Теорема Реллиха – Кондрахова. - Rellich–Kondrachov theorem

В математика, то Теорема Реллиха – Кондрахова. это компактное вложение теорема касательно Соболевские пространства. Он назван в честь австрийско-немецкого математика. Франц Реллих и русский математик Кондрашов Владимир Иосифович. Реллих доказал L² Теорема и Кондрашов L^п теорема.

Формулировка теоремы

Пусть Ω ⊆р^п быть открыто, ограниченный Липшицевский домен, и пусть 1 ≤п < п. Набор

${\displaystyle p^{*}:={\frac {np}{n-p}}.}$

Тогда пространство Соболева W^1,п(Ω;р) является постоянно внедренный в L^п Космос L^п∗(Ω;р) и является компактно встроенный в L^q(Ω;р) для каждого 1 ≤q < п^∗. В символах

${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )\hookrightarrow L^{p^{*}}(\Omega )}$

и

${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )\subset \subset L^{q}(\Omega ){\text{ for }}1\leq q<p^{*}.}$

Теорема вложения Кондрахова

На компактном многообразии с C¹ граница, Теорема вложения Кондрахова заявляет, что если k > ℓ и k − п/п > ℓ − п/q то вложение Соболева

${\displaystyle W^{k,p}(M)\subset W^{\ell ,q}(M)}$

является полностью непрерывный (компактный).

Последствия

Поскольку вложение компактно если и только если оператор включения (тождества) является компактный оператор, из теоремы Реллиха – Кондрахова следует, что любая равномерно ограниченная последовательность в W^1,п(Ω;р) имеет подпоследовательность, сходящуюся в L^q(Ω;р). Заявленный в этой форме, в прошлом результат иногда назывался Селекционная теорема Реллиха – Кондрахова., поскольку «выбирают» сходящуюся подпоследовательность. (Однако сегодня обычное название - «теорема компактности», тогда как «селекционная теорема» имеет точное и совершенно иное значение, относящееся к многофункциональность ).

Теорема Реллиха – Кондрахова может быть использована для доказательства Неравенство Пуанкаре,^[1] в котором говорится, что для ты ∈ W^1,п(Ω;р) (где Ω удовлетворяет тем же условиям, что и выше),

${\displaystyle \|u-u_{\Omega }\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{L^{p}(\Omega )}}$

для некоторой постоянной C в зависимости только от п и геометрия области Ω, где

${\displaystyle u_{\Omega }:={\frac {1}{\operatorname {meas} (\Omega )}}\int _{\Omega }u(x)\,\mathrm {d} x}$

обозначает среднее значение ты над Ω.

Рекомендации

1. Эванс, Лоуренс К. (2010). «§5.8.1». Уравнения с частными производными (2-е изд.). п. 290. ISBN  978-0-8218-4974-3.

Литература

• Эванс, Лоуренс К. (2010). Уравнения с частными производными (2-е изд.). Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-4974-3.
• Кондрахов В. И. О некоторых свойствах функций в пространстве L с. Докл. Акад. 1945. Т. 48. С. 563–566.
• Леони, Джованни (2009). Первый курс в пространствах Соболева. Аспирантура по математике. 105. Американское математическое общество. С. xvi + 607. ISBN  978-0-8218-4768-8. МИСТЕР 2527916. Zbl 1180.46001
• Реллих, Франц (24 января 1930 г.). "Ein Satz über mittlere Konvergenz". Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (на немецком). 1930: 30–35. JFM  56.0224.02.