Уравнение Пуассона – Больцмана. - Poisson–Boltzmann equation

В Уравнение Пуассона – Больцмана. полезное уравнение во многих ситуациях, будь то понимание физиологические интерфейсы, полимерная наука, электронные взаимодействия в полупроводник, или больше. Он направлен на описание распределения электрического потенциала в растворе в направлении, нормальном к заряженной поверхности. Это распределение важно для определения того, как электростатические взаимодействия повлияют на молекулы в растворе. Уравнение Пуассона – Больцмана выводится через среднее поле предположения^[1][2]. Из уравнения Пуассона – Больцмана было выведено множество других уравнений с рядом различных предположений.

Происхождение

Предпосылки и происхождение

Уравнение Пуассона – Больцмана описывает модель, независимо предложенную Луи Жорж Гуи и Дэвид Леонард Чепмен в 1910 и 1913 годах соответственно.^[3] в Модель Гуи-Чепмена заряженное твердое тело вступает в контакт с ионным раствором, создавая слой поверхностных зарядов и противоионов или двухслойный.^[4] Из-за теплового движения ионов слой противоионов является диффузным и более протяженным, чем один молекулярный слой, как ранее было предложено Герман Гельмгольц в модели Гельмгольца.^[3] Модель Stern Layer идет дальше и учитывает конечный размер ионов.

Теория	Важные характеристики	Предположения
Гельмгольца	Поверхностный заряд нейтрализован молекулярным слоем противоионов; потенциал поверхностного заряда линейно рассеивается от поверхности к противоионам для удовлетворения заряда[5]	Тепловое движение, диффузия ионов, адсорбция на поверхности, взаимодействия растворитель / поверхность считаются незначительными [5]
Гуи-Чепмен	Учет теплового движения ионов; ионы ведут себя как точечные заряды[6]	Конечный размер иона игнорируется; равномерно заряженная поверхность; некулоновские взаимодействия игнорируются [6]
Штерн	Рассмотрены конечный размер иона и гидратная сфера; некоторые ионы специфически адсорбируются поверхностью в плоскости, известной как слой Штерна.[7]	Кормовой слой тонкий по сравнению с размером частиц; скорость жидкости = 0 в кормовом слое [7]

Модель Гуи – Чепмена объясняет емкость -подобные качества двойного электрического слоя.^[4] На рисунке ниже показан простой плоский корпус с отрицательно заряженной поверхностью. Как и следовало ожидать, концентрация противоионов у поверхности выше, чем в объеме раствора.

Простой плоский случай для модели Гуи – Чепмена.

Уравнение Пуассона – Больцмана описывает электрохимический потенциал ионов в диффузном слое. Трехмерное распределение потенциала можно описать следующим образом: Уравнение Пуассона^[4]

${displaystyle abla ^{2}psi ={frac {partial ^{2}psi }{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}psi }{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}psi }{partial z^{2}}}=-{frac {ho _{e}}{epsilon _{r}epsilon _{0}}},}$

куда

${displaystyle ho _{e}}$ - локальная плотность электрического заряда в Кл / м³,

${displaystyle epsilon _{r}}$ - диэлектрическая проницаемость (относительная диэлектрическая проницаемость ) растворителя,

${displaystyle epsilon _{0}}$ диэлектрическая проницаемость свободного пространства,

ψ это электрический потенциал.

Свобода движения ионов в растворе может быть объяснена Статистика Больцмана. В Уравнение Больцмана используется для расчета локальной плотности ионов, такой что

${displaystyle c_{i}=c_{i}^{0}cdot e^{frac {-W_{i}}{k_{B}T}},}$

куда

${displaystyle c_{i}^{0}}$ - концентрация ионов в объеме,^[8]

${displaystyle W_{i}}$ это работа, необходимая для перемещения иона ближе к поверхности с бесконечно большого расстояния,

${displaystyle k_{B}}$ это Постоянная Больцмана,

${displaystyle T}$ это температура в кельвины.

