Чистый подмодуль - Pure submodule

В математика, особенно в области теория модулей, Концепция чего-либо чистый подмодуль дает обобщение прямое слагаемое, тип особенно хорошо воспитанной части модуль. Чистые модули дополняют плоские модули и обобщить понятие Прюфера о чистые подгруппы. А плоские модули - это те модули, которые оставляют короткие точные последовательности точно после натяжение, чистый подмодуль определяет короткую точную последовательность, которая остается точной после тензорирования с любым модулем. Аналогично плоский модуль - это прямой предел из проективные модули, а чистый подмодуль определяет короткую точную последовательность, которая является прямым пределом разделить точные последовательности, каждое из которых определяется прямым слагаемым.

Определение

Позволять р быть звенеть (ассоциативный, с 1), и пусть M и п быть модули над р. Если я: пM является инъективный тогда п это чистый подмодуль M если для любого р-модуль Икс, естественное индуцированное отображение на тензорные произведения я ⊗ idИкс : пИксMИкс инъективно.

Аналогично, a короткая точная последовательность

из р-модули есть чисто точное если последовательность остается точной при тензоре любым р-модуль Икс. Это эквивалентно тому, что ж(А) является чистым подмодулем B.

Чистота также может быть выражена поэлементно; на самом деле это утверждение о разрешимости некоторых систем линейных уравнений. Конкретно, п чист в M тогда и только тогда, когда выполняется условие: для любого м-к-п матрица (аij) с записями в р, и любой набор у1, ..., ум элементов п, если есть элементы Икс1, ..., Иксп в M такой, что

тогда также существуют элементы Икс1′, ..., Икспв п такой, что

Примеры

это короткая точная последовательность р-модули, то:

  1. C это плоский модуль тогда и только тогда, когда точная последовательность чисто точна для каждого А и B. Из этого мы можем вывести, что регулярное кольцо фон Неймана, каждый подмодуль каждый р-модуль чистый. Это потому что каждый модуль над регулярным кольцом фон Неймана плоский. Обратное также верно. (Лам и 1999, стр.162 )
  2. Предполагать B плоский. Тогда последовательность будет чисто точной тогда и только тогда, когда C плоский. Отсюда можно сделать вывод, что чистые подмодули плоских модулей плоские.
  3. Предполагать C плоский. потом B плоский тогда и только тогда, когда А плоский.

Эквивалентная характеристика

Последовательность является чисто точной тогда и только тогда, когда это фильтрованный копредел (также известный как прямой предел ) из разделить точные последовательности

[1]

Рекомендации

  1. ^ Для абелевых групп это доказано в Fuchs (2015 г.), Гл. 5, чт. 3.4)
  • Фукс, Ласло (2015), Абелевы группы, Монографии Springer по математике, Springer, ISBN  9783319194226