Множественная количественная оценка - Plural quantification

В математика и логика, множественное число это теория, что человек Переменная х может взять на себя множественное число, а также единичные значения. Помимо замены x на отдельные объекты, такие как Алиса, число 1, самое высокое здание в Лондоне и т. Д., Мы можем заменить как Алису, так и Боба, или все числа от 0 до 10, или все здания в Лондоне более 20 этажей. .

Суть теории - дать логика первого порядка сила теория множеств, но без "экзистенциальное обязательство «к таким объектам, как декорации. Классические экспозиции - Boolos 1984 и Lewis 1991.

История

Представление обычно ассоциируется с Джордж Булос, хотя он старше (см. Саймонс 1982), и связан с точкой зрения классов, защищаемых Джон Стюарт Милл и другие номиналист философы. Милль утверждал, что универсалии или «классы» не являются чем-то особенным, имеющим объективное существование, отличным от индивидуальных объектов, подпадающих под них, но «представляют собой не больше и не меньше, чем индивидуальные вещи в классе». (Мельница 1904 г., II. II. 2, также I. IV. 3).

Аналогичную позицию обсуждали и Бертран Рассел в главе VI Рассела (1903), но позже отказался от теории «отсутствия классов». Смотрите также Готтлоб Фреге 1895 г. за критику более ранней точки зрения, которую защищал Эрнст Шредер.

Общая идея восходит к Лейбниц. (Леви 2011, стр. 129–133).

Интерес к множественным числам возродился благодаря лингвистическим работам 1970-х гг. Ремко Ща, Годехард Ссылка, Фред Лэндман, Роджер Шварцшильд, Питер Лазерсон и другие, которые разработали идеи семантики множественного числа.

Предпосылки и мотивация

Многоступенчатые (переменно полиадические) предикаты и отношения

Предложения вроде

Алиса и Боб сотрудничают.

Алиса, Боб и Кэрол сотрудничают.

как говорят, включают всесезонный (также известный как переменно полиадический, также анадический) предикат или отношение (в данном примере «сотрудничать»), что означает, что они обозначают одно и то же понятие, даже если у них нет фиксированного арность (см. Linnebo & Nicolas 2008). Понятие многоуровневого отношения / предиката появилось еще в 1940-х годах и широко использовалось Куайн (ср. Morton 1975). Множественная квантификация имеет дело с формализацией квантификации по аргументам переменной длины таких предикатов, например "хх сотрудничать "где хх - переменная множественного числа. Обратите внимание, что в этом примере семантически нет смысла создавать экземпляр хх с именем одного человека.

Номинализм

Вообще говоря, номинализм отрицает существование универсалий (абстрактные сущности ), такие как множества, классы, отношения, свойства и т. д. Таким образом, логика (логики) множественного числа была разработана как попытка формализовать рассуждения о множественных числах, таких как те, которые используются во многоуровневых предикатах, очевидно, без обращения к понятиям, которые отрицают номиналисты, например наборы.

Стандартная логика первого порядка имеет трудности с представлением некоторых предложений множественным числом. Наиболее известен Приговор Гича – Каплана «некоторые критики восхищаются только друг другом». Каплан доказал, что это безнадежный (доказательство можно найти в этой статье). Следовательно, его пересказ на формальном языке обязывает нас к количественной оценке (т.е. существованию) множеств. Но, некоторые^{[ВОЗ? ]} считают неправдоподобным, что приверженность множеству важна для объяснения этих предложений.

Обратите внимание, что отдельный экземпляр предложения, такой как «Алиса, Боб и Кэрол восхищаются только друг другом», не обязательно должен включать множества и эквивалентен соединению следующих предложений первого порядка:

∀x (если Алиса восхищается x, то x = Боб или x = Кэрол)

∀x (если Боб восхищается x, то x = Алиса или x = Кэрол)

∀x (если Кэрол восхищается x, то x = Алиса или x = Боб)

где x распространяется на всех критиков (считается, что критики не могут восхищаться собой). Но это, похоже, пример того, что «некоторые люди восхищаются только друг другом», что не подлежит первоочередной критике.

