Критерий редукции - Reduction criterion

В квантовая теория информации, то критерий редукции это необходимое условие смешанное состояние должен удовлетворять, чтобы это было отделяемый. Другими словами, критерий редукции - это критерий отделимости. Это было впервые доказано^[1] и независимо сформулированы в 1999 году.^[2] Нарушение критерия редукции тесно связано с способность к дистилляции рассматриваемого государства.^[1]

Подробности

Позволять ЧАС₁ и ЧАС₂ быть гильбертовыми пространствами конечной размерности п и м соответственно. L(ЧАС_я) будет обозначать пространство линейных операторов, действующих на ЧАС_я. Рассмотрим двудольную квантовую систему, пространство состояний которой является тензорным произведением

${displaystyle H=H_{1}otimes H_{2}.}$

(Ненормализованное) смешанное состояние ρ - положительный линейный оператор (матрица плотности), действующий на ЧАС.

Линейное отображение Φ: L(ЧАС₂) → L(ЧАС₁) называется положительным, если он сохраняет конус положительных элементов, т. е. А положительно подразумевается Φ(А) это также.

Из взаимно однозначного соответствия положительных отображений и свидетели запутывания, у нас есть это состояние ρ запутан тогда и только тогда, когда существует положительное отображение Φ такой, что

${displaystyle (Iotimes Phi )(ho )}$

не положительный. Следовательно, если ρ сепарабельно, то для любого положительного отображения Φ

${displaystyle (Iotimes Phi )(ho )geq 0.}$

Таким образом, каждый положительный, но не полностью положительный, отображение Φ таким образом порождает необходимое условие отделимости. Критерий редукции является частным примером этого.

Предполагать ЧАС₁ = ЧАС₂. Определим положительное отображение Φ: L(ЧАС₂) → L(ЧАС₁) к

${displaystyle Phi (A)=operatorname {Tr} A-A.}$

Известно, что Φ положительно, но не полностью положительно. Итак, смешанное состояние ρ отделимость подразумевает

${displaystyle (Iotimes Phi )(ho )geq 0.}$

Прямой расчет показывает, что приведенное выше выражение совпадает с

${displaystyle Iotimes ho _{1}-ho geq 0}$

куда ρ₁ это частичный след из ρ относительно второй системы. Двойственное отношение

${displaystyle ho _{2}otimes I-ho geq 0}$

получается аналогично. Критерий редукции состоит из двух указанных выше неравенств.

Связь с границами Фреше

Последние два неравенства вместе с нижними оценками для ρ можно рассматривать как квантовую Неравенства Фреше, то есть как квантовый аналог классического Вероятностные оценки Фреше, это справедливо для разделимые квантовые состояния. Верхние границы - предыдущие. ${displaystyle Iotimes ho _{1}geq ho }$, ${displaystyle ho _{2}otimes Igeq ho }$, а нижние оценки - очевидное ограничение ${displaystyle ho geq 0}$ вместе с ${displaystyle ho geq Iotimes ho _{1}+ho _{2}otimes I-I}$, куда ${displaystyle I}$ тождественные матрицы подходящей размерности. Нижние оценки получены в.^{[3]:Теорема A.16.} Этим оценкам удовлетворяют разделимые матрицы плотности, а запутанный государства могут нарушать их. Запутанные состояния проявляют форму стохастическая зависимость сильнее самой сильной классической зависимости и фактически они нарушают границы Фреше. Стоит также упомянуть, что можно дать байесовскую интерпретацию этих границ.^[3]

Рекомендации

1. М. Городецкий и П. Городецкий (1999). «Редукционный критерий разделимости и пределы для класса протоколов дистилляции». Phys. Ред. А. 59: 4206. arXiv:Quant-ph / 9708015. Bibcode:1999PhRvA..59.4206H. Дои:10.1103 / PhysRevA.59.4206.
2. Н. Серф; и другие. (1999). «Критерий редукции отделимости». Phys. Ред. А. 60: 898. arXiv:Quant-ph / 9710001. Bibcode:1999PhRvA..60..898C. Дои:10.1103 / PhysRevA.60.898.
3. Benavoli, A .; Факкини, А .; Заффалон, М. (10 октября 2016 г.). «Квантовая механика: байесовская теория, обобщенная на пространство эрмитовых матриц». Физический обзор A. 94 (4): 1–27. arXiv:1605.08177. Bibcode:2016PhRvA..94d2106B. Дои:10.1103 / PhysRevA.94.042106.