Полугруппа факторов Риса - Rees factor semigroup

В математика, в теория полугрупп, а Полугруппа факторов Риса (также называемый Фактор-полугруппа Риса или просто Фактор Риса), названный в честь Дэвид Рис, это определенный полугруппа построенный с использованием полугруппы и идеал полугруппы.

Позволять S быть полугруппа и я быть идеалом S. С помощью S и я можно построить новую полугруппу, свернув я в один элемент, а элементы S вне я сохраняют свою идентичность. Полученная таким образом новая полугруппа называется Фактор Риса полугруппа S по модулю я и обозначается S/я.

Понятие факторной полугруппы Риса было введено Дэвид Рис в 1940 г.^[1]^[2]

Формальное определение

А подмножество ${ displaystyle I}$ полугруппы ${ displaystyle S}$ называется идеальный из ${ displaystyle S}$ если оба ${ displaystyle SI}$ и ${ displaystyle IS}$ являются подмножествами ${ displaystyle I}$ (куда ${ Displaystyle SI = {sx mid s in S { text {и}} x in I }}$ , и аналогично для ${ displaystyle IS}$ ). Позволять ${ displaystyle I}$ быть идеалом полугруппы ${ displaystyle S}$ . Соотношение ${ displaystyle rho}$ в ${ displaystyle S}$ определяется

Икс ρ у ⇔ либо Икс = у или оба Икс и у находятся в я

является отношением эквивалентности в ${ displaystyle S}$ . Классы эквивалентности при ${ displaystyle rho}$ одиночные наборы ${ Displaystyle {х }}$ с ${ displaystyle x}$ не в ${ displaystyle I}$ и набор ${ displaystyle I}$ . С ${ displaystyle I}$ это идеал ${ displaystyle S}$ , Соотношение ${ displaystyle rho}$ это соответствие на ${ displaystyle S}$ .^[3] В факторполугруппа ${ displaystyle S / { rho}}$ по определению Полугруппа факторов Риса из ${ displaystyle S}$ по модулю ${ displaystyle I}$ . Для удобства обозначений полугруппа ${ Displaystyle S / rho}$ также обозначается как ${ displaystyle S / I}$ . Фактор Риза^[4] имеет базовый набор ${ Displaystyle (S setminus I) чашка {0 }}$ , куда ${ displaystyle 0}$ - это новый элемент и продукт (здесь обозначается ${ displaystyle *}$ ) определяется

${ displaystyle s * t = { begin {cases} st & { text {if}} s, t, st in S setminus I 0 & { text {else}}. end {cases}}}$

Соответствие ${ displaystyle rho}$ на ${ displaystyle S}$ как определено выше, называется Конгруэнтность Риса на ${ displaystyle S}$ по модулю ${ displaystyle I}$ .

Пример

Рассмотрим полугруппу S = { а, б, c, d, е } с бинарной операцией, определенной следующей таблицей Кэли:

·	а	б	c	d	е
а	а	а	а	d	d
б	а	б	c	d	d
c	а	c	б	d	d
d	d	d	d	а	а
е	d	е	е	а	а

Позволять я = { а, d } который является подмножеством S. С

SI = { аа, ба, ок, да, еа, объявление, bd, CD, дд, ред } = { а, d } ⊆ я

ЯВЛЯЕТСЯ = { аа, да, ab, db, ac, Округ Колумбия, объявление, дд, ае, де } = { а, d } ⊆ я

набор я это идеал S. Факторная полугруппа Риса S по модулю я это набор S /я = { б, c, е, я } с бинарной операцией, определенной следующей таблицей Кэли:

·	б	c	е	я
б	б	c	я	я
c	c	б	я	я
е	е	е	я	я
я	я	я	я	я

Идеальное расширение

Полугруппа S называется идеальным расширением полугруппы А полугруппой B если А это идеал S и полугруппа факторов Риса S /А изоморфен B. ^[5]

Некоторые из случаев, которые были тщательно изучены, включают: идеальные расширения совершенно простые полугруппы, из группа по вполне 0-простая полугруппа, из коммутативная полугруппа с отмена группой с добавленным нулем. Вообще говоря, проблема описания всех идеальных расширений полугруппы остается открытой.^[6]

Рекомендации

^ Д. Рис (1940). «О полугруппах». Proc. Camb. Фил. Soc. 36: 387–400. MR 2, 127
^ Клиффорд, Альфред Хоблитцель; Престон, Гордон Бэмфорд (1961). Алгебраическая теория полугрупп. Vol. я. Математические обзоры, № 7. Провиденс, Р.И .: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-0272-4. МИСТЕР 0132791.
^ Лоусон (1998) Обратные полугруппы: теория частичных симметрий, стр. 60, Всемирный научный с Ссылка на Google Книги
^ Хауи, Джон М. (1995), Основы теории полугрупп, Clarendon Press, ISBN 0-19-851194-9
^ Михалев Александр Васильевич; Пильц, Гюнтер (2002). Краткий справочник по алгебре. Springer. ISBN 978-0-7923-7072-7.(стр. 1–3)
^ Глускин, Л.М. (2001) [1994], «Расширение полугруппы», Энциклопедия математики, EMS Press

Лоусон, М. (1998). Обратные полугруппы: теория частичных симметрий. World Scientific. ISBN 978-981-02-3316-7.

Эта статья включает материал из Фактора Риса по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.

[1] Д. Рис (1940). «О полугруппах». Proc. Camb. Фил. Soc. 36: 387–400. MR 2, 127

[2] Клиффорд, Альфред Хоблитцель; Престон, Гордон Бэмфорд (1961). Алгебраическая теория полугрупп. Vol. я. Математические обзоры, № 7. Провиденс, Р.И .: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-0272-4. МИСТЕР 0132791.

[3] Лоусон (1998) Обратные полугруппы: теория частичных симметрий, стр. 60, Всемирный научный с Ссылка на Google Книги

[4] Хауи, Джон М. (1995), Основы теории полугрупп, Clarendon Press, ISBN 0-19-851194-9

[5] Михалев Александр Васильевич; Пильц, Гюнтер (2002). Краткий справочник по алгебре. Springer. ISBN 978-0-7923-7072-7.(стр. 1–3)

[6] Глускин, Л.М. (2001) [1994], «Расширение полугруппы», Энциклопедия математики, EMS Press

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]