Булос утверждал, что 2-го порядка монадический количественная оценка может быть систематически интерпретирована с точки зрения множественной количественной оценки, и, следовательно, монадическая количественная оценка 2-го порядка «онтологически невиновна».^[1]

Позже Оливер и Смайли (2001), Райо (2002), Йи (2005) и Маккей (2006) утверждали, что такие предложения, как

Они товарищи по плаванию

Они встречаются вместе

Они подняли пианино

Они окружают здание

Они восхищаются только друг другом

также не могут быть интерпретированы в монадической логике второго порядка. Это связано с тем, что такие предикаты, как «сослуживцы», «встречаются вместе», «окружают здание», не являются распределительный. Предикат F является дистрибутивным, если всякий раз, когда некоторые вещи являются F, каждая из них является F. Но в стандартной логике каждый монадический предикат дистрибутивен. Однако такие предложения кажутся невиновными в отношении каких-либо экзистенциальных предположений и не предполагают количественной оценки.

Таким образом, можно предложить единое описание терминов множественного числа, которое допускает как распределительное, так и недистрибутивное удовлетворение предикатов, защищая эту позицию от "сингулярного" предположения, что такие предикаты являются предикатами множеств индивидов (или мереологических сумм).

Несколько писателей^{[ВОЗ? ]} предположили, что множественная логика открывает перспективу упрощения основы математики, избегая парадоксы теории множеств и упрощения сложных и неинтуитивных наборов аксиом, необходимых для того, чтобы их избежать.^{[требуется разъяснение ]}

Недавно Линнебо и Николас (2008) предположили, что естественные языки часто содержат сверхмножественные переменные (и соответствующие количественные показатели), такие как «эти люди, эти люди и эти другие люди соревнуются друг с другом» (например, как команды в онлайн-игре), в то время как Николас (2008) утверждал, что для объяснения семантика массовых существительных, таких как «вино» и «мебель».

Формальное определение

В этом разделе представлена простая формулировка множественной логики / количественной оценки, примерно такая же, как у Булоса в Номиналистский платонизм (Boolos 1985).

Синтаксис

Второстепенные единицы определяются как

Предикатные символы ${ displaystyle F}$ , ${ displaystyle G}$ и т. д. (с соответствующими артикулами, оставленными неявными)
Сингулярные символы переменных ${ displaystyle x}$ , ${ displaystyle y}$ , так далее.
Множественные символы переменных ${ displaystyle { bar {x}}}$ , ${ displaystyle { bar {y}}}$ , так далее.

Полный фразы определены как

Если ${ displaystyle F}$ является п-арный предикатный символ, и ${ displaystyle x_ {0}, ldots, x_ {n}}$ - символы сингулярных переменных, то ${ Displaystyle F (x_ {0}, ldots, x_ {n})}$ это приговор.
Если ${ displaystyle P}$ это предложение, значит, тоже ${ displaystyle neg P}$
Если ${ displaystyle P}$ и ${ displaystyle Q}$ предложения, то также ${ displaystyle P land Q}$
Если ${ displaystyle P}$ это приговор и ${ displaystyle x}$ - сингулярный переменный символ, то ${ Displaystyle существует x.P}$ это приговор
Если ${ displaystyle x}$ - сингулярный переменный символ и ${ displaystyle { bar {y}}}$ является множественным переменным символом, тогда ${ Displaystyle х пре { бар {у}}}$ это предложение (где ≺ обычно интерпретируется как отношение "является одним из")
Если ${ displaystyle P}$ это приговор и ${ displaystyle { bar {x}}}$ является множественным переменным символом, тогда ${ displaystyle exists { bar {x}}. P}$ это приговор

Последние две строки - единственный существенно новый компонент синтаксиса множественной логики. Другие логические символы, определяемые с их помощью, можно свободно использовать в качестве сокращенных обозначений.

Эта логика оказывается равноинтерпретируемой монадическая логика второго порядка.

