Теорема Петра – Дугласа – Неймана. - Petr–Douglas–Neumann theorem - Wikipedia

В геометрия, то Теорема Петра – Дугласа – Неймана. (или PDN-теорема) - результат о произвольных планарный полигоны. Теорема утверждает, что определенный процедура при применении к произвольному многоугольнику всегда дает правильный многоугольник имеющий то же количество сторон, что и исходный многоугольник. Теорема была впервые опубликована Карел Петр (1868–1950) из Прага в 1908 г.^[1][2] Теорема была независимо переоткрыта Джесси Дуглас (1897–1965) в 1940 г.^[3] а также B H Neumann (1909–2002) в 1941 г.^[2][4] Обозначение теоремы как Теорема Петра – Дугласа – Неймана., или как PDN-теорема для краткости, это благодаря Стивену Б. Грею.^[2] Эта теорема также получила название Теорема Дугласа, то Теорема Дугласа – Неймана, то Теорема Наполеона – Дугласа – Неймана. и Теорема Петра.^[2]

PDN-теорема - это обобщение из Теорема наполеона который обеспокоен произвольным треугольники и из теорема ван Обеля что связано с произвольным четырехугольники.

Формулировка теоремы

Теорема Петра – Дугласа – Неймана утверждает следующее.^[3][5]

Если построить равнобедренные треугольники с углами при вершине 2kπ / n по сторонам произвольного n-угольника A₀, и если этот процесс повторяется с n-угольником, образованным свободными вершинами треугольников, но с другим значением k, и так далее, пока не будут использованы все значения 1 ≤ k ≤ n - 2 (в произвольном порядке) , то правильный n-угольник A_п-2 образуется, центроид которого совпадает с центроидом A₀.

Специализация на треугольниках

Диаграмма, иллюстрирующая тот факт, что теорема Наполеона является частным случаем теоремы Петра – Дугласа – Неймана.

В случае треугольников значение п равно 3 и что из п - 2 равно 1. Следовательно, существует только одно возможное значение для k, а именно 1. Специализация теоремы на треугольники утверждает, что треугольник A₁ является правильным 3-угольником, то есть равносторонним треугольником.

А₁ образован вершинами равнобедренных треугольников с углом при вершинах 2π / 3, возведенных над сторонами треугольника A₀. Вершины A₁ - центры равносторонних треугольников, воздвигнутых над сторонами треугольника A₀. Таким образом, специализацию теоремы PDN на треугольник можно сформулировать следующим образом:

Если равносторонние треугольники возведены над сторонами любого треугольника, то треугольник, образованный центрами трех равносторонних треугольников, будет равносторонним.

Последнее утверждение - это утверждение Теорема наполеона.

Специализация на четырехугольники

В случае четырехугольники, значение п равно 4 и п - 2 равно 2. Есть два возможных значения для k, а именно 1 и 2, и поэтому два возможных угла при вершине, а именно:

(2 × 1 × π) / 4 = π / 2 = 90 ° (соответствует k = 1 )

(2 × 2 × π) / 4 = π = 180 ° (соответствует k = 2 ).

Согласно PDN-теореме четырехугольник A₂ является правильным 4-угольником, т.е. квадрат. Двухэтапный процесс, дающий квадрат A₂ может осуществляться двумя разными способами. (Вершина Z из равнобедренный треугольник с углом при вершине π, установленным на отрезке прямой XY это середина линейного сегмента XY.)

Построить А₁ используя угол при вершине π / 2, а затем A₂ с углом при вершине π.

В этом случае вершины из А₁ бесплатные вершины равнобедренные треугольники с углами при вершине π / 2, возведенными по сторонам четырехугольника A₀. Вершины четырехугольника A₂ являются средние точки сторон четырехугольника A₁. По теореме PDN A₂ это квадрат.

Вершины четырехугольника A₁ являются центрами квадратов, возведенных над сторонами четырехугольника A₀. Утверждение, что четырехугольник A₂ квадрат эквивалентно утверждению, что диагонали из А₁ равны и перпендикуляр друг другу. Последнее утверждение составляет содержание теорема ван Обеля.

Таким образом теорема ван Обеля является частным случаем PDN-теоремы.

Построить А₁ используя угол при вершине π, а затем A₂ с углом при вершине π / 2.

В этом случае вершины A₁ являются средние точки сторон четырехугольника A₀ и те из A₂ - вершины треугольников с углами при вершинах π / 2, воздвигнутые по сторонам A₁. PDN-теорема утверждает, что A₂ в этом случае также является квадратом.

Изображения, иллюстрирующие применение теоремы к четырехугольникам

Теорема Петра – Дугласа – Неймана в виде применяется к четырехугольнику А0 = ABCD. А1 = EFGH построен с использованием угол при вершине π / 2 и A2 = PQRS с углом при вершине π.	Теорема Петра – Дугласа – Неймана в виде применяется к четырехугольнику А0 = ABCD. А1 = EFGH построен с использованием угол при вершине π и A2 = PQRS с углом при вершине π / 2.

Теорема Петра – Дугласа – Неймана в виде применяется к самопересекающийся четырехугольник А0 = ABCD. А1 = EFGH построен с использованием угол при вершине π / 2 и A2 = PQRS с углом при вершине π.	Теорема Петра – Дугласа – Неймана в виде применяется к самопересекающийся четырехугольник А0 = ABCD. А1 = EFGH построен с использованием угол при вершине π и A2 = PQRS с углом при вершине π / 2.