Уравнение для локальной плотности ионов можно подставить в уравнение Пуассона в предположении, что выполняемая работа - это только электрическая работа, что наш раствор состоит из соли 1: 1 (например, NaCl) и что концентрация соли равна намного выше, чем концентрация ионов.^[4] Электрическая работа по переносу заряженного катиона или заряженного аниона на поверхность с потенциалом ψ может быть представлен ${displaystyle W^{+}=epsi }$ и ${displaystyle W^{-}=-epsi }$ соответственно.^[4] Эти рабочие уравнения можно подставить в уравнение Больцмана, получив два выражения

${displaystyle c^{-}=c_{0}cdot e^{frac {epsi (x,y,z)}{k_{B}T}}}$ и ${displaystyle c^{+}=c_{0}cdot e^{frac {-epsi (x,y,z)}{k_{B}T}}}$,

где e - заряд электрона, 1.602×10⁻¹⁹ кулоны.

Подставляя эти соотношения Больцмана в выражение для локальной плотности электрического заряда, можно получить следующее выражение

${displaystyle ho _{e}=e{(c^{+}-c^{-})}=c_{0}ecdot left[e^{frac {-epsi (x,y,z)}{k_{B}T}}-e^{frac {epsi (x,y,z)}{k_{B}T}}ight].}$

Наконец, плотность заряда можно подставить в уравнение Пуассона, чтобы получить уравнение Пуассона – Больцмана.^[4]

Связанные теории

Уравнение Пуассона – Больцмана может принимать различные формы в различных областях науки. В биофизике и некоторых приложениях в химии поверхности оно известно просто как уравнение Пуассона – Больцмана.^[9] Это также известно в электрохимия как теория Гуи-Чепмена; в химии растворов как Теория Дебая – Хюккеля; в коллоидная химия в качестве Теория Дерягина – Ландау – Вервея – Овербека (DLVO).^[9] Для применения уравнения Пуассона – Больцмана к различным моделям поверхности раздела необходимы лишь незначительные изменения, что делает его очень полезным инструментом для определения электростатического потенциала на поверхностях.^[4]

Аналитическое решение

Поскольку уравнение Пуассона – Больцмана является частный дифференциал второго порядка обычно решается численно; однако с определенной геометрией ее можно решить аналитически.

Геометрии

Геометрия, которая легче всего способствует этому, - плоская поверхность. В случае бесконечно протяженной плоской поверхности есть два измерения, в которых потенциал не может измениться из-за симметрии. Предполагая, что эти размеры являются измерениями y и z, остается только размер x. Ниже приведено уравнение Пуассона – Больцмана, решенное аналитически через производную второго порядка по x.^[4]

${displaystyle {frac {d^{2}psi }{dx^{2}}}}$ = ${displaystyle {frac {c_{0}e}{epsilon epsilon _{0}}}cdot [e^{frac {epsi (x)}{k_{B}T}}-e^{frac {-epsi (x)}{k_{B}T}}]}$

Аналитические решения также были найдены для осевых и сферических случаев в отдельном исследовании.^[10] Уравнение представляет собой логарифм степенного ряда и выглядит следующим образом:

${displaystyle {frac {d^{2}psi }{dr^{2}}}+{frac {L}{r}}{frac {dpsi }{dr}}=e^{psi }-delta e^{-psi }}$

Использует безразмерный потенциал ${displaystyle psi ={frac {ePhi }{kT}}}$ а длины измеряются в единицах радиуса дебаевского электрона в области нулевого потенциала ${displaystyle R_{eD}={sqrt {frac {kT}{4pi e^{2}n_{e0}}}}}$ (куда ${displaystyle n_{e0}}$ обозначает плотность отрицательных ионов в области нулевого потенциала). Для сферического случая L = 2, осевого случая L = 1 и плоского случая L = 0.

