Предшественник (физика) - Precursor (physics)

Прекурсоры характерные волновые картины, вызванные разброс частотных составляющих импульса при его распространении в среде. Классически предвестники предшествуют основному сигналу, хотя в определенных ситуациях они также могут следовать за ним. Явления-предвестники существуют для всех типов волн, так как их появление зависит только от значимости эффектов дисперсии в данном режиме распространения волн. Эта неспецифичность была подтверждена наблюдением за моделями предшественников у разных типов электромагнитное излучение (микроволны,^[1] видимый свет,^[2] и терагерцовое излучение^[3]) а также в жидкие поверхностные волны^[4] и сейсмические волны.^[5]

История

Теоретически предвестники были впервые предсказаны в 1914 г. Арнольд Зоммерфельд для случая распространения электромагнитного излучения через нейтральный диэлектрик в области нормальной дисперсии.^[6] В последующие годы деятельность Зоммерфельда была расширена за счет Леон Бриллюэн, кто применил приближение седловой точки для вычисления задействованных интегралов.^[6] Однако только в 1969 году предвестники были впервые экспериментально подтверждены для случая распространения микроволн в волноводе.^[1] и большая часть экспериментальных работ по наблюдению предвестников в других типах волн была сделана только с 2000 года. Это экспериментальное отставание в основном связано с тем, что во многих ситуациях предвестники имеют гораздо меньшую амплитуду, чем сигналы, которые их вызывают. (базовая цифра, приведенная Бриллюэном, на шесть порядков меньше).^[6] В результате экспериментальные подтверждения могли быть сделаны только после того, как стали доступны технологии для обнаружения прекурсоров.

Основная теория

Как явление дисперсии, амплитуда волны-предвестника, распространяющейся в одном измерении, на любом расстоянии и во времени может быть выражена интегралом Фурье

${displaystyle f(x,t)={frac {1}{2pi }}int {hat {zeta }}_{0}(omega )exp left[-ileft(k(omega )x-omega tight)ight]domega }$

куда ${displaystyle {hat {zeta }}_{0}(omega )}$ это преобразование Фурье начального импульса и комплексной экспоненциальной ${displaystyle exp left[-ileft(k(omega )x-omega tight)ight]}$ представляет отдельные составляющие вейвлеты, суммированные в интеграле. Чтобы учесть эффекты дисперсии, фаза экспоненты должна включать соотношение дисперсии (здесь ${displaystyle k(omega )}$ фактор) для конкретной среды, в которой распространяется волна.

Приведенный выше интеграл может быть решен только в замкнутой форме, когда сделаны идеализированные предположения относительно начального импульса и дисперсионного соотношения, как в выводе Зоммерфельда ниже. В наиболее реалистичных случаях численное интегрирование требуется для вычисления интеграла.

Вывод Зоммерфельда для электромагнитных волн в нейтральном диэлектрике.

Предполагая, что начальный импульс принимает форму синусоиды, резко включающейся во время ${displaystyle t=0}$,

${displaystyle f(t)=left{{egin{array}{rl}0&t<0sin {frac {2pi t}{ au }}&tgeq 0end{array}}ight.,}$

то мы можем записать интеграл общего вида, приведенный в предыдущем разделе, как

${displaystyle f(x,t)=-{frac {1}{ au }}int e^{-i(k(omega )x-omega t)}{frac {domega }{omega ^{2}-(2pi / au )^{2}}}.}$

Для простоты мы предполагаем, что все задействованные частоты находятся в диапазоне нормальной дисперсии среды, и допускаем дисперсионное соотношение в виде

${displaystyle k(omega )={frac {omega }{c}}{sqrt {1+{frac {a^{2}omega _{0}^{2}}{omega _{0}^{2}-omega ^{2}}}}}}$

куда ${displaystyle a^{2}={frac {Nq^{2}}{mepsilon _{0}omega _{0}^{2}}}}$, ${displaystyle N}$ число атомных осцилляторов в среде, ${displaystyle q}$ и ${displaystyle m}$ заряд и масса каждого, ${displaystyle omega _{0}}$ собственная частота осцилляторов, и ${displaystyle epsilon _{0}}$ то диэлектрическая проницаемость вакуума. Это дает интеграл

${displaystyle f(x,t)=-{frac {1}{ au }}int exp left[-ileft(x{frac {omega }{c}}{sqrt {1+{frac {a^{2}omega _{0}^{2}}{omega _{0}^{2}-omega ^{2}}}}}-omega tight)ight]{frac {domega }{omega ^{2}-(2pi / au )^{2}}}.}$

Чтобы решить этот интеграл, сначала выразим время через замедленное время ${displaystyle t'=t-{frac {x}{c}}}$, что необходимо для обеспечения того, чтобы решение не нарушало причинно-следственную связь, распространяясь быстрее, чем ${displaystyle c}$. Мы также лечим ${displaystyle |omega |}$ такой же большой и игнорировать ${displaystyle {frac {2pi }{ au }}}$ срок в знак уважения к второму порядку ${displaystyle omega }$ срок. Наконец, подставляем ${displaystyle xi ={frac {a^{2}omega _{0}^{2}}{2c}}x}$, получающий

${displaystyle f(xi ,t')=-{frac {1}{ au }}int exp left[-ileft({frac {xi }{omega }}+omega t'ight)ight]{frac {domega }{omega ^{2}}}}$

Переписывая это как

${displaystyle f(xi ,t')=-{frac {1}{ au }}int exp left[-i{sqrt {xi t'}}left({frac {1}{omega }}{sqrt {frac {xi }{t'}}}+omega {sqrt {frac {t'}{xi }}}ight)ight]{frac {domega }{omega ^{2}}}}$

