Quantale - Quantale

В математика, Quantales уверены частично заказанный алгебраические структуры которые обобщают локали (точечные топологии ), а также различные мультипликативные решетки из идеалы из теории колец и функционального анализа (C * -алгебры, алгебры фон Неймана ). Кванталы иногда называют полный полугруппы с делениями.

Обзор

А квант это полная решетка Q с ассоциативный бинарная операция ∗ : Q × Q → Q, назвал его умножение, удовлетворяющие распределительному свойству, так что

${\displaystyle x*\left(\bigvee _{i\in I}{y_{i}}\right)=\bigvee _{i\in I}(x*y_{i})}$

и

${\displaystyle \left(\bigvee _{i\in I}{y_{i}}\right)*{x}=\bigvee _{i\in I}(y_{i}*x)}$

для всех Икс, у_я в Q, я в я (здесь я есть ли набор индексов ). Квант единый если у него есть элемент идентичности е для его умножения:

${\displaystyle x*e=x=e*x}$

для всех Икс в Q. В этом случае квант естественно моноид относительно его умножения ∗.

Унитальный квант можно определить эквивалентно как моноид в категории Как дела полных стыковых полурешеток.

Единичный квант - идемпотент полукольцо при соединении и умножении.

Единичный квант, в котором тождество верхний элемент базовой решетки называется строго двусторонний (или просто интеграл).

А коммутативный квант квант, умножение которого коммутативный. А Рамка, с умножением на встретить операция, является типичным примером строго двустороннего коммутативного кванта. Другой простой пример - единичный интервал вместе со своим обычным умножение.

An идемпотентный квант квант, умножение которого равно идемпотент. А Рамка то же самое, что идемпотентный строго двусторонний квант.

An инволютивный квант квант с инволюцией

${\displaystyle (xy)^{\circ }=y^{\circ }x^{\circ }}$

что сохраняет соединения:

${\displaystyle {\biggl (}\bigvee _{i\in I}{x_{i}}{\biggr )}^{\circ }=\bigvee _{i\in I}(x_{i}^{\circ }).}$

А квант гомоморфизм это карта ж : Q₁ → Q₂ что сохраняет соединения и умножение для всех Икс, у, Икс_я в Q₁, и я в я:

${\displaystyle f(xy)=f(x)f(y),}$

${\displaystyle f\left(\bigvee _{i\in I}{x_{i}}\right)=\bigvee _{i\in I}f(x_{i}).}$

Смотрите также

• Алгебра отношений

Рекомендации

• C.J. Mulvey (2001) [1994], "Квантале", Энциклопедия математики, EMS Press [1]
• J. Paseka, J. Rosicky, Quantales, в: Б. Коке, Д. Мур, А. Уилс, (ред.), Текущие исследования в области оперативной квантовой логики: алгебры, категории и языки, Фонд. Теории Phys., Т. 111, Kluwer Academic Publishers, 2000, стр. 245–262.
• М. Пьяцца, М. Кастеллан, Кванталы и структурные правила. Журнал логики и вычислений, 6 (1996), 709–724.
• К. Розенталь, Кванталы и их применение, Pitman Research Notes in Mathematics Series 234, Longman Scientific & Technical, 1990.