Скобка Ранкина – Коэна - Rankin–Cohen bracket

В математике Скобка Ранкина – Коэна из двух модульные формы - еще одна модульная форма, обобщающая продукт двух модульных форм.Ранкин  (1956, 1957 ) дал некоторые общие условия для многочлены в производные модульных форм быть модульными формами, и Коэн  (1975 ) нашел явные примеры таких многочленов, которые дают скобки Рэнкина – Коэна. Их назвал Загир (1994 ), который ввел алгебры Рэнкина – Коэна как абстрактную установку для скобок Рэнкина – Коэна.

Определение

Если ${\displaystyle f(\tau )}$ и ${\displaystyle g(\tau )}$ модульная форма веса k и час соответственно тогда их п-я скобка Ранкина – Коэна [ж,г]_п дан кем-то

${\displaystyle [f,g]_{n}={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\sum _{r+s=n}(-1)^{r}{\binom {k+n-1}{s}}{\binom {h+n-1}{r}}{\frac {\mathrm {d} ^{r}f}{\mathrm {d} \tau ^{r}}}{\frac {\mathrm {d} ^{s}g}{\mathrm {d} \tau ^{s}}}\ .}$

Это модульная форма весаk + час + 2п. Обратите внимание, что коэффициент ${\displaystyle (2\pi i)^{n}}$ включен так, чтобы коэффициенты q-разложения ${\displaystyle [f,g]_{n}}$ рациональны, если те из ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ находятся. ${\displaystyle d^{r}f/d\tau ^{r}}$ и ${\displaystyle d^{s}g/d\tau ^{s}}$ являются стандартными производные, в отличие от производной по квадрату ном который иногда также используется.

Теория представлений

Загадочную формулу для скобки Рэнкина – Коэна можно объяснить в терминах теория представлений. Модульные формы можно рассматривать как векторы наименьшего веса для представления дискретных серий SL₂(р) в пространство функций на SL₂(р) / SL₂(Z). В тензорное произведение двух представлений младшего веса, соответствующих модулярным формам ж и г раскалывается как прямая сумма представлений с наименьшим весом, индексированных неотрицательными целыми числами п, и краткий расчет показывает, что соответствующие векторы с наименьшим весом представляют собой скобки Ранкина – Коэна [ж,г]_п.

Кольца модульных форм

Нулевая скобка Ранкина – Коэна является скобкой Ли при рассмотрении кольцо модульных форм как Алгебра Ли.

использованная литература

• Коэн, Анри (1975), "Суммы, включающие значения в отрицательных целых числах L-функций квадратичных характеров", Математика. Анна., 217 (3): 271–285, Дои:10.1007 / BF01436180, Г-Н  0382192, Zbl  0311.10030
• Ранкин, Р. А. (1956), "Построение автоморфных форм из производных данной формы", J. Indian Math. Soc. (Н.С.), 20: 103–116, Г-Н  0082563, Zbl  0072.08601
• Ранкин, Р. А. (1957), "Построение автоморфных форм из производных данных форм", Michigan Math. Дж., 4: 181–186, Дои:10.1307 / mmj / 1028989013, Г-Н  0092870
• Загир, Дон (1994), "Модульные формы и дифференциальные операторы", Proc. Индийский акад. Sci. Математика. Sci., Мемориальный выпуск К. Г. Раманатана, 104 (1): 57–75, Дои:10.1007 / BF02830874, Г-Н  1280058, Zbl  0806.11022