Неравенства Фреше - Fréchet inequalities

В вероятностная логика, то Неравенства Фреше, также известный как Неравенства Буля – Фреше., правила, подразумеваемые в работе Джордж Буль^[1][2] и явно получен Морис Фреше^[3][4] которые управляют комбинацией вероятностей около логические предложения или же События логически связаны вместе в союзы (И операции) или дизъюнкции (ИЛИ ЖЕ операции) как в Логические выражения или же вина или же деревья событий общий в Рискованные оценки, инженерный дизайн и искусственный интеллект. Эти неравенства можно рассматривать как правила о том, как ограничивать вычисления, включающие вероятности, не предполагая независимость или, действительно, без каких-либо зависимость какие бы то ни было предположения. Неравенства Фреше тесно связаны с Неравенства Буля – Бонферрони – Фреше., и чтобы Границы Фреше.

Если А_я находятся логические предложения или же События, неравенства Фреше имеют вид

Вероятность логическое соединение (&)

макс (0, P (А₁) + P (А₂) + ... + P (А_п) − (п - 1)) ≤ P (А₁ & А₂ & ... & А_п) ≤ min (P (А₁), П(А₂), ..., П(А_п)),

Вероятность логическая дизъюнкция (∨)

макс (P (А₁), П(А₂), ..., П(А_п)) ≤ P (А₁ ∨ А₂ ∨ ... ∨ А_п) ≤ min (1, P (А₁) + P (А₂) + ... + P (А_п)),

где P () обозначает вероятность события или предложения. В случае, когда есть только два события, скажем А и B, неравенства сводятся к

Вероятность логического соединения (&)

макс (0, P (А) + P (B) - 1) ≤ P (А & B) ≤ min (P (А), П(B)),

Вероятность логической дизъюнкции (∨)

макс (P (А), П(B)) ≤ P (А ∨ B) ≤ min (1, P (А) + P (B)).

Неравенства ограничивают вероятности двух видов совместных событий с учетом вероятностей отдельных событий. Например, если A означает «рак легких», а B означает «мезотелиому», то A и B «имеют как рак легких, так и мезотелиому», а A ∨ B «имеет рак легких или мезотелиому, или оба заболевания», а неравенство связывает риски этих событий.

Обратите внимание, что логические союзы обозначаются по-разному в разных полях, включая AND, &, ∧ и графические И-ворота. Логические дизъюнкции также обозначаются различными способами, включая OR, |, ∨ и графические OR-ворота. Если события принимаются за наборы скорее, чем логические предложения, то теоретико-множественный версии неравенств Фреше:

Вероятность пересечение событий

макс (0, P (А) + P (B) - 1) ≤ P (А ∩ B) ≤ min (P (А), П(B)),

Вероятность союз событий

макс (P (А), П(B)) ≤ P (А ∪ B) ≤ min (1, P (А) + P (B)).

Числовые примеры

Если вероятность события A равна P (A) = а = 0,7, а вероятность события B равна P (B) = б = 0,8, то вероятность соединение, т.е. совместное событие A и B, обязательно находится в интервале

P (A & B) ∈ [max (0, а + б - 1), мин (а, б)]

= [макс (0, 0,7 + 0,8–1), мин (0,7, 0,8)]

= [0.5, 0.7].

Точно так же вероятность дизъюнкция A ∨ B обязательно находится в интервале

P (A ∨ B) ∈ [max (а, б), мин (1, а + б)]

= [макс (0,7; 0,8), минимум (1; 0,7 + 0,8)]

= [0.8, 1].

Эти интервалы контрастируют с результатами, полученными по правилам вероятность принятия независимости, где вероятность конъюнкции равна P (A & B) = а × б = 0,7 × 0,8 = 0,56, а вероятность дизъюнкции P (A ∨ B) = а + б − а × б = 0.94.

