Остаток на бесконечности - Residue at infinity

В комплексный анализ, раздел математики, остаток на бесконечности это остаток из голоморфная функция на кольцо имеющий бесконечный внешний радиус. В бесконечность это точка, добавленная к локальному пространству чтобы сделать это компактный (в данном случае это одноточечная компактификация ). Это место отмечено является изоморфный к Сфера Римана.[1] Можно использовать остаток на бесконечности, чтобы вычислить некоторые интегралы.

Определение

Для голоморфной функции ж на кольцо (с центром в 0, с внутренним радиусом и бесконечный внешний радиус), остаток на бесконечности функции ж можно определить в терминах обычного остаток следующее:

Таким образом, можно перенести изучение в бесконечности к изучению в происхождении.

Обратите внимание, что , у нас есть


Мотивация

Сначала можно было догадаться, что определение остатка f (z) на бесконечности должен быть просто остаток f (1 / z) в г = 0. Однако причина, которую мы рассматриваем вместо -f (1 / z) / z2 в том, что не берутся остатки функции, но из дифференциальные формы, т.е. остаток f (z) dz на бесконечности - это остаток f (1 / z) d (1 / z) = - f (1 / z) dz / z2 в г = 0.


Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Мишель Оден, Анализировать комплекс, конспект лекций Страсбургского университета доступно в сети, стр. 70–72
  • Мюррей Р. Шпигель, Комплексы переменных, Шаум, ISBN  2-7042-0020-3
  • Анри Картан, Теория элементов аналитических функций и комплексов переменных, Герман, 1961
  • Марк Дж. Абловиц и Атанассиос С. Фокас, Комплексные переменные: введение и приложения (второе издание), 2003 г., ISBN  978-0-521-53429-1, P211-212.