Полиномиальное преобразование - Polynomial transformation - Wikipedia

В математика, а полиномиальное преобразование состоит из вычисления полинома, корни являются заданной функцией корней многочлена. Полиномиальные преобразования, такие как Трансформации Чирнхауза часто используются для упрощения решения алгебраические уравнения.

Простые примеры

Перевод корней

Позволять

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}}$

- многочлен, и

${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$

быть его сложными корнями (не обязательно разными).

Для любой постоянной c, многочлен с корнями

${\displaystyle \alpha _{1}+c,\ldots ,\alpha _{n}+c}$

является

${\displaystyle Q(y)=P(y-c)=a_{0}(y-c)^{n}+a_{1}(y-c)^{n-1}+\cdots +a_{n}.}$

Если коэффициенты при п находятся целые числа и постоянная ${\displaystyle c={\frac {p}{q}}}$ это Рациональное число, коэффициенты при Q может быть не целым числом, а многочленом c^п Q имеет целые коэффициенты и имеет те же корни, что и Q.

Особый случай - когда ${\displaystyle c={\frac {a_{1}}{na_{0}}}.}$ Полученный многочлен Q не имеет срока в у^{п − 1}.

Взаимные корни

Позволять

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}}$

- многочлен. Полином, корнями которого являются взаимные корней п как корни его обратный многочлен

${\displaystyle Q(y)=y^{n}P\left({\frac {1}{y}}\right)=a_{n}y^{n}+a_{n-1}y^{n-1}+\cdots +a_{0}.}$

Масштабирование корней

Позволять

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}}$

- многочлен, и c быть ненулевой константой. Многочлен, корни которого являются произведением на c корней п является

${\displaystyle Q(y)=c^{n}P\left({\frac {y}{c}}\right)=a_{0}y^{n}+a_{1}cy^{n-1}+\cdots +a_{n}c^{n}.}$

Фактор c^п появляется здесь, потому что, если c и коэффициенты при п целые числа или принадлежат некоторым область целостности, то же верно и для коэффициентов при Q.

В частном случае, когда ${\displaystyle c=a_{0}}$, все коэффициенты Q кратны c, и ${\displaystyle {\frac {Q}{c}}}$ это монический многочлен, коэффициенты которой принадлежат любой области целостности, содержащей c и коэффициенты при п. Это полиномиальное преобразование часто используется для сокращения вопросов по алгебраические числа на вопросы по алгебраические целые числа.

В сочетании с перевод корней к ${\displaystyle {\frac {a_{1}}{na_{0}}}}$, позволяет сократить любой вопрос о корнях многочлена, например поиск корней, к аналогичному вопросу о более простом многочлене, который является моническим и не имеет члена степени п − 1. Примеры этого см. Кубическая функция § Приведение к угнетенной кубике или же Функция квартики § Преобразование в пониженную квартику.

Преобразование рациональной функцией

Все предыдущие примеры представляют собой полиномиальные преобразования рациональная функция, также называемый Трансформации Чирнхауза. Позволять

${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}$

- рациональная функция, где грамм и час находятся совмещать полиномы. Полиномиальное преобразование полинома п к ж это многочлен Q (определенный вплоть до произведение на ненулевую константу), корнями которого являются изображения ж корней п.

Такое полиномиальное преобразование можно вычислить как результирующий. Фактически, корни искомого многочлена Q точно сложные числа у такое, что есть комплексное число Икс такое, что одновременно (если коэффициенты п, грамм и час не являются действительными или комплексными числами, "комплексное число" должен быть заменен на "элемент алгебраически замкнутое поле содержащие коэффициенты входных полиномов ")

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x)&=0\\y\,h(x)-g(x)&=0\,.\end{aligned}}}$

Это и есть определяющее свойство результирующего

${\displaystyle \operatorname {Res} _{x}(y\,h(x)-g(x),P(x)).}$

Обычно это сложно вычислить вручную. Однако, как и большинство системы компьютерной алгебры есть встроенная функция для вычисления результирующих, ее просто вычислить с помощью компьютер.

Характеристики

Если многочлен п является несводимый, то либо полученный многочлен Q неприводимо, или это степень неприводимого многочлена. Позволять ${\displaystyle \alpha }$ быть корнем п и рассмотреть L, то расширение поля создано ${\displaystyle \alpha }$. Первый случай означает, что ${\displaystyle f(\alpha )}$ это примитивный элемент из L, у которого есть Q в качестве минимальный многочлен. В последнем случае, ${\displaystyle f(\alpha )}$ принадлежит подполе L а его минимальный многочлен - это неприводимый многочлен, имеющий Q как власть.

Преобразование для решения уравнений

Полиномиальные преобразования были применены к упрощению полиномиальных уравнений для решения, где это возможно, радикалами. Декарт ввел преобразование многочлена степени d что исключает термин степени d − 1 переводом корней. Такой многочлен называется подавленный. Этого уже достаточно, чтобы решить квадратный корень. В случае кубики преобразования Чирнхауза заменяют переменную квадратичной функцией, тем самым позволяя исключить два члена, и поэтому их можно использовать для исключения линейного члена в депрессивной кубике для достижения решения кубики путем комбинации квадратных и кубических корней. Преобразование Бринга-Джеррарда, которое является квартикой по переменной, переводит квинтику в «основную» или Нормальная форма Бринга-Джеррарда с членами степени 5,1 и 0.

Рекомендации

• Адамчик Виктор С .; Джеффри, Дэвид Дж. (2003). «Полиномиальные преобразования Чирнхауза, Бринга и Джеррарда» (PDF). SIGSAM Bull. 37 (3): 90–94. Zbl  1055.65063. Архивировано из оригинал (PDF) 26 февраля 2009 г.