Когда предельные вероятности очень малы (или велики), интервалы Фреше сильно асимметричны по отношению к аналогичным результатам при независимости. Например, предположим, что P (A) = 0,000002 = 2 × 10⁻⁶ и P (B) = 0,000003 = 3 × 10⁻⁶. Тогда неравенства Фреше говорят, что P (A & B) находится в интервале [0, 2 × 10⁻⁶], а P (A ∨ B) находится в интервале [3 × 10⁻⁶, 5×10⁻⁶]. Однако, если A и B независимы, вероятность A и B равна 6 × 10.⁻¹² что сравнительно очень близко к нижнему пределу (нулю) интервала Фреше. Точно так же вероятность A ∨ B равна 4,999994 × 10.⁻⁶, что очень близко к верхней границе интервала Фреше. Это оправдывает приближение редких событий.^[5] часто используется в теория надежности.

Доказательства

Доказательства элементарны. Напомним, что P (А ∨ B) = P (А) + P (B) - P (А & B), откуда следует P (А) + P (B) - P (А ∨ B) = P (А & B). Поскольку все вероятности не больше единицы, мы знаем P (А ∨ B) ≤ 1, откуда следует, что P (А) + P (B) - 1 ≤ P (А & B). Поскольку все вероятности также положительны, мы можем аналогично сказать 0 ≤ P (А & B), поэтому max (0, P (А) + P (B) - 1) ≤ P (А & B). Это дает нижнюю оценку конъюнкции.

Чтобы получить оценку сверху, напомним, что P (А & B) = P (А|B) П(B) = P (B|А) П(А). Поскольку P (А|B) ≤ 1 и P (B|А) ≤ 1, мы знаем P (А & B) ≤ P (А) и P (А & B) ≤ P (B). Следовательно, P (А & B) ≤ min (P (А), П(B)), что является верхней оценкой.

Наилучший характер этих границ следует из наблюдения того, что они реализуются некоторой зависимостью между событиями A и B. Аналогичным образом выводятся сопоставимые границы дизъюнкции.

Расширения

Когда входные вероятности сами являются диапазонами интервалов, формулы Фреше по-прежнему работают как анализ границ вероятности.Hailperin^[2] рассмотрел проблему вычисления вероятностных булевых выражений, включающих множество событий в сложных конъюнкциях и дизъюнкциях.^[6][7] предложили использовать неравенства в различных приложениях искусственного интеллекта и расширили правила, чтобы учесть различные предположения о зависимости между событиями. Неравенства также могут быть обобщены на другие логические операции, включая даже modus ponens.^[6][8] Когда входные вероятности характеризуются распределения вероятностей, аналогичные операции, которые обобщают логические и арифметические свертки без предположений о зависимости между входами, могут быть определены на основе связанного понятия Границы Фреше.^[7][9][10]

Квантовые границы Фреше

Интересно, что аналогичные оценки верны и в Квантовая механика в случае разделимые квантовые системы и это запутанный государства нарушают эти границы.^[11] Рассмотрим составную квантовую систему. В частности, мы сосредоточимся на сложной квантовой системе AB состоящий из двух конечных подсистем, обозначенных как А и B. Предположим, что мы знаем матрица плотности подсистемы А, т.е. ${\displaystyle \rho ^{A}}$ это положительно определенная матрица со следом один в ${\displaystyle \mathbb {C} _{h}^{n\times n}}$ (пространство Эрмитовы матрицы измерения ${\displaystyle n\times n}$), а матрица плотности подсистемы B обозначается как ${\displaystyle \rho ^{B}.}$ Мы можем думать о ${\displaystyle \rho ^{A}}$ и ${\displaystyle \rho ^{B}}$ как маргиналы подсистем А и B. Зная об этих маргиналах, мы хотим кое-что сделать о соединение ${\displaystyle \rho ^{AB}}$ в ${\displaystyle \mathbb {C} _{h}^{nm\times nm}.}$ Мы ограничиваем наше внимание соединение ${\displaystyle \rho ^{AB}}$ которые отделяемый. Матрица плотности в составной системе отделима, если существуют ${\displaystyle p_{k}\geq 0,\{\rho _{1}^{k}\}}$ и ${\displaystyle \{\rho _{2}^{k}\}}$ которые являются смешанными состояниями соответствующих подсистем, такими что

${\displaystyle \rho ^{AB}=\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \rho _{2}^{k}}$

куда

${\displaystyle \sum _{k}p_{k}=1.}$

Иначе ${\displaystyle \rho ^{AB}}$ называется запутанным состоянием.

