Критерий Переса – Городецкого - Peres–Horodecki criterion

В Критерий Переса – Городецкого это необходимое условие для сустава матрица плотности ${\displaystyle \rho }$ двух квантово-механических систем ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, быть отделяемый. Его еще называют PPT критерий, для положительное частичное транспонирование. В случаях размерностей 2x2 и 2x3 условие также является достаточным. Он используется для определения отделимости смешанные состояния, где Разложение Шмидта не применяется.

В более высоких измерениях тест неубедителен, и его следует дополнить более сложными тестами, например, основанными на свидетели запутывания.

Определение

Если у нас есть общее состояние ${\displaystyle \rho }$ который действует на ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}}$

${\displaystyle \rho =\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |k\rangle \langle l|}$

Его частичное транспонировать (по отношению к стороне B) определяется как

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}:=(I\otimes T)(\rho )=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes (|k\rangle \langle l|)^{T}=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |l\rangle \langle k|=\sum _{ijkl}p_{lk}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |k\rangle \langle l|}$

Обратите внимание, что частичный в названии подразумевается, что транспонируется только часть состояния. Точнее, ${\displaystyle (I\otimes T)(\rho )}$ это личность карта применяется к стороне A, а карта транспонирования применяется к стороне B.

Это определение можно увидеть более четко, если мы запишем состояние в виде блочной матрицы:

${\displaystyle \rho ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\dots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&&\\\vdots &&\ddots &\\A_{n1}&&&A_{nn}\end{pmatrix}}}$

Где ${\displaystyle n=\dim {\mathcal {H}}_{A}}$, а каждый блок представляет собой квадратную матрицу размерности ${\displaystyle m=\dim {\mathcal {H}}_{B}}$. Тогда частичное транспонирование будет

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}={\begin{pmatrix}A_{11}^{T}&A_{12}^{T}&\dots &A_{1n}^{T}\\A_{21}^{T}&A_{22}^{T}&&\\\vdots &&\ddots &\\A_{n1}^{T}&&&A_{nn}^{T}\end{pmatrix}}}$

Критерий утверждает, что если ${\displaystyle \rho \;\!}$ отделимо, то все собственные значения из ${\displaystyle \rho ^{T_{B}}}$ неотрицательны. Другими словами, если ${\displaystyle \rho ^{T_{B}}}$ имеет отрицательное собственное значение, ${\displaystyle \rho \;\!}$ гарантированно будет запутанный. Обратное к этим утверждениям верно тогда и только тогда, когда размерность пространства продукта равна ${\displaystyle 2\times 2}$ или же ${\displaystyle 2\times 3}$.

Результат не зависит от партии, которая была перенесена, потому что ${\displaystyle \rho ^{T_{A}}=(\rho ^{T_{B}})^{T}}$.

Пример

Рассмотрим это 2-кубитное семейство Вернер заявляет:

${\displaystyle \rho =p|\Psi ^{-}\rangle \langle \Psi ^{-}|+(1-p){\frac {I}{4}}}$

Его можно рассматривать как выпуклое сочетание из ${\displaystyle |\Psi ^{-}\rangle }$, а максимально запутанное состояние, и идентичность, максимально смешанное состояние.

Его матрица плотности равна

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1-p&0&0&0\\0&p+1&-2p&0\\0&-2p&p+1&0\\0&0&0&1-p\end{pmatrix}}}$

и частичное транспонирование

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1-p&0&0&-2p\\0&p+1&0&0\\0&0&p+1&0\\-2p&0&0&1-p\end{pmatrix}}}$

Его наименьшее собственное значение ${\displaystyle (1-3p)/4}$. Следовательно, состояние запутано для ${\displaystyle 1\geq p>1/3}$.

