1986 г. Аманда Четвинд и Энтони Хилтон выдвинул следующую гипотезу, которая теперь известна как чрезмерная догадка.^[1]

График грамм с ${displaystyle Delta (G)geq n/3}$ является классом 2 тогда и только тогда, когда он имеет переполненный подграф S такой, что ${displaystyle displaystyle Delta (G)=Delta (S)}$.

Эта гипотеза, если она верна, имела бы множество применений в теории графов, включая Гипотеза 1-факторизации.^[2]

Алгоритмы

Для графиков, в которых ${displaystyle Delta geq {frac {n}{3}}}$, есть не более трех индуцированный переполненный подграф, и можно найти переполненный подграф в полиномиальное время. Когда ${displaystyle Delta geq {frac {n}{2}}}$существует не более одного индуцированного переполненного подграфа, и его можно найти за линейное время.^[3]

Рекомендации

1. Chetwynd, A.G .; Хилтон, А. Дж. У. (1986), «Звездные мультиграфы с тремя вершинами максимальной степени» (PDF), Математические труды Кембриджского философского общества, 100 (2): 303–317, Дои:10.1017 / S030500410006610X, МИСТЕР  0848854.
2. Chetwynd, A.G .; Хилтон, А. Дж. У. (1989), "1-факторизация регулярных графов высокой степени - улучшенная оценка", Дискретная математика, 75 (1–3): 103–112, Дои:10.1016 / 0012-365X (89) 90082-4, МИСТЕР  1001390.
3. Ниссен, Томас (2001), «Как найти переполненные подграфы в графах с большой максимальной степенью. II», Электронный журнал комбинаторики, 8 (1), Исследовательский доклад 7, МИСТЕР  1814514.