За разделимые матрицы плотности ${\displaystyle \rho ^{AB}}$ в ${\displaystyle \mathbb {C} _{h}^{nm\times nm}}$ справедливы следующие оценки типа Фреше:

${\displaystyle {\begin{cases}\rho ^{AB}\leq \rho ^{A}\otimes I_{m}\\\rho ^{AB}\leq I_{n}\otimes \rho ^{B}\\[6pt]\rho ^{AB}\geq \rho ^{A}\otimes I_{m}+I_{n}\otimes \rho ^{B}-I_{nm}\\\rho ^{AB}\gneq 0\end{cases}}}$

Неравенства матричные неравенства, ${\displaystyle \otimes }$ обозначает тензорное произведение и ${\displaystyle I_{x}}$ то единичная матрица измерения ${\displaystyle x}$. Очевидно, что структурно указанные неравенства являются аналогами классических оценок Фреше для логической конъюнкции. Также стоит отметить, что когда матрицы ${\displaystyle \rho ^{A},\rho ^{B}}$ и ${\displaystyle \rho ^{AB}}$ ограничены диагональностью, получаем классические оценки Фреше.

Верхняя граница известна в квантовой механике как критерий редукции для матриц плотности; это было впервые доказано^[12] и независимо сформулированы.^[13] Нижняя оценка была получена в^{[11]:Теорема A.16.} что обеспечивает байесовскую интерпретацию этих границ.

Числовые примеры

Мы наблюдали, когда матрицы ${\displaystyle \rho ^{A},\rho ^{B}}$ и ${\displaystyle \rho ^{AB}}$ все диагональны, получаем классические оценки Фреше. Чтобы показать это, снова рассмотрим предыдущий числовой пример:

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{A}&={\text{diag}}(p_{a},p_{\bar {a}})={\text{diag}}(0.7,0.3)\\\rho ^{B}&={\text{diag}}(p_{b},p_{\bar {b}})={\text{diag}}(0.8,0.2)\end{aligned}}}$

тогда у нас есть:

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{AB}&={\text{diag}}(p_{ab},p_{a{\bar {b}}},p_{{\bar {a}}b},p_{{\bar {a}}{\bar {b}}})\leqslant \rho ^{A}\otimes I_{2}={\text{diag}}(0.7,0.7,0.3,0.3)\\\rho ^{AB}&={\text{diag}}(p_{ab},p_{a{\bar {b}}},p_{{\bar {a}}b},p_{{\bar {a}}{\bar {b}}})\leqslant I_{2}\otimes \rho ^{B}={\text{diag}}(0.8,0.2,0.8,0.2)\\\rho ^{AB}&={\text{diag}}(p_{ab},p_{a{\bar {b}}},p_{{\bar {a}}b},p_{{\bar {a}}{\bar {b}}})\geqslant \rho ^{A}\otimes I_{2}+I_{2}\otimes \rho ^{B}-I_{4}={\text{diag}}(0.5,-0.1,0.1,-0.5)\\\rho ^{AB}&={\text{diag}}(p_{ab},p_{a{\bar {b}}},p_{{\bar {a}}b},p_{{\bar {a}}{\bar {b}}})\geqslant 0\end{aligned}}}$

что значит:

${\displaystyle {\begin{aligned}0.5&\leqslant p_{ab}\leqslant 0.7\\0&\leqslant p_{a{\bar {b}}}\leqslant 0.2\\0.1&\leqslant p_{{\bar {a}}b}\leqslant 0.3\\0&\leqslant p_{{\bar {a}}{\bar {b}}}\leqslant 0.2\end{aligned}}}$