Демонстрация

Если ρ отделимо, его можно записать как

${\displaystyle \rho =\sum p_{i}\rho _{i}^{A}\otimes \rho _{i}^{B}}$

В этом случае эффект частичного транспонирования тривиален:

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}=I\otimes T(\rho )=\sum p_{i}\rho _{i}^{A}\otimes (\rho _{i}^{B})^{T}}$

Поскольку отображение транспонирования сохраняет собственные значения, спектр ${\displaystyle (\rho _{i}^{B})^{T}}$ такой же, как спектр ${\displaystyle \rho _{i}^{B}\;\!}$, и в частности ${\displaystyle (\rho _{i}^{B})^{T}}$ все еще должно быть положительным полуопределенным. Таким образом ${\displaystyle \rho ^{T_{B}}}$ также должно быть положительно полуопределенным. Это доказывает необходимость критерия PPT.

Более сложно показать, что быть PPT также достаточно для случаев 2 X 2 и 3 X 2 (эквивалентно 2 X 3). Городецкие показали, что для каждого запутанного состояния существует свидетель запутывания. Это результат геометрической природы и вызывает Теорема Хана – Банаха (см. ссылку ниже).

По наличию свидетелей запутывания можно показать, что ${\displaystyle I\otimes \Lambda (\rho )}$ быть позитивным для всех положительные карты Λ - необходимое и достаточное условие отделимости ρ, где Λ отображает ${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{B})}$ к ${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{A})}$

Кроме того, каждая положительная карта из ${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{B})}$ к ${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{A})}$ можно разложить на сумму полностью положительных и полностью копозитивных отображений, когда ${\displaystyle {\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{B})=2}$ и ${\displaystyle {\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{A})=2\;{\textrm {or}}\;3}$. Другими словами, любое такое отображение Λ можно записать как

${\displaystyle \Lambda =\Lambda _{1}+\Lambda _{2}\circ T,}$

куда ${\displaystyle \Lambda _{1}}$ и ${\displaystyle \Lambda _{2}}$ полностью положительны и Т - отображение транспозиции. Это следует из теоремы Стёрмера-Вороновича.

Грубо говоря, карта транспонирования является единственной, которая может генерировать отрицательные собственные значения в этих измерениях. Так что если ${\displaystyle \rho ^{T_{B}}}$ положительный, ${\displaystyle I\otimes \Lambda (\rho )}$ положительна для любого Λ. Таким образом, мы заключаем, что критерия Переса – Городецкого также достаточно для отделимости, когда ${\displaystyle {\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B})\leq 6}$.

Однако в более высоких измерениях существуют карты, которые нельзя разложить таким образом, и критерий уже недостаточен. Следовательно, есть запутанные состояния, которые имеют положительное частичное транспонирование. Такие состояния обладают тем интересным свойством, что они связанный запутанный, т.е. они не могут быть дистиллированный за квантовая связь целей.

Системы непрерывных переменных

Критерий Переса – Городецкого был распространен на системы с непрерывными переменными. Саймон ^[1] сформулировал частный вариант критерия PPT в терминах моментов второго порядка канонических операторов и показал, что он необходим и достаточен для ${\displaystyle 1\oplus 1}$-модовые гауссовские состояния (см.^[2] для, казалось бы, другого, но по сути эквивалентного подхода). Позже было найдено ^[3] что условие Саймона также необходимо и достаточно для ${\displaystyle 1\oplus n}$-модовых гауссовских состояний, но уже недостаточно для ${\displaystyle 2\oplus 2}$-модовые гауссовские состояния. Условие Саймона можно обобщить, учитывая моменты высших порядков канонических операторов ^[4][5] или с помощью энтропийных мер.^[6][7]

Симметричные системы

Для симметричных состояний двудольных систем положительность частичного транспонирования матрицы плотности связана со знаком некоторых двухчастичных корреляций. Здесь симметрия означает, что

${\displaystyle \rho F_{AB}=F_{AB}\rho =\rho ,}$

держит, где ${\displaystyle F_{AB}}$ является ли оператор переворота или свопа обменивается двумя сторонами ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$. Полный базис симметричного подпространства имеет вид ${\displaystyle (\vert n\rangle _{A}\vert m\rangle _{B}+\vert m\rangle _{A}\vert n\rangle _{B})/{\sqrt {2}}}$ с ${\displaystyle m\neq n}$ и ${\displaystyle \vert n\rangle _{A}\vert n\rangle _{B}.}$ Здесь для ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle 0\leq n,m\leq d-1}$ должен держаться, где ${\displaystyle d}$это измерение двух сторон.