Теория моделей

Теория / семантика моделей множественной логики - это то, где обналичивается отсутствие логики наборов. Модель определяется как кортеж ${ displaystyle (D, V, s, R)}$ куда ${ displaystyle D}$ это домен, ${ displaystyle V}$ это собрание оценок ${ displaystyle V_ {F}}$ для каждого имени предиката ${ displaystyle F}$ в обычном понимании, и ${ displaystyle s}$ является тарской последовательностью (присвоение значений переменным) в обычном смысле (то есть отображение сингулярных символов переменных в элементы ${ displaystyle D}$ ). Новый компонент ${ displaystyle R}$ представляет собой двоичное отношение, связывающее значения в домене с множеством переменных символов.

Удовлетворение выражается как

${ Displaystyle (D, V, s, R) модели F (x_ {0}, ldots, x_ {n})}$ если только ${ displaystyle (s_ {x_ {0}}, ldots, s_ {x_ {n}}) in V_ {F}}$
${ displaystyle (D, V, s, R) models neg P}$ если только ${ displaystyle (D, V, s, R) nvDash P}$
${ displaystyle (D, V, s, R) models P land Q}$ если только ${ Displaystyle (D, V, s, R) модели P}$ и ${ displaystyle (D, V, s, R) models Q}$
${ Displaystyle (D, V, s, R) модели существует x.P}$ если есть ${ displaystyle s ' приблизительно _ {x} s}$ такой, что ${ displaystyle (D, V, s ', R) models P}$
${ displaystyle (D, V, s, R) models x prec { bar {y}}}$ если только ${ displaystyle s_ {x} R { bar {y}}}$
${ displaystyle (D, V, s, R) models exists { bar {x}}. P}$ если есть ${ Displaystyle R ' приблизительно _ { bar {x}} R}$ такой, что ${ Displaystyle (D, V, s, R ') модели P}$

Где для сингулярных символов переменных, ${ displaystyle s приблизительно _ {x} s '}$ означает, что для всех сингулярных переменных символов ${ displaystyle y}$ Кроме как ${ displaystyle x}$ , считается, что ${ displaystyle s_ {y} = s '_ {y}}$ , а для множественных переменных символов, ${ Displaystyle R приблизительно _ { bar {x}} R '}$ означает, что для всех множественных символов переменных ${ displaystyle { bar {y}}}$ Кроме как ${ displaystyle { bar {x}}}$ , а для всех объектов домена ${ displaystyle d}$ , считается, что ${ displaystyle dR { bar {y}} = dR '{ bar {y}}}$ .

Как и в синтаксисе, только два последних по-настоящему новы во множественном числе. Булос замечает, что с помощью присваивания связи ${ displaystyle R}$ , домен не обязательно должен включать множества, и поэтому множественная логика достигает онтологической невиновности, сохраняя при этом возможность говорить о расширениях предиката. Таким образом, схема понимания множественной логики ${ displaystyle exists { bar {x}}. forall y.y prec { bar {x}} leftrightarrow F (y)}$ не приводит к парадоксу Рассела, потому что количественная оценка множественных переменных не дает количественной оценки по предметной области. Другой аспект логики, как его определяет Булос, критически важный для обхода парадокса Рассела, - это тот факт, что предложения формы ${ displaystyle F ({ bar {x}})}$ имеют неправильный формат: имена предикатов могут сочетаться только с сингулярными символами переменных, но не с множественными символами переменных.

Это можно рассматривать как простейший и наиболее очевидный аргумент в пользу того, что множественная логика, как ее определил Булос, онтологически невиновна.

Смотрите также

Примечания

^ Харман, Гилберт; Лепор, Эрнест (2013), Товарищ У. В. О. Куайна, Blackwell Companions to Philosophy, John Wiley & Sons, стр. 390, г. ISBN 9781118608029.

внешняя ссылка

Линнебо, Ойстейн. «Множественная количественная оценка». В Залта, Эдуард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии.
Мольтманн, Фридерике. (Август 2012 г.) "Множественная ссылка и ссылка на множественность. Переоценка лингвистических фактов "
Более обширная библиография
https://web.archive.org/web/20150211224457/http://lumiere.ens.fr/~amari/genius/PapersSeminar/Nicolas-Semantics-for-plurals-Handout-0110.pdf

[1] Харман, Гилберт; Лепор, Эрнест (2013), Товарищ У. В. О. Куайна, Blackwell Companions to Philosophy, John Wiley & Sons, стр. 390, г. ISBN 9781118608029.

[1]