Метод Пуанкаре – Линдштедта - Poincaré–Lindstedt method

В теория возмущений, то Метод Пуанкаре – Линдштедта или же Метод Линдштедта – Пуанкаре это техника для равномерного приближения периодический решения для обыкновенные дифференциальные уравнения, когда подходы регулярных возмущений терпят неудачу. Метод удаляет светские условия - неограниченно распространяющиеся термины, возникающие при прямом применении теория возмущений слабо нелинейный задачи с конечными колебательными решениями.^[1]

Метод назван в честь Анри Пуанкаре,^[2] и Андерс Линдстедт.^[3]

Пример: уравнение Дуффинга

Незатухающий, непринужденный Уравнение Дуффинга дан кем-то

${displaystyle {ddot {x}}+x+varepsilon ,x^{3}=0,}$

за т > 0, при 0 <ε ≪ 1.^[4]

Рассмотрим начальные условия

${displaystyle x(0)=1,,}$   ${displaystyle {dot {x}}(0)=0.,}$

А серия возмущений решение формы Икс(т) = Икс₀(т) + ε Икс₁(т) +… Ищется. Первые два члена серии

${displaystyle x(t)=cos(t)+varepsilon left[{ frac {1}{32}},left(cos(3t)-cos(t)ight)-{ frac {3}{8}},t,sin(t)ight]+cdots .,}$

Это приближение неограниченно растет во времени, что несовместимо с физической системой, которая уравнение модели.^[5] Термин, ответственный за этот неограниченный рост, называется светский термин, является ${displaystyle tsin(t)}$. Метод Пуанкаре – Линдштедта позволяет создать приближение, которое является точным для всех времен, следующим образом.

Помимо выражения самого решения как асимптотический ряд, сформируйте еще один ряд для масштабирования времени т:

${displaystyle au =omega t,,}$   куда   ${displaystyle omega =omega _{0}+varepsilon omega _{1}+cdots .,}$

Для удобства возьмем ω₀ = 1, поскольку ведущий заказ решения угловая частота равно 1. Тогда исходная задача становится

${displaystyle omega ^{2},x''( au )+x( au )+varepsilon ,x^{3}( au )=0,}$

с такими же начальными условиями. Теперь ищем решение вида Икс(τ) = Икс₀(τ) + ε Икс₁(τ) +…. Следующие решения проблемы нулевого и первого порядков в ε получаются:

${displaystyle {egin{aligned}x_{0}&=cos( au ){ ext{and }}x_{1}&={ frac {1}{32}},left(cos(3 au )-cos( au )ight)+left(omega _{1}-{ frac {3}{8}}ight), au ,sin( au ).end{aligned}}}$

Таким образом, светский термин можно удалить, выбрав: ω₁ = ​³⁄₈. Продолжая анализ возмущений на этом пути, можно получить более высокие порядки точности. На данный момент приближение - исправьте до первого порядка по ε-является

${displaystyle x(t)approx cos {Bigl (}left(1+{ frac {3}{8}},varepsilon ight),t{Bigr )}+{ frac {1}{32}},varepsilon ,left[cos {Bigl (}3left(1+{ frac {3}{8}},varepsilon ,ight),t{Bigr )}-cos {Bigl (}left(1+{ frac {3}{8}},varepsilon ,ight),t{Bigr )}ight].,}$

Ссылки и примечания

1. Дразин, П. (1992), Нелинейные системы, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-40668-4С. 181–186.
2. Пуанкаре, Х. (1957) [1893], Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Célèste, II, Нью-Йорк: Dover Publ., §123–§128.
3. A. Lindstedt, Abh. К. Акад. Wiss. Санкт-Петербург 31, № 4 (1882)
4. Дж. Дэвид Логан. Прикладная математика, Второе издание, John Wiley & Sons, 1997. ISBN  0-471-16513-1.
5. Уравнение Дуффинга имеет инвариантную энергию ${displaystyle scriptstyle E={ frac {1}{2}},{dot {x}}^{2}+{ frac {1}{2}},x^{2}+{ frac {1}{4}},varepsilon ,x^{4}}$ = константа, как можно увидеть, умножив уравнение Дуффинга на ${displaystyle scriptstyle {dot {x}}}$ и интегрируя по временит. Для рассматриваемого примера из его начальных условий находится: E = ½ + ¼ ε.