Теория представлений алгебр Хопфа - Representation theory of Hopf algebras

В абстрактная алгебра, а представление Алгебра Хопфа это представление лежащих в основе ассоциативная алгебра. То есть представление алгебры Хопфа ЧАС над полем K это K-векторное пространство V с действие ЧАС × V → V обычно обозначается противопоставлением (то есть изображение (час,v) написано hv ). Векторное пространство V называется ЧАС-модуль.

Характеристики

Модульная структура представления алгебры Хопфа ЧАС это просто его структура как модуль основной ассоциативной алгебры. Основное использование рассмотрения дополнительной структуры алгебры Хопфа - рассмотрение всех ЧАС-модули как категория. Дополнительная структура также используется для определения инвариантных элементов ЧАС-модуль V. Элемент v в V является инвариантный под ЧАС если для всех час в ЧАС, hv = ε (час)v, где ε - графство из ЧАС. Подмножество всех инвариантных элементов V образует подмодуль V.

Категории представлений как мотивация алгебр Хопфа

Для ассоциативной алгебры ЧАС, то тензорное произведение V₁ ⊗ V₂ из двух ЧАС-модули V₁ и V₂ является векторным пространством, но не обязательно ЧАС-модуль. Чтобы тензорное произведение было функториальный эксплуатация продукта на ЧАС-модулей должна быть линейная бинарная операция Δ: ЧАС → ЧАС ⊗ ЧАС такой, что для любого v в V₁ ⊗ V₂ и любой час в ЧАС,

${\displaystyle hv=\Delta h(v_{(1)}\otimes v_{(2)})=h_{(1)}v_{(1)}\otimes h_{(2)}v_{(2)},}$

и для любого v в V₁ ⊗ V₂ и а и б в ЧАС,

${\displaystyle \Delta (ab)(v_{(1)}\otimes v_{(2)})=(ab)v=a[b[v]]=\Delta a[\Delta b(v_{(1)}\otimes v_{(2)})]=(\Delta a)(\Delta b)(v_{(1)}\otimes v_{(2)}).}$

используя бессмысленный Обозначение Свидлера, который чем-то похож на безиндексную форму Соглашение о суммировании Эйнштейна. Это выполняется, если существует Δ такое, что Δ (ab) = Δ (а) Δ (б) для всех а, б в ЧАС.

Для категории ЧАС-модули должны быть строгими моноидальная категория относительно, ${\displaystyle V_{1}\otimes (V_{2}\otimes V_{3})}$ и ${\displaystyle (V_{1}\otimes V_{2})\otimes V_{3}}$ должен быть эквивалентным и должен существовать единичный объект ε_ЧАС, называемый тривиальным модулем, такой, что ε_ЧАС ⊗ V, V и V ⊗ ε_ЧАС эквивалентны.

Это означает, что для любого v в

${\displaystyle V_{1}\otimes (V_{2}\otimes V_{3})=(V_{1}\otimes V_{2})\otimes V_{3}}$

и для час в ЧАС,

${\displaystyle ((\operatorname {id} \otimes \Delta )\Delta h)(v_{(1)}\otimes v_{(2)}\otimes v_{(3)})=h_{(1)}v_{(1)}\otimes h_{(2)(1)}v_{(2)}\otimes h_{(2)(2)}v_{(3)}=hv=((\Delta \otimes \operatorname {id} )\Delta h)(v_{(1)}\otimes v_{(2)}\otimes v_{(3)}).}$

Это будет справедливо для любых трех ЧАС-модули, если Δ удовлетворяет

${\displaystyle (\operatorname {id} \otimes \Delta )\Delta A=(\Delta \otimes \operatorname {id} )\Delta A.}$

Тривиальный модуль должен быть одномерным, поэтому гомоморфизм алгебр ε: ЧАС → F можно определить так, что hv = ε (час)v для всех v в ε_ЧАС. Тривиальный модуль можно отождествить с F, где 1 - такой элемент, что 1 ⊗ v = v = v ⊗ 1 для всех v. Отсюда следует, что для любого v в любом ЧАС-модуль V, любой c в ε_ЧАС и любой час в ЧАС,

${\displaystyle (\varepsilon (h_{(1)})h_{(2)})cv=h_{(1)}c\otimes h_{(2)}v=h(c\otimes v)=h(cv)=(h_{(1)}\varepsilon (h_{(2)}))cv.}$

Существование гомоморфизма алгебр ε, удовлетворяющего

${\displaystyle \varepsilon (h_{(1)})h_{(2)}=h=h_{(1)}\varepsilon (h_{(2)})}$

является достаточным условием существования тривиального модуля.

Отсюда следует, что для категории ЧАС-модулей быть моноидальной категорией по отношению к тензорному произведению, достаточно, чтобы ЧАС иметь отображения Δ и ε, удовлетворяющие этим условиям. Это мотивация для определения биалгебра, где Δ называется коумножение а ε называется графство.

Для каждого ЧАС-модуль V иметь двойное представительство V такие, что лежащие в основе векторные пространства двойственны, а операция * функториальна над моноидальной категорией ЧАС-модули, должна быть линейная карта S : ЧАС → ЧАС такой, что для любого час в ЧАС, Икс в V и у в V *,

${\displaystyle \langle y,S(h)x\rangle =\langle hy,x\rangle .}$

куда ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ это обычный спаривание двойственных векторных пространств. Если карта ${\displaystyle \varphi :V\otimes V^{*}\rightarrow \varepsilon _{H}}$ индуцированный спариванием, должен быть ЧАС-гомоморфизм, то для любого час в ЧАС, Икс в V и у в V *,

${\displaystyle \varphi \left(h(x\otimes y)\right)=\varphi \left(x\otimes S(h_{(1)})h_{(2)}y\right)=\varphi \left(S(h_{(2)})h_{(1)}x\otimes y\right)=h\varphi (x\otimes y)=\varepsilon (h)\varphi (x\otimes y),}$

который удовлетворяется, если

${\displaystyle S(h_{(1)})h_{(2)}=\varepsilon (h)=h_{(1)}S(h_{(2)})}$

для всех час в ЧАС.

Если есть такая карта S, то он называется антипод, и ЧАС является алгеброй Хопфа. Стремление к моноидальной категории модулей с функториальными тензорными произведениями и двойственными представлениями является, таким образом, одной из мотиваций концепции алгебры Хопфа.

Представления на алгебре

Алгебра Хопфа также имеет представления, которые несут дополнительную структуру, а именно, они являются алгебрами.

Позволять ЧАС - алгебра Хопфа. Если А является алгебра с операцией произведения μ: А ⊗ А → А, и ρ: ЧАС ⊗ А → А представляет собой представление ЧАС на А, то ρ называется представлением ЧАС на алгебре, если μ ЧАС-эквивариантный. В качестве частных случаев алгебры Ли, супералгебры и группы Ли также могут иметь представления на алгебре.

Смотрите также

• Теорема Таннаки – Крейна о реконструкции