Случаи с низким и высоким потенциалом

При использовании уравнения Пуассона – Больцмана важно определить, является ли конкретный случай низким или высоким. потенциал. Случай высокого потенциала становится более сложным, поэтому, если применимо, используйте уравнение низкого потенциала. В условиях низкого потенциала допустима линеаризованная версия уравнения Пуассона – Больцмана (показанная ниже), и она обычно используется, поскольку она более проста и охватывает широкий спектр случаев.^[11]${displaystyle psi =psi _{0}e^{-mathrm {K} x}}$

Случаи с низким потенциалом

Строго говоря, низкий потенциал означает, что ${displaystyle eleftvert psi ightvert ll k_{B}T}$; однако результаты, которые дают уравнения, действительны для более широкого диапазона потенциалов, от 50 до 80 мВ.^[4] Тем не менее, при комнатной температуре ${displaystyle psi leq 25mV}$ и это вообще стандарт.^[4]Некоторые граничные условия, которые применяются в случаях с низким потенциалом, следующие: на поверхности потенциал должен быть равен поверхностному потенциалу, а на больших расстояниях от поверхности потенциал приближается к нулевому значению. Эта длина затухания расстояния определяется Длина Дебая ${displaystyle lambda _{D}}$ уравнение.^[4]${displaystyle mathrm {K} ={sqrt {frac {2c_{0}e^{2}}{epsilon epsilon _{0}k_{B}T}}}}$

${displaystyle lambda _{D}=mathrm {K} ^{-1}}$

По мере увеличения концентрации соли длина Дебая уменьшается из-за того, что ионы в растворе экранируют поверхностный заряд.^[12] Частный случай этого уравнения - для случая ${displaystyle 25^{circ }C}$ вода с одновалентной солью.^[4] Тогда уравнение длины Дебая выглядит следующим образом:

${displaystyle lambda _{D}={frac {0.304nm}{sqrt {c_{0}{frac {L}{mol}}}}}}$

Все эти уравнения требуют случаев концентрации соли 1: 1, но если присутствуют ионы с более высокой валентностью, используется следующий случай.^[4]${displaystyle mathrm {K} ={sqrt {{frac {e^{2}}{epsilon epsilon _{0}k_{B}T}}Sigma c_{i}{Z_{i}}^{2}}}}$

Случай с высоким потенциалом

Случай с высоким потенциалом упоминается как «полный одномерный случай». Для получения уравнения используется общее решение уравнения Пуассона – Больцмана, а случай низких потенциалов опускается. Уравнение решается с помощью безразмерный параметр ${displaystyle yequiv {frac {epsi }{k_{B}T}}}$, который не следует путать с символом пространственной координаты y.^[4] Наняв несколько тригонометрические тождества и граничные условия, что на больших расстояниях от поверхности безразмерный потенциал и его производная равны нулю, раскрывается уравнение высокого потенциала.^[4]${displaystyle e^{-mathrm {K} x}={frac {(e^{y/2}-1)(e^{y_{0}/2}+1)}{(e^{y/2}+1)(e^{y_{0}/2}-1)}}}$

Это уравнение решено для ${displaystyle e^{y/2}}$ показано ниже.

${displaystyle e^{y/2}={frac {e^{y_{0}/2}+1+(e^{y_{0}/2}-1)*e^{-mathrm {K} x}}{e^{y_{0}/2}+1-(e^{y_{0}/2}-1)*e^{-mathrm {K} x}}}}$

Чтобы получить более полезное уравнение, которое упрощает построение графиков распределений высокого потенциала, возьмите натуральный логарифм обеих частей и найдите безразмерный потенциал y.

