Государство Вернера - Werner state

А Государство Вернера^[1] это ${displaystyle d^{2}}$ × ${displaystyle d^{2}}$-мерный двудольный квантовое состояние матрица плотности, которая инвариантный под всеми унитарные операторы формы ${displaystyle Uotimes U}$. То есть это двудольный квантовое состояние ${displaystyle ho _{AB}}$ это удовлетворяет

${displaystyle ho _{AB}=(Uotimes U)ho _{AB}(U^{dagger }otimes U^{dagger })}$

для всех унитарных операторов U действующий на d-мерное гильбертово пространство.

Каждый штат Вернера ${displaystyle W_{AB}^{(p,d)}}$ представляет собой смесь проекторы на симметричный и антисимметричный подпространства, с относительной массой ${displaystyle pin [0,1]}$ являясь основным параметром, определяющим состояние, в дополнение к измерению ${displaystyle dgeq 2}$:

${displaystyle W_{AB}^{(p,d)}=p{frac {2}{d(d+1)}}P_{AB}^{ ext{sym}}+(1-p){frac {2}{d(d-1)}}P_{AB}^{ ext{as}},}$

куда

${displaystyle P_{AB}^{ ext{sym}}={frac {1}{2}}(I_{AB}+F_{AB}),}$

${displaystyle P_{AB}^{ ext{as}}={frac {1}{2}}(I_{AB}-F_{AB}),}$

проекторы и

${displaystyle F_{AB}=sum _{ij}|iangle langle j|_{A}otimes |jangle langle i|_{B}}$

это оператор перестановки или переворота, который меняет местами две подсистемы А и B.

Вернер заявляет отделяемый за п ≥ ​¹⁄₂ и запутался для п < ​¹⁄₂. Все запутанные состояния Вернера нарушают Критерий отделимости ППТ, но для d ≥ 3 ни одно из состояний Вернера не нарушает более слабую критерий редукции. Состояния Вернера можно параметризовать по-разному. Один из способов их написания -

${displaystyle ho _{AB}={frac {1}{d^{2}-dalpha }}(I_{AB}-alpha F_{AB}),}$

где новый параметр α изменяется от -1 до 1 и относится к п в качестве

${displaystyle alpha =((1-2p)d+1)/(1-2p+d).}$

Каналы Вернера-Холево

А Вернер-Холево квантовый канал ${displaystyle {mathcal {W}}_{Aightarrow B}^{left(p,dight)}}$ с параметрами ${displaystyle pin left[0,1ight]}$ и целое число ${displaystyle dgeq 2}$определяется как^[2][3][4]

${displaystyle {mathcal {W}}_{Aightarrow B}^{left(p,dight)}=p{mathcal {W}}_{Aightarrow B}^{ ext{sym}}+left(1-pight){mathcal {W}}_{Aightarrow B}^{ ext{as}},}$

где квантовые каналы ${displaystyle {mathcal {W}}_{Aightarrow B}^{ ext{sym}}}$ и${displaystyle {mathcal {W}}_{Aightarrow B}^{ ext{as}}}$ определены как

${displaystyle {mathcal {W}}_{Aightarrow B}^{ ext{sym}}(X_{A})={frac {1}{d+1}}left[operatorname {Tr} [X_{A}]I_{B}+operatorname {id} _{Aightarrow B}(T_{A}(X_{A}))ight],}$

${displaystyle {mathcal {W}}_{Aightarrow B}^{ ext{as}}(X_{A})={frac {1}{d-1}}left[operatorname {Tr} [X_{A}]I_{B}-operatorname {id} _{Aightarrow B}(T_{A}(X_{A}))ight],}$

и ${displaystyle T_{A}}$ обозначает частичное транспонирование карта в системе А. Обратите внимание, чтоГосударство Чой канала Вернер-Холево ${displaystyle {mathcal {W}}_{Aightarrow B}^{p,d}}$состояние Вернера:

${displaystyle {mathcal {W}}_{Aightarrow B}^{left(p,dight)}(Phi _{RA})=p{frac {2}{dleft(d+1ight)}}P_{RB}^{ ext{sym}}+left(1-pight){frac {2}{dleft(d-1ight)}}P_{RB}^{ ext{as}},}$

куда ${displaystyle Phi _{RA}={frac {1}{d}}sum _{i,j}|iangle langle j|_{R}otimes |iangle langle j|_{A}}$.

Многосторонние состояния Вернера

Состояния Вернера можно обобщить на многочастный случай.^[5] An N-партийное состояние Вернера - это состояние, инвариантное относительно ${displaystyle Uotimes Uotimes ...otimes U}$ для любого унитарного U на одной подсистеме. Состояние Вернера теперь описывается не одним параметром, а N! - 1 параметр и представляет собой линейную комбинацию N! разные перестановки на N системы.

Рекомендации

1. Райнхард Ф. Вернер (1989). «Квантовые состояния с корреляциями Эйнштейна-Подольского-Розена, допускающие модель скрытых переменных». Физический обзор A. 40 (8): 4277–4281. Bibcode:1989PhRvA..40.4277W. Дои:10.1103 / PhysRevA.40.4277. PMID  9902666.
2. Рейнхард Ф. Вернер и Александр С. Холево (2002). «Контрпример к гипотезе аддитивности для выходной чистоты квантовых каналов». Журнал математической физики. 43 (9): 4353–4357. Дои:10.1063/1.1498491.
3. Марк Фаннес, Б. Хегеман, Милан Мосони и Д. Ванпетегем (2004). «Аддитивность минимального выхода энтропии для класса ковариантных каналов». arXiv:Quant-ph / 0410195.
4. Дебби Люнг и Уильям Мэтьюз (2015). «О силе PPT-сохраняющих и несигнальных кодов». IEEE Transactions по теории информации. 61 (8): 4486–4499. Дои:10.1109 / TIT.2015.2439953.
5. Eggeling и другие. (2008)