Предгеометрия (теория моделей) - Pregeometry (model theory)

Предварительная геометрия, и полностью комбинаторная предгеометрия, по сути, являются синонимами слова "матроид ". Их представил Джан-Карло Рота с намерением предоставить менее "невыразимо какофонический" альтернативный термин. Также термин комбинаторная геометрия, иногда сокращенно геометрия, был призван заменить "простой матроид". Эти термины сейчас нечасто используются при изучении матроидов.

В филиале математическая логика называется теория моделей, бесконечные конечные матроиды, называемые там «предгеометриями» (и «геометриями», если они являются простыми матроидами), используются при обсуждении феномена независимости.

Оказывается, многие фундаментальные концепции линейная алгебра - замкнутость, независимость, подпространство, базис, размерность - сохраняются в рамках абстрактных геометрий.

Изучение того, как прегеометрии, геометрии и абстрактные операторы закрытия влиять на структуру первый заказ модели называется теория геометрической устойчивости.

Определения

Прегеометрии и геометрии

А комбинаторная предгеометрия (также известный как финитарный матроид), является структурой второго порядка: ${ displaystyle (X, { text {cl}})}$ , куда ${ displaystyle { text {cl}}: { mathcal {P}} (X) to { mathcal {P}} (X)}$ (называется карта закрытия) удовлетворяет следующим аксиомам. Для всех ${ displaystyle a, b in X}$ и ${ displaystyle A, B, C substeq X}$ :

${ displaystyle { text {cl}}: ({ mathcal {P}} (X), substeq) to ({ mathcal {P}} (X), substeq)}$ это гомоморфизм в категории частичные заказы (монотонно возрастающий), и доминирует ${ displaystyle { text {id}}}$ (Т.е. ${ displaystyle A substeq B}$ подразумевает ${ Displaystyle A substeq { text {cl}} (A) substeq { text {cl}} (B)}$ .) и является идемпотент.
Конечный символ: Для каждого ${ Displaystyle а ин { текст {cl}} (А)}$ есть какое-то конечное ${ Displaystyle F substeq A}$ с ${ displaystyle a in { text {cl}} (F)}$ .
Принцип обмена: Если ${ displaystyle b in { text {cl}} (C cup {a }) smallsetminus { text {cl}} (C)}$ , тогда ${ displaystyle a in { text {cl}} (C cup {b })}$ (а значит, по монотонности и идемпотентности на самом деле ${ displaystyle a in { text {cl}} (C cup {b }) smallsetminus { text {cl}} (C)}$ ).

А геометрия - это предварительная геометрия, в которой замыкание синглетонов является синглетонами, а замыкание пустого множества - это пустое множество.

Независимость, основы и размер

Данные наборы ${ displaystyle A, B subset S}$ , ${ displaystyle A}$ является независимый ${ displaystyle B}$ если ${ Displaystyle а notin { текст {cl}} ((А setminus {а }) чашка B)}$ для любого ${ displaystyle a in A}$ .

Множество ${ displaystyle A_ {0} subset A}$ это основа для ${ displaystyle A}$ над ${ displaystyle B}$ если он независим от ${ displaystyle B}$ и ${ Displaystyle A подмножество { текст {cl}} (A_ {0} чашка B)}$ .

Поскольку предгеометрия удовлетворяет Обмен Steinitz собственности все базы имеют одинаковую мощность, поэтому определение измерение из ${ displaystyle A}$ над ${ displaystyle B}$ в качестве ${ displaystyle { text {dim}} _ {B} A = | A_ {0} |}$ не имеет двусмысленности.

Наборы ${ displaystyle A, B}$ независимы от ${ displaystyle C}$ если ${ displaystyle { text {dim}} _ {B cup C} = dim _ {C} A '}$ ^{[непоследовательный ]} в любое время ${ displaystyle A '}$ конечное подмножество ${ displaystyle A}$ . Обратите внимание, что это соотношение симметрично.

В минимальных множествах над стабильными теориями отношение независимости совпадает с понятием разветвляющейся независимости.

Автоморфизм геометрии

А геометрический автоморфизм геометрии ${ displaystyle S}$ это биекция ${ displaystyle sigma: 2 ^ {S} to 2 ^ {S}}$ такой, что ${ displaystyle sigma { text {cl}} (X) = { text {cl}} ( sigma X)}$ для любого ${ Displaystyle X подмножество S}$ .

Предварительная геометрия ${ displaystyle S}$ как говорят однородный если для любого закрытого ${ Displaystyle X подмножество S}$ и любые два элемента ${ displaystyle a, b in S setminus X}$ есть автоморфизм ${ displaystyle S}$ который отображает ${ displaystyle a}$ к ${ displaystyle b}$ и исправления ${ displaystyle X}$ точечно.