и делая замены

${displaystyle omega {sqrt {frac {t'}{xi }}}=e^{ik},qquad {frac {domega }{omega }}=idk,qquad {frac {domega }{omega ^{2}}}=i{sqrt {frac {t'}{xi }}}e^{-ik}dk}$

позволяет преобразовать интеграл к виду

${displaystyle f(xi ,t')=-{frac {i}{ au }}{sqrt {frac {t'}{xi }}}int exp left[-2i{sqrt {xi t'}}cos kight]e^{-ik}dk,}$

куда ${displaystyle k}$ это просто фиктивная переменная, и, наконец,

${displaystyle f(xi ,t')={frac {2pi }{ au }}{sqrt {frac {t'}{xi }}}J_{1}left(2{sqrt {xi t'}}ight),}$

куда ${displaystyle J_{1}}$ это Функция Бесселя первого вида. Это решение, представляющее собой колебательную функцию с амплитудой и периодом, которые увеличиваются с увеличением времени, характерно для определенного типа предшественника, известного как Предшественник Зоммерфельда.^[7]

Анализ периода на основе приближения стационарной фазы

В приближение стационарной фазы может использоваться для анализа формы волн-предвестников без решения интеграла общего вида, приведенного выше в разделе «Основная теория». Приближение стационарной фазы утверждает, что для любой скорости распространения волны ${displaystyle {frac {x}{t}}}$ определяется с любого расстояния ${displaystyle x}$ и время ${displaystyle t}$, преобладающая частота ${displaystyle omega _{D}}$ предвестника - это частота, групповая скорость равно ${displaystyle {frac {x}{t}}}$:

${displaystyle v_{g}(omega _{D})=left.{frac {domega }{dk}}ight|_{omega _{D}}={frac {x}{t}}.}$

Следовательно, можно определить приблизительный период сигнала-предвестника на определенном расстоянии и в определенное время, вычислив период частотной составляющей, которая достигнет этого расстояния и времени, на основе ее групповой скорости. В области нормальной дисперсии высокочастотные составляющие имеют более высокую групповую скорость, чем низкочастотные, поэтому фронт предвестника должен иметь период, соответствующий периоду самой высокочастотной составляющей исходного импульса; с увеличением времени прибывают компоненты с более низкими и более низкими частотами, поэтому период предвестника становится все длиннее и длиннее, пока не появится компонент с самой низкой частотой. По мере поступления все большего количества компонентов амплитуда предвестника также увеличивается. Конкретный тип предшественника, характеризующийся увеличением периода и амплитуды, известен как высокочастотный прекурсор Зоммерфельда.

В области аномальной дисперсии, где низкочастотные компоненты имеют более высокие групповые скорости, чем высокочастотные, происходит противоположная вышеописанная ситуация: начало предвестника характеризуется большим периодом, и период сигнала уменьшается с увеличением время. Этот тип прекурсора называется низкочастотный предшественник Зоммерфельда.

В определенных ситуациях распространения волн (например, поверхностных волн жидкости) две или более частотных составляющих могут иметь одинаковую групповую скорость для определенных диапазонов частот; обычно это сопровождается локальным экстремумом на кривой групповой скорости. Это означает, что для определенных значений времени и расстояния сигнал-предвестник будет состоять из суперпозиции как низкочастотных, так и высокочастотных предвестников Зоммерфельда. Любые локальные экстремумы соответствуют только отдельным частотам, поэтому в этих точках будет вклад от сигнала-предвестника с постоянным периодом; это известно как Предшественник Бриллюэна.

Рекомендации

1. Плешко, Петр; Палоч, Иштван (1969-06-02). «Экспериментальное наблюдение прекурсоров Зоммерфельда и Бриллюэна в микроволновом диапазоне». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 22 (22): 1201–1204. Дои:10.1103 / Physrevlett.22.1201. ISSN  0031-9007.
2. Aaviksoo, J .; Kuhl, J .; Плоог, К. (1991-11-01). «Наблюдение оптических предвестников при распространении импульсов в GaAs». Физический обзор A. Американское физическое общество (APS). 44 (9): R5353 – R5356. Дои:10.1103 / Physreva.44.r5353. ISSN  1050-2947.
3. Ни, Сяохуэй; Альфано, Р. Р. (2006). «Распространение прекурсора Бриллюэна в ТГц диапазоне в лоренцевых средах». Оптика Экспресс. Оптическое общество. 14 (9): 4188-4194. Дои:10.1364 / oe.14.004188. ISSN  1094-4087.
4. Сокол, Эрик; Ларош, Клод; Фов, Стефан (7 августа 2003 г.). «Наблюдение прекурсоров Зоммерфельда на жидкой поверхности». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 91 (6): 064502. arXiv:физика / 0307032. Дои:10.1103 / Physrevlett.91.064502. ISSN  0031-9007.
5. Рост, Себастьян; Гарнеро, Эдвард Дж .; Уильямс, Квентин; Манга, Майкл (2005). «Сейсмологические ограничения на возможный корень плюма на границе ядро-мантия». Природа. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 435 (7042): 666–669. Дои:10.1038 / природа03620. ISSN  0028-0836.
6. См. Л. Бриллюэн, Распространение волн и групповая скорость (Academic Press, New York, NY, 1960), гл. 1.
7. См. A. Sommerfeld, Лекции по теоретической физике (Academic Press, New York, NY, 1950), Vol. 4, стр. 88-101, чтобы узнать подробнее об этом выводе.