Диаграмма, иллюстрирующая тот факт, что теорема ван Обеля является частный случай теоремы Петра – Дугласа – Неймана.

Специализация на пятиугольники

Диаграмма, иллюстрирующая теорему Петра – Дугласа – Неймана применительно к пятиугольнику. Пятиугольник А₀ является ABCDE. А₁ ( = FGHIJ ) выполнен с углом при вершине 72 °, А₂ ( = КЛМНО ) с углом при вершине 144 ° и А₃ ( = PQRST ) с углом при вершине 216 °.

В случае пятиугольники, у нас есть п = 5 и п - 2 = 3. Итак, есть три возможных значения для k, а именно 1, 2 и 3, и, следовательно, три возможных угла при вершине для равнобедренных треугольников:

(2 × 1 × π) / 5 = 2π / 5 = 72 °

(2 × 2 × π) / 5 = 4π / 5 = 144 °

(2 × 3 × π) / 5 = 6π / 5 = 216 °

Согласно PDN-теореме A₃ это правильный пятиугольник. Трехэтапный процесс, ведущий к построению правильного пятиугольника A₃ может выполняться шестью различными способами в зависимости от того, в каком порядке выбираются углы при вершине для построения равнобедренных треугольников.

Серийный номер	Угол при вершине в строительстве из А1	Угол при вершине в строительстве из А2	Угол при вершине в строительстве из А3
1	72°	144°	216°
2	72°	216°	144°
3	144°	72°	216°
4	144°	216°	72°
5	216°	72°	144°
6	216°	144°	72°

Доказательство теоремы

Теорема может быть доказана с использованием некоторых элементарных понятий линейной алгебры.^[2][6]

Доказательство начинается с кодирования п-угольник списком комплексных чисел, представляющих вершины п-гон. Этот список можно рассматривать как вектор в п-мерное комплексное линейное пространство C^п. Принять п-угольник А и пусть он представлен комплексным вектором

А = ( а₁, а₂, ... , а_п ).

Пусть многоугольник B образованы свободными вершинами подобных треугольников, построенных по сторонам А и пусть он представлен комплексным вектором

B = ( б₁, б₂, ... , б_п ).

Тогда у нас есть

α ( а_р − б_р ) = а_р+1 − б_р, где α = exp ( я θ) для некоторого θ (здесь я является квадратным корнем из −1).

Это дает следующее выражение для вычисления б_р s:

б_р = (1 − α)⁻¹ ( а_р+1 - αа_р ).

В терминах линейного оператора S : C^п → С^п который циклически меняет координаты на одно место, мы имеем

B = (1 − α)⁻¹( S - αя )А, куда я - единичная матрица.

Это означает, что многоугольник А_п−2 что нам нужно показать регулярность получается из А₀ путем применения композиции следующих операторов:

(1 - ω^k )⁻¹( S - ω^k я ) за k = 1, 2, ... , п - 2, где ω = exp (2πя/п ). (Они коммутируют, потому что все они являются многочленами от одного оператора S.)

Многоугольник п = ( п₁, п₂, ..., п_п ) является регулярным п-угольник, если каждая сторона п получается из следующего поворотом на угол 2π /п, то есть если

п_{р + 1} − п_р = ω ( п_{р + 2} − п_{р + 1} ).

Это условие можно сформулировать в терминах S следующим образом:

( S − я )( я - ωS ) п = 0.

Или, что эквивалентно

( S − я )( S - ω^{п − 1} я ) п = 0, так как ω^п = 1.

Теорема Петра – Дугласа – Неймана теперь следует из следующих вычислений.

( S − я )( S - ω^{п − 1} я ) А_{п − 2}

= ( S − я )( S - ω^{п − 1} я ) (1 - ω)⁻¹ ( S - ω я ) (1 - ω² )⁻¹ ( S - ω² я ) ... (1 - ω^{п − 2} )⁻¹ ( S - ω^{п − 2} я ) А₀

= (1 - ω)⁻¹(1 - ω² )⁻¹ ... (1 - ω^{п − 2} )⁻¹ ( S − я ) ( S - ω я ) ( S - ω² я ) ... ( S - ω^{п − 1} я)А₀

= (1 - ω)⁻¹(1 - ω² )⁻¹ ... (1 - ω^{п − 2} )⁻¹ ( S^п − я ) А₀

= 0, поскольку S^п = я.

Рекомендации

1. К. Петр (1908). "Ein Satz ¨uber Vielecke". Arch. Математика. Phys. 13: 29–31.
2. Стивен Б. Грей (2003). «Обобщение теоремы Петра – Дугласа – Неймана на п-угольники " (PDF). Американский математический ежемесячный журнал. 110 (3): 210–227. CiteSeerX  10.1.1.605.2676. Дои:10.2307/3647935. JSTOR  3647935. Получено 8 мая 2012.
3. Дуглас, Джесси (1946). «О линейных преобразованиях многоугольника» (PDF). Бюллетень Американского математического общества. 46 (6): 551–561. Дои:10.1090 / с0002-9904-1940-07259-3. Получено 7 мая 2012.
4. Б. Х. Нейман (1941). «Несколько замечаний по полигонам». Журнал Лондонского математического общества. s1-16 (4): 230–245. Дои:10.1112 / jlms / s1-16.4.230. Получено 7 мая 2012.
5. ван Ламоен, Этаж; Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Петра – Неймана – Дугласа". Из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. Получено 8 мая 2012.
6. Омар Антолин Камарена. "Теорема Петра – Неймана – Дугласа через линейную алгебру". Получено 10 янв 2018.