Соответствующая геометрия и локализации

Учитывая предварительную геометрию ${ displaystyle (S, { text {cl}})}$ это связанная геометрия (иногда упоминается в литературе как каноническая геометрия) - геометрия ${ displaystyle (S ', { text {cl}}')}$ куда

${ displaystyle S '= {{ text {cl}} (a) mid a in S setminus { text {cl}} ( emptyset) }}$ , и
Для любого ${ Displaystyle X подмножество S}$ , ${ displaystyle { text {cl}} '( {{ text {cl}} (a) mid a in X }) = {{ text {cl}} (b) mid b в { text {cl}} (X) }}$

Легко видеть, что соответствующая геометрия однородной предгеометрии однородна.

Данный ${ displaystyle A subset S}$ в локализация из ${ displaystyle S}$ это геометрия ${ displaystyle (S, { text {cl}} _ {A})}$ куда ${ displaystyle { text {cl}} _ {A} (X) = { text {cl}} (X cup A)}$ .

Типы предгеометрий

Позволять ${ displaystyle (S, { text {cl}})}$ предгеометрия, то она называется:

банальный (или же выродиться) если ${ displaystyle { text {cl}} (X) = bigcup {{ text {cl}} (a) mid a in X }}$ .
модульный если любые два замкнутых конечномерных множества ${ displaystyle X, Y subset S}$ удовлетворяют уравнению ${ displaystyle { text {dim}} (X cup Y) = { text {dim}} (X) + { text {dim}} (Y) - { text {dim}} (X cap Y)}$ (или, что то же самое, ${ displaystyle X}$ не зависит от ${ displaystyle Y}$ над ${ Displaystyle X cap Y}$ ).
локально модульный если он имеет локализацию в синглтоне, который является модульным.
(локально) проективный если он нетривиальный и (локально) модульный.
локально конечный если замыкания конечных множеств конечны.

Тривиальность, модульность и локальная модульность переходят к связанной геометрии и сохраняются при локализации.

Если ${ displaystyle S}$ является локально модулярной однородной прегеометрией и ${ displaystyle a in S setminus { text {cl}} emptyset}$ затем локализация ${ displaystyle S}$ в ${ displaystyle b}$ модульный.

Геометрия ${ displaystyle S}$ является модульным тогда и только тогда, когда ${ displaystyle a, b in S}$ , ${ displaystyle A subset S}$ , ${ displaystyle { text {dim}} {a, b } = 2}$ и ${ displaystyle { text {dim}} _ {A} {a, b } leq 1}$ тогда ${ displaystyle ({ text {cl}} {a, b } cap { text {cl}} (A)) setminus { text {cl}} emptyset neq emptyset}$ .

Примеры

Тривиальный пример

Если ${ displaystyle S}$ любой набор, который мы можем определить ${ Displaystyle { текст {cl}} (А) = А}$ . Эта предгеометрия является тривиальной, однородной, локально конечной геометрией.

Векторные пространства и проективные пространства

Позволять ${ displaystyle F}$ - поле (на самом деле достаточно тела) и пусть ${ displaystyle V}$ быть ${ displaystyle kappa}$ -мерное векторное пространство над ${ displaystyle F}$ . потом ${ displaystyle V}$ является прегеометрией, в которой замыкания множеств определяются как их промежутки.

Эта предварительная геометрия однородна и модульна. Векторные пространства считаются типичным примером модульности.

${ displaystyle V}$ локально конечно тогда и только тогда, когда ${ displaystyle F}$ конечно.

${ displaystyle V}$ не является геометрией, так как замыкание любого нетривиального вектора является подпространством размера не менее ${ displaystyle 2}$ .

Соответствующая геометрия ${ displaystyle kappa}$ -мерное векторное пространство над ${ displaystyle F}$ это ${ Displaystyle ( каппа -1)}$ -размерный проективное пространство над ${ displaystyle F}$ . Легко видеть, что эта предгеометрия является проективной геометрией.

Аффинные пространства

Позволять ${ displaystyle V}$ быть ${ displaystyle kappa}$ -размерный аффинное пространство над полем ${ displaystyle F}$ . Для данного набора определите его замыкание как его аффинная оболочка (т.е. наименьшее содержащее его аффинное подпространство).

Это образует однородную ${ Displaystyle ( каппа +1)}$ -мерная геометрия.

Аффинное пространство не является модульным (например, если ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ быть параллельными линиями, то формула в определении модульности не работает). Однако легко проверить, что все локализации являются модульными.

Алгебраически замкнутые поля

Позволять ${ displaystyle k}$ быть алгебраически замкнутое поле с ${ Displaystyle { текст {tr.deg}} (к) geq omega}$ , и определим замыкание набора как его алгебраическое замыкание.

В то время как векторные пространства являются модульными, а аффинные пространства являются «почти» модульными (т.е. везде локально модулярными), алгебраически замкнутые поля являются примерами другой крайности, не будучи даже локально модульными (т.е. ни одна из локализаций не является модульной).