Последовательность Primefree - Primefree sequence

В математика, а последовательность без простых чисел это последовательность из целые числа который не содержит простые числа. Более конкретно, это обычно означает последовательность, определяемую одним и тем же отношение повторения как Числа Фибоначчи, но с разными первоначальные условия заставляя все члены последовательности быть составные числа что не у всех есть общие делитель. Выражаясь алгебраически, последовательность этого типа определяется соответствующим выбором двух составных чисел а₁ и а₂, так что наибольший общий делитель НОД (а₁,а₂) равно 1 и такое, что при п > 2 в последовательности чисел, вычисленной по формуле, нет простых чисел

а_п = а_п − 1 + а_п − 2.

Первая свободная от простых чисел последовательность такого типа была опубликована Рональд Грэм в 1964 г.

Последовательность Уилфа

Последовательность, свободная от простых чисел, найденная Герберт Уилф имеет начальные условия

а₁ = 20615674205555510, а₂ = 3794765361567513 (последовательность A083216 в OEIS ).

Доказательство того, что каждый член этой последовательности является составным, основывается на периодичности числовых последовательностей, подобных Фибоначчи, по модулю членов конечного набора простых чисел. Для каждого прайма п, позиции в последовательности, где числа делятся на п повторяются в периодическом образце, и разные простые числа в наборе имеют перекрывающиеся образцы, что приводит к комплект покрытия для всей последовательности.

Нетривиальность

Требование взаимной простоты начальных членов последовательности, не имеющей простых чисел, необходимо для того, чтобы вопрос был нетривиальным. Если мы позволим начальным условиям делить основной фактор п (например, установить а₁ = xp и а₂ = yp для некоторых Икс и у оба больше 1) из-за распределительное свойство из умножение а₃ = (Икс + у)п и, как правило, все последующие значения в последовательности будут кратны п. В этом случае все числа в последовательности будут составными, но по тривиальной причине.

Порядок начальных терминов также важен. В Пол Хоффман биография Пол Эрдёш, Человек, любивший только числа, цитируется последовательность Уилфа, но с заменой начальных членов. Результирующая последовательность кажется свободной от простых чисел для первых ста членов или около того, но член 138 является 45-значным простым числом 439351292910452432574786963588089477522344721.^[1]

Другие последовательности

Известно несколько других свободных от простых чисел последовательностей:

а₁ = 331635635998274737472200656430763, а₂ = 1510028911088401971189590305498785 (последовательность A083104 в OEIS; Грэм 1964),

а₁ = 62638280004239857, а₂ = 49463435743205655 (последовательность A083105 в OEIS; Knuth 1990), и

а₁ = 407389224418, а₂ = 76343678551 (последовательность A082411 в OEIS; Николь 1999).

Последовательность этого типа с наименьшими известными начальными членами имеет

а₁ = 106276436867, а₂ = 35256392432 (последовательность A221286 в OEIS; Всемирнов 2004).

Примечания

^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A108156». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.

внешняя ссылка

Проблема 31. Фибоначчи - последовательность всех композитов.. Соединение основных головоломок и проблем.
"Primefree sequence". PlanetMath.
Вайсштейн, Эрик В. "Primefree Sequence". MathWorld.

[1] Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A108156». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.

[1]