Стоит отметить, что запутанный состояния нарушают указанные выше границы Фреше. Рассмотрим, например, запутанную матрицу плотности (которая неотделима):

${\displaystyle \rho ^{AB}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&1\\\end{bmatrix}},}$

который имеет маргинальный

${\displaystyle \rho ^{A}=\rho ^{B}={\text{diag}}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right).}$

Запутанные состояния неотделимы, и легко проверить, что

${\displaystyle {\begin{cases}\rho ^{A}\otimes I_{m}-\rho ^{AB}\ngeqslant 0\\I_{n}\otimes \rho ^{B}-\rho ^{AB}\ngeqslant 0\end{cases}}}$

так как полученные матрицы имеют одно отрицательное собственное значение.

Другой пример нарушения вероятностных границ дается известным Неравенство Белла: запутанные состояния проявляют форму стохастический зависимость сильнее, чем самая сильная классическая зависимость: и фактически они нарушают границы Фреше.

Смотрите также

• Вероятностная логика
• Логическое соединение
• Логическая дизъюнкция
• Границы Фреше
• Неравенство Буля
• Неравенства Бонферрони
• Неравенства Бернштейна – Фреше.
• Анализ вероятностных границ
• Вероятность объединения попарно независимых событий

Рекомендации

1. Буль, Г. (1854). Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей. Уолтон и Маберли, Лондон. См. «Основные» и «второстепенные» пределы союза Буля на стр. 299.
2. Хайлперин, Т. (1986). Логика и вероятность Буля. Северная Голландия, Амстердам.
3. Фреше, М. (1935). Généralisations du théorème des probabilités totales. Fundamenta Mathematicae 25: 379–387.
4. Фреше, М. (1951). Sur les tableaux de corrélation dont les marges sont données. Annales de l'Université de Lyon. Раздел A: математические науки и астрономия 9: 53–77.
5. Колле, Дж. (1996). Несколько замечаний по поводу приближения редких событий. Транзакции IEEE о надежности 45: 106–108.
6. Уайз Б.П. и М. Хенрион (1986). Структура для сравнения систем неопределенного вывода с вероятностью. Неопределенность в искусственном интеллектепод редакцией Л. Kanal и J.F. Lemmer, Elsevier Science Publishers, B.V. North-Holland, Амстердам.
7. Уильямсон, Р. (1989). Вероятностная арифметика. Диссертация, Университет Квинсленда.
8. Вагнер, К. (2004). Modus tollens вероятный. Британский журнал философии науки 55: 747–753.
9. Вайсштейн, Эрик В. Границы Фреше. MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram.
10. Рюшендорф, Л. (1991). Границы Фреше и их приложения. Страницы 151–187 в Достижения в области вероятностных распределений с заданными запасами, математики и ее приложений 67, под редакцией Г. Далл'Аглио, С. Коца и Г. Салинетти, Kluwer, Dordrecht.
11. Benavoli, A .; Факкини, А .; Заффалон, М. (10 октября 2016 г.). «Квантовая механика: байесовская теория, обобщенная на пространство эрмитовых матриц». Физический обзор A. 94 (4): 1–27. arXiv:1605.08177. Bibcode:2016PhRvA..94d2106B. Дои:10.1103 / PhysRevA.94.042106.
12. М. Городецкий и П. Городецкий (1999). «Редукционный критерий разделимости и пределы для класса протоколов дистилляции». Phys. Ред. А. 59: 4206. arXiv:Quant-ph / 9708015. Bibcode:1999PhRvA..59.4206H. Дои:10.1103 / PhysRevA.59.4206.
13. Н. Серф; и другие. (1999). «Критерий редукции отделимости». Phys. Ред. А. 60: 898. arXiv:Quant-ph / 9710001. Bibcode:1999PhRvA..60..898C. Дои:10.1103 / PhysRevA.60.898.