Можно показать, что для таких состояний ${\displaystyle \rho }$ имеет положительное частичное транспонирование тогда и только тогда, когда ^[8]

${\displaystyle \langle M\otimes M\rangle _{\rho }\geq 0}$

выполняется для всех операторов ${\displaystyle M.}$ Следовательно, если ${\displaystyle \langle M\otimes M\rangle _{\rho }<0}$ справедливо для некоторых ${\displaystyle M}$ тогда в государстве нет PPT запутанность.

Рекомендации

1. Саймон Р. (2000). "Критерий разделимости Переса-Городецкого для непрерывных переменных систем". Письма с физическими проверками. 84 (12): 2726–2729. arXiv:Quant-ph / 9909044. Bibcode:2000ПхРвЛ..84.2726С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.84.2726. PMID  11017310.
2. Дуань, Лу-Мин; Giedke, G .; Cirac, J. I .; Золлер, П. (2000). «Критерий неразрывности систем с непрерывными переменными». Письма с физическими проверками. 84 (12): 2722–2725. arXiv:Quant-ph / 9908056. Bibcode:2000ПхРвЛ..84.2722Д. Дои:10.1103 / PhysRevLett.84.2722. PMID  11017309.
3. Werner, R. F .; Вольф, М. М. (2001). «Связанные запутанные гауссовские состояния». Письма с физическими проверками. 86 (16): 3658–3661. arXiv:Quant-ph / 0009118. Bibcode:2001ПхРвЛ..86.3658Вт. Дои:10.1103 / PhysRevLett.86.3658. PMID  11328047.
4. Щукин, Э .; Фогель, В. (2005). «Критерии неразрывности для непрерывных двудольных квантовых состояний». Письма с физическими проверками. 95 (23): 230502. arXiv:Quant-ph / 0508132. Bibcode:2005PhRvL..95w0502S. Дои:10.1103 / PhysRevLett.95.230502. PMID  16384285.
5. Хиллери, Марк; Зубайри, М. Сухайль (2006). «Условия зацепления для двухрежимных состояний». Письма с физическими проверками. 96 (5): 050503. arXiv:Quant-ph / 0507168. Bibcode:2006PhRvL..96e0503H. Дои:10.1103 / PhysRevLett.96.050503. PMID  16486912.
6. Walborn, S .; Taketani, B .; Salles, A .; Тоскано, Ф .; де Матос Филью Р. (2009). «Критерии энтропийной запутанности для непрерывных переменных». Письма с физическими проверками. 103 (16): 160505. arXiv:0909.0147. Bibcode:2009PhRvL.103p0505W. Дои:10.1103 / PhysRevLett.103.160505. PMID  19905682.
7. Ичэнь Хуан (октябрь 2013 г.). «Обнаружение запутанности: сложность и энтропийные критерии Шеннона». IEEE Transactions по теории информации. 59 (10): 6774–6778. Дои:10.1109 / TIT.2013.2257936.
8. Тот, Геза; Гюне, Отфрид (1 мая 2009 г.). «Запутанность и перестановочная симметрия». Письма с физическими проверками. 102 (17): 170503. Дои:10.1103 / PhysRevLett.102.170503.

• Ашер Перес, Критерий разделимости матриц плотности, Phys. Rev. Lett. 77, 1413–1415 (1996)
• Городецкий, Михал; Городецкий, Павел; Городецкий, Рышард (1996). «Разделимость смешанных состояний: необходимые и достаточные условия». Письма о физике A. 223 (1–2): 1–8. arXiv:Quant-ph / 9605038. Bibcode:1996ФЛА..223 .... 1Ч. Дои:10.1016 / s0375-9601 (96) 00706-2.
• Кароль Жычковски и Ингемар Бенгтссон, Геометрия квантовых состояний, Cambridge University Press, 2006 г.
• Воронович, С. Л. (1976). «Положительные отображения матричных алгебр малой размерности». Rep. Math. Phys. 10 (2): 165–183. Bibcode:1976RpMP ... 10..165Вт. Дои:10.1016/0034-4877(76)90038-0.