Уравнение Ричардса - Richards equation

В Уравнение Ричардса представляет движение воды в ненасыщенный почвы и относят к Лоренцо А. Ричардс который опубликовал уравнение в 1931 году.^[1] Это нелинейный уравнение в частных производных, который часто трудно аппроксимировать, поскольку он не имеет закрытая форма аналитическое решение. Хотя это приписывается Ричардсу, установлено ^[2] что это уравнение было открыто девятью годами ранее Льюис Фрай Ричардсон в его книге «Прогноз погоды численным процессом», опубликованной в 1922 г. (стр.108).^[3]

Закон Дарси разработан для насыщенного течения в пористых средах; к этому Ричардсон применил требование непрерывности, предложенное Эдгар Бэкингем и получили «общее дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее движение воды в ненасыщенных ненабухающих почвах». Форма переходного состояния этого уравнения потока, известная как уравнение Ричардса, записывается в одномерном (вертикальном) виде:

${displaystyle {frac {partial heta }{partial t}}={frac {partial }{partial z}}left[K( heta )left({frac {partial h}{partial z}}+1ight)ight] }$

куда

${displaystyle K}$ это гидравлическая проводимость,

${displaystyle h}$ матрица, индуцированная капиллярное действие,

${displaystyle z}$ это высота над вертикалью датум,

${displaystyle heta }$ объемный содержание воды, и

${displaystyle t}$ является время.

Вывод

Здесь мы показываем, как вывести уравнение Ричардса для вертикального направления в очень упрощенной форме. Сохранение массы говорит, что скорость изменения насыщения в замкнутом объеме равна скорости изменения общей суммы потоков в этот объем и из него, выражаясь математическим языком:

${displaystyle {frac {partial heta }{partial t}}={vec {abla }}cdot left(sum _{i=1}^{n}{{vec {q}}_{i,,{ ext{in}}}}-sum _{j=1}^{m}{{vec {q}}_{j,,{ ext{out}}}}ight)}$

Поместите в 1D форму для направления ${displaystyle {hat {k}}}$:

${displaystyle {frac {partial heta }{partial t}}=-{frac {partial }{partial z}}q}$

Течение в горизонтальном направлении формулируется эмпирическим законом Дарси:

${displaystyle q=-K{frac {partial H}{partial z}}}$

Подстановка q в приведенном выше уравнении мы получаем:

${displaystyle {frac {partial heta }{partial t}}={frac {partial }{partial z}}left[K{frac {partial H}{partial z}}ight]}$

Замена на ЧАС = час + z:

${displaystyle {frac {partial heta }{partial t}}={frac {partial }{partial z}}left[Kleft({frac {partial h}{partial z}}+{frac {partial z}{partial z}}ight)ight]={frac {partial }{partial z}}left[Kleft({frac {partial h}{partial z}}+1ight)ight]}$

Затем мы получаем приведенное выше уравнение, которое также называют смешанной формой ^[4] уравнения Ричардса.

Составы

Уравнение Ричардса появляется во многих статьях в экологической литературе, потому что оно описывает поток в вадозная зона между атмосферой и водоносным горизонтом. Он также появляется в чисто математических журналах, потому что имеет нетривиальные решения. Обычно он представлен в одной из трех форм. В смешанная форма содержащая давление и насыщение, обсуждалось выше. Он также