Проксимальный оператор - Proximal operator

В математическая оптимизация, то проксимальный оператор - это оператор связанный с надлежащим, полунепрерывный снизу выпуклая функция ${\displaystyle f}$из Гильбертово пространство ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$к ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$, и определяется:^[1]

${\displaystyle \operatorname {prox} _{f}(v)=\arg \min _{x\in {\mathcal {X}}}\left(f(x)+{\frac {1}{2}}\|x-v\|_{2}^{2}\right).}$

Для любой функции в этом классе минимизатор в правой части выше уникален, поэтому проксимальный оператор определен правильно. Прокси-функция функции обладает несколькими полезными свойствами для оптимизации, перечисленными ниже. Обратите внимание, что все эти элементы требуют ${\displaystyle f}$ быть правильным (т.е. не тождественно ${\displaystyle +\infty }$, и никогда не принимайте значение ${\displaystyle -\infty }$), выпуклой и полунепрерывной снизу.

Функция называется Твердо нерасширяющий если ${\displaystyle (\forall (x,y)\in {\mathcal {X}}^{2})\quad \|{\text{prox}}_{f}x-{\text{prox}}_{f}y\|^{2}\leq \langle x-y\ |\ {\text{prox}}_{f}x-{\text{prox}}_{f}y\rangle }$. Неподвижные точки ${\displaystyle {\text{prox}}_{f}}$минимизируют ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle \{x\in {\mathcal {X}}\ |\ {\text{prox}}_{f}x=x\}={\text{Argmin}}f}$.

Глобальная сходимость к минимизатору определяется следующим образом: Если ${\displaystyle {\text{argmin}}f\neq \varnothing }$, то для любой начальной точки ${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {X}}}$, рекурсия ${\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )\quad x_{n+1}={\text{prox}}_{f}x_{n}}$ приводит к сходимости ${\displaystyle x_{n}\to x\in {\text{argmin}}f}$ в качестве ${\displaystyle n\to +\infty }$. Эта сходимость может быть слабой, если ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ бесконечномерно.^[2]

Он часто используется в алгоритмах оптимизации, связанных с не-дифференцируемый проблемы оптимизации, такие как полное изменение шумоподавления.

Если ${\displaystyle f(x)}$ это 0-${\displaystyle \infty }$ индикаторная функция непустого замкнутого выпуклого множества, то оно полунепрерывно снизу, собственное, выпуклое и ${\displaystyle {\text{prox}}_{f}}$это ортогональный проектор на этот набор.

Смотрите также

• Проксимальный градиентный метод

Рекомендации

1. Нил Парих и Стивен Бойд (2013). «Проксимальные алгоритмы» (PDF). Основы и тенденции в оптимизации. 1 (3): 123–231. Получено 2019-01-29.
2. Bauschke, Heinz H .; Комбеты, Патрик Л. (2017). Выпуклый анализ и теория монотонных операторов в гильбертовых пространствах. CMS Книги по математике. Нью-Йорк: Спрингер. Дои:10.1007/978-3-319-48311-5. ISBN  978-3-319-48310-8.

внешняя ссылка

• В Репозиторий Proximity Operator: набор операторов близости, реализованных в Matlab и Python.
• ProximalOperators.jl: а Юля пакет, реализующий проксимальные операторы.
• ODL: библиотека Python для обратные задачи который использует проксимальные операторы.