${displaystyle y=2ln {frac {e^{y_{0}/2}+1+(e^{y_{0}/2}-1)*e^{-mathrm {K} x}}{e^{y_{0}/2}+1-(e^{y_{0}/2}-1)*e^{-mathrm {K} x}}}}$

Знаю это ${displaystyle yequiv {frac {epsi }{k_{B}T}}}$, замените это y в предыдущем уравнении и решите относительно ${displaystyle psi }$. Отображается следующее уравнение.

${displaystyle psi ={frac {2k_{B}T}{e}}*ln {frac {e^{y_{0}/2}+1+(e^{y_{0}/2}-1)*e^{-mathrm {K} x}}{e^{y_{0}/2}+1-(e^{y_{0}/2}-1)*e^{-mathrm {K} x}}}}$

${displaystyle y_{0}={frac {epsi _{0}}{k_{B}T}}}$

Условия

В случаях с низким потенциалом можно использовать уравнение с высоким потенциалом, которое все равно даст точные результаты. По мере роста потенциала линейный случай с низким потенциалом переоценивает потенциал как функцию расстояния от поверхности. Это завышение видно на расстояниях, меньших половины длины Дебая, где затухание круче, чем экспоненциальное затухание. На следующем рисунке используются линеаризованное уравнение и уравнение для построения графика с высоким потенциалом, полученное выше. Это график зависимости потенциала от расстояния для различных поверхностных потенциалов 50, 100, 150 и 200 мВ. Уравнения, используемые на этом рисунке, предполагают раствор NaCl 80 мМ.

Зависимость потенциала от расстояния для различных поверхностных потенциалов 50, 100, 150 и 200 мВ. Уравнения, использованные на этом рисунке, предполагают раствор NaCl 80 мМ.

Общие приложения

Уравнение Пуассона – Больцмана может применяться в различных областях, главным образом в качестве инструмента моделирования для создания приближений для таких приложений, как заряженные биомолекулярные взаимодействия, динамика электронов в полупроводниках или плазме и т. Д. Большинство приложений этого уравнения используются в качестве моделей для получения дальнейшее понимание электростатика.

Физиологические приложения

Уравнение Пуассона – Больцмана применимо к биомолекулярным системам. Одним из примеров является связывание электролитов с биомолекулами в растворе. Этот процесс зависит от электростатического поля, создаваемого молекулой, электростатического потенциала на поверхности молекулы, а также от свободной электростатической энергии.^[13]

Линеаризованное уравнение Пуассона – Больцмана можно использовать для вычисления электростатический потенциал и свободная энергия сильно заряженных молекул, таких как тРНК в ионном растворе с разным количеством связанных ионов при различной физиологической ионной силе. Показано, что электростатический потенциал зависит от заряда молекулы, а свободная электростатическая энергия учитывает общий заряд системы.^[14]

Другим примером использования уравнения Пуассона – Больцмана является определение профиля электрического потенциала в точках, перпендикулярных оси фосфолипидный бислой из эритроцит. При этом учитываются как гликокаликс и спектрин слои оболочки эритроцита. Эта информация полезна по многим причинам, включая изучение механической стабильности мембраны эритроцитов.^[15]

Электростатическая свободная энергия

Уравнение Пуассона – Больцмана также можно использовать для расчета свободной электростатической энергии для гипотетической зарядки сферы с использованием следующего интеграла зарядки:

${displaystyle Delta G^{el}=int limits ^{ au }qU( au ^{prime }),d au ^{prime }}$

куда ${displaystyle au q}$ это последний заряд на сфере

Свободную электростатическую энергию также можно выразить, взяв процесс зарядки системы. Следующее выражение использует химический потенциал молекул растворенного вещества и реализует уравнение Пуассона-Больцмана с Эйлер-Лагранж функциональный:

${displaystyle Delta G^{el}=int limits _{V}(kTsum _{i}c_{i}^{infty }[1-exp({frac {-z_{i}qU}{kT}})]+p^{f}U-{frac {-epsilon ({vec {abla }}U)^{2}}{8pi }})dV}$

Обратите внимание, что свободная энергия не зависит от пути зарядки [5c].

Вышеприведенное выражение можно переписать на отдельные члены свободной энергии, основанные на различных вкладах в полную свободную энергию

${displaystyle Delta G^{el}=Delta G^{ef}+Delta G^{em}+Delta G^{mob}+Delta G^{solv}}$

куда

Электростатические фиксированные заряды = ${displaystyle Delta G^{ef}=int limits _{V}{frac {p^{f}U}{2}}dV}$

Электростатические мобильные заряды = ${displaystyle Delta G^{em}=int limits _{V}{frac {sum _{i}c_{i}z_{i}qU}{2}}dV}$

Энтропийная свободная энергия смешения подвижных частиц = ${displaystyle Delta G^{mob}=kTint limits _{V}c_{i}ln {frac {c_{i}}{c_{i}^{infty }}}dV}$

Энтропийная свободная энергия смешения растворителя = ${displaystyle Delta G^{solv}=kTint limits _{V}sum _{i}c_{i}^{infty }[1-exp({frac {-z_{i}qU}{kT}})]dV}$

Наконец, объединив последние три члена, получим следующее уравнение, представляющее вклад космического пространства в интеграл плотности свободной энергии

${displaystyle Delta G^{out}=Delta G^{em}+Delta G^{mob}+Delta G^{solv}}$

Эти уравнения могут действовать как простые геометрические модели для биологических систем, таких как белки, нуклеиновые кислоты, и мембраны.^[13] Это включает в себя решение уравнений с простыми граничными условиями, такими как постоянный поверхностный потенциал. Эти приближения полезны в таких областях, как коллоидная химия.^[13]

Материаловедение

Аналитическое решение уравнения Пуассона – Больцмана может быть использовано для описания электрон-электронного взаимодействия в металле-изоляторе. полупроводник (MIS).^[16] Это может быть использовано для описания зависимости как от времени, так и от положения диссипативные системы например мезоскопическая система. Это делается путем аналитического решения уравнения Пуассона – Больцмана в трехмерном случае. Решение этого приводит к выражениям функции распределения для Уравнение Больцмана и самосогласованный средний потенциал для Уравнение Пуассона. Эти выражения полезны для анализа квантового переноса в мезоскопической системе. В туннельных переходах металл-диэлектрик-полупроводник электроны могут накапливаться вблизи границы раздела между слоями, и в результате на квантовый перенос системы будет влиять электрон-электронное взаимодействие.^[16] Определенные транспортные свойства, такие как электрический ток и электронная плотность можно узнать, решив самосогласованный кулоновский средний потенциал из электрон-электронных взаимодействий, который связан с электронным распределением. Поэтому важно аналитически решить уравнение Пуассона – Больцмана для получения аналитических величин в туннельных переходах МДП.^[16]Применяя следующее аналитическое решение уравнения Пуассона – Больцмана (см. Раздел 2) к туннельным переходам МДП, можно сформировать следующее выражение для выражения транспортных величин, таких как электронная плотность и электрический ток

${displaystyle f_{1}f^{0}-f_{0}+{frac {eE_{z} au _{0}}{m}}{frac {partial f_{0}}{partial v_{z}}}left(1-e^{frac {- au }{ au _{0}}}ight)-int limits _{0}^{t}{frac {e}{m}}e{^{frac {t- au ^{prime }}{ au _{0}}}}abla ho [r-v(t-t^{prime })] imes {frac {partial f_{0}}{partial v}}dt^{prime }}$

Применяя вышеприведенное уравнение к туннельному переходу МДП, электронный перенос можно анализировать вдоль оси z, которая отсчитывается перпендикулярно плоскости слоев. В этом случае выбирается переход n-типа со смещением V, приложенным по оси z. Самосогласованный средний потенциал системы можно найти, используя

${displaystyle ho ho _{1}+ho _{2}}$

куда

${displaystyle ho _{1}approx {frac {aE_{z}}{2lambda _{D1}}}e^{-lambda _{D1}z}}$

и

${displaystyle ho _{2}approx {frac {ne{sqrt {pi }}G(ilambda _{D1})e^{{frac {-t}{ au _{0}}}-lambda _{D1}z}}{3{sqrt {3}}epsilon _{0}epsilon _{r}lambda _{D1}}}left(1-e^{1-{sqrt {frac {2ne^{2}t^{2}}{mepsilon _{0}epsilon _{r}}}}}ight)}$

λ называется Длина Дебая.

Электронная плотность и электрический ток могут быть найдены с помощью приведенного выше уравнения 16 как функции положения z. Эти величины электронного переноса можно использовать для понимания различных транспортных свойств в системе.

Ограничения ^[4]

Как и любая приближенная модель, уравнение Пуассона – Больцмана является скорее приближением, чем точным представлением. Было сделано несколько предположений для аппроксимации потенциала диффузного слоя. Конечный размер ионов считался незначительным, и ионы рассматривались как отдельные точечные заряды, причем предполагалось, что ионы взаимодействуют со средним электростатическим полем всех своих соседей, а не каждого соседа по отдельности. Кроме того, не кулоновские взаимодействия не учитывались, а некоторые взаимодействия не учитывались, такие как перекрытие сфер гидратации ионов в водной системе. В диэлектрическая проницаемость растворителя считалось постоянным, что дало грубое приближение, поскольку полярные молекулы не могут свободно перемещаться, когда они сталкиваются с сильным электрическим полем на твердой поверхности.

Хотя модель имеет определенные ограничения, она очень хорошо описывает двойные электрические слои. Ошибки, вытекающие из ранее упомянутых предположений, по большей части взаимно компенсируют друг друга. Учет некулоновских взаимодействий увеличивает концентрацию ионов на поверхности и приводит к уменьшению поверхностного потенциала. С другой стороны, учет конечного размера ионов вызывает обратный эффект. Уравнение Пуассона – Больцмана наиболее подходит для аппроксимации электростатического потенциала на поверхности водных растворов одновалентных солей при концентрациях менее 0,2 М и потенциалах не более 50–80 мВ.

В пределе сильных электростатических взаимодействий теория сильной связи более применима, чем слабая связь, предполагаемая при выводе теории Пуассона-Больцмана.^[17].

Смотрите также

• Двухслойный

Рекомендации

1. Netz, R.R .; Орланд, Х. (1 февраля 2000 г.). «За пределами Пуассона-Больцмана: флуктуационные эффекты и корреляционные функции». Европейский физический журнал E. 1 (2): 203–214. arXiv:cond-mat / 9902085. Bibcode:2000EPJE .... 1..203N. Дои:10.1007 / с101890050023. ISSN  1292-8941. S2CID  119468015.
2. Аттард, Фил (2002-08-07). Термодинамика и статистическая механика: равновесие посредством максимизации энтропии. Академическая пресса. п. 318. ISBN  978-0-12-066321-7.
3. Fogolari, F .; Бриго, А .; Молинари, Х. (2002). «Уравнение Пуассона – Больцмана для биомолекулярной электростатики: инструмент структурной биологии». J. Mol. Признать. 15 (6): 379–385. Дои:10.1002 / jmr.577. PMID  12501158.
4. Butt, H .; Граф, Л .; Каппл, М. (2006). Физика и химия интерфейсов (2-е изд.). Вайнхайм, Германия: Wiley-VCH. ISBN  978-3-527-40629-6.
5. Государственный университет Нью-Мексико. «Электрический двойной слой». Получено 1 июня, 2014.
6. Университет Саймона Фрейзера. «Химия 465 Лекция 10» (PDF). Получено 1 июня, 2014.
7. Кафедра химического машиностроения Университета Карнеги-Меллона. «Применение модели динамического слоя корня для измерения электрофоретической подвижности латексных частиц» (PDF). Получено 1 июня, 2014.
8. «Электрический двойной слой». web.nmsu.edu. Получено 2018-06-01.
9. Lu, B.Z .; и другие. (2008). "Недавний прогресс в численных методах для уравнения Пуассона-Больцмана в биофизических приложениях" (PDF). Commun. Comput. Phys. 3 (5): 973–1009 [стр. 974–980].
10. Д’Ячков, Л.Г. (2005). «Аналитическое решение уравнения Пуассона – Больцмана в случаях сферической и аксиальной симметрии». Письма по технической физике. 31 (3): 204–207. Bibcode:2005ТеФЛ..31..204Д. Дои:10.1134/1.1894433. S2CID  120529487.
11. Туинье, Р. (2003). «Приближенные решения уравнения Пуассона – Больцмана в сферической и цилиндрической геометрии». Журнал коллоидной и интерфейсной науки. 258 (1): 45–49. Bibcode:2003JCIS..258 ... 45 зуб.. Дои:10.1016 / S0021-9797 (02) 00142-X.
12. Сперелакис, Н. (2012). Справочник по клеточной физиологии: молекулярный подход (3-е изд.). Сан-Диего: Акад. ISBN  978-0-12-387738-3.
13. Фоголари, Федерико; Зуккато, Пьерфранческо; Эспозито, Дженнаро; Виглино, Паола (1999). «Биомолекулярная электростатика с линеаризованным уравнением Пуассона – Больцмана». Биофизический журнал. 76 (1): 1–16. Bibcode:1999BpJ .... 76 .... 1F. Дои:10.1016 / S0006-3495 (99) 77173-0. ЧВК  1302495. PMID  9876118.
14. Грузиэль, Магдалена; Гроховски, Павел; Трильска, Джоанна (2008). «Модель Пуассона-Больцмана для тРНК». J. Comput. Chem. 29 (12): 1970–1981. Дои:10.1002 / jcc.20953. ЧВК  2599918. PMID  18432617.
15. Cruz, Frederico A.O .; Вилена, Фернандо С. Д. С .; Кортез, Селия М. (2000). «Решения нелинейного уравнения Пуассона – Больцмана для мембраны эритроцита». Бразильский журнал физики. 30 (2): 403–409. Bibcode:2000БрДжФ..30..403С. Дои:10.1590 / S0103-97332000000200023.
16. Чжан Ли-Чжи; Ван Чжэн-Чуань (2009). «Аналитическое решение уравнения Больцмана-Пуассона и его приложение к туннельным переходам MIS». Китайская физика B. 18 (2): 2975–2980. Bibcode:2009ЧФБ..18.2975З. Дои:10.1088/1674-1056/18/7/059.
17. Морейра, А.Г .; Нетц, Р. Р. (2000). «Теория сильной связи для распределений противоионов». Письма еврофизики. 52 (6): 705–711. arXiv:cond-mat / 0009376. Bibcode:2000ЭЛ ..... 52..705М. Дои:10.1209 / epl / i2000-00495-1. S2CID  18058376.

внешняя ссылка

• Адаптивный решатель Пуассона – Больцмана - Бесплатный программный пакет для электростатики Пуассона-Больцмана и биомолекулярной сольватации с открытым исходным кодом
• Зап - Электростатический решатель Пуассона – Больцмана
• МИБПБ Решатель Пуассона – Больцмана на основе согласованного интерфейса и границ
• CHARMM-GUI: решатель PBEQ
• AFMPB Адаптивный быстрый многополюсный решатель Пуассона – Больцмана, бесплатно и с открытым исходным кодом
• Глобальные классические решения уравнения Больцмана с дальнодействующими взаимодействиями, Филип Т. Грессман и Роберт М. Стрейн, 2009 г., Пенсильванский университет, факультет математики, Филадельфия, Пенсильвания, США.