Конус рецессии - Recession cone - Wikipedia

В математика, особенно выпуклый анализ, то конус рецессии набора ${\displaystyle A}$ это конус содержащий все векторов такой, что ${\displaystyle A}$ отступает в этом направлении. То есть набор простирается наружу во всех направлениях, заданных конусом рецессии.^[1]

Математическое определение

Учитывая непустое множество ${\displaystyle A\subset X}$ для некоторых векторное пространство ${\displaystyle X}$, то конус спада ${\displaystyle \operatorname {recc} (A)}$ дан кем-то

${\displaystyle \operatorname {recc} (A)=\{y\in X:\forall x\in A,\forall \lambda \geq 0:x+\lambda y\in A\}.}$^[2]

Если ${\displaystyle A}$ кроме того выпуклый набор то конус рецессии эквивалентно определяется как

${\displaystyle \operatorname {recc} (A)=\{y\in X:\forall x\in A:x+y\in A\}.}$^[3]

Если ${\displaystyle A}$ непусто закрыто выпуклое множество, то конус рецессии можно эквивалентно определить как

${\displaystyle \operatorname {recc} (A)=\bigcap _{t>0}t(A-a)}$ на любой выбор ${\displaystyle a\in A.}$^[3]

Характеристики

• Если ${\displaystyle A}$ непустое множество, то ${\displaystyle 0\in \operatorname {recc} (A)}$.
• Если ${\displaystyle A}$ непустое выпуклое множество, то ${\displaystyle \operatorname {recc} (A)}$ это выпуклый конус.^[3]
• Если ${\displaystyle A}$ является непустым замкнутым выпуклым подмножеством конечномерного Пространство Хаусдорфа (например. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$), тогда ${\displaystyle \operatorname {recc} (A)=\{0\}}$ если и только если ${\displaystyle A}$ ограничено.^[1][3]
• Если ${\displaystyle A}$ непустое множество, то ${\displaystyle A+\operatorname {recc} (A)=A}$ где сумма означает Дополнение Минковского.

Связь с асимптотическим конусом

В асимптотический конус за ${\displaystyle C\subseteq X}$ определяется

${\displaystyle C_{\infty }=\{x\in X:\exists (t_{i})_{i\in I}\subset (0,\infty ),\exists (x_{i})_{i\in I}\subset C:t_{i}\to 0,t_{i}x_{i}\to x\}.}$^[4][5]

По определению легко показать, что ${\displaystyle \operatorname {recc} (C)\subseteq C_{\infty }.}$^[4]

В конечномерном пространстве можно показать, что ${\displaystyle C_{\infty }=\operatorname {recc} (C)}$ если ${\displaystyle C}$ непусто, замкнуто и выпукло.^[5] В бесконечномерных пространствах связь между асимптотическими конусами и конусами рецессии более сложна, и свойства их эквивалентности суммированы в.^[6]

Сумма закрытых множеств

• Теорема Дьедонне: Пусть непустые замкнутые выпуклые множества ${\displaystyle A,B\subset X}$ а локально выпуклое пространство, если либо ${\displaystyle A}$ или же ${\displaystyle B}$ является локально компактный и ${\displaystyle \operatorname {recc} (A)\cap \operatorname {recc} (B)}$ это линейное подпространство, тогда ${\displaystyle A-B}$ закрыто.^[7][3]
• Пусть непустые замкнутые выпуклые множества ${\displaystyle A,B\subset \mathbb {R} ^{d}}$ такой, что для любого ${\displaystyle y\in \operatorname {recc} (A)\backslash \{0\}}$ тогда ${\displaystyle -y\not \in \operatorname {recc} (B)}$, тогда ${\displaystyle A+B}$ закрыто.^[1][4]

Смотрите также

• Барьерный конус

Рекомендации

1. Рокафеллар, Р. Тиррелл (1997) [1970]. Выпуклый анализ. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. С. 60–76. ISBN  978-0-691-01586-6.
2. Борвейн, Джонатан; Льюис, Адриан (2006). Выпуклый анализ и нелинейная оптимизация: теория и примеры (2-е изд.). Springer. ISBN  978-0-387-29570-1.
3. Зэлинеску, Константин (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах. Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co., Inc., стр.6 –7. ISBN  981-238-067-1. МИСТЕР  1921556.
4. Ким С. Бордер. «Суммы комплектов и т. Д.» (pdf). Получено 7 марта, 2012.
5. Альфред Ауслендер; М. Тебулль (2003). Асимптотические конусы и функции в оптимизации и вариационных неравенствах. Springer. стр.25 –80. ISBN  978-0-387-95520-9.
6. Зэлинеску, Константин (1993). «Конусы разбегания и асимптотически компактные множества». Журнал теории оптимизации и приложений. Springer Нидерланды. 77 (1): 209–220. Дои:10.1007 / bf00940787. ISSN  0022-3239.
7. Ж. Дьедонне (1966). "Sur la séparation des ensembles выпуклых". Математика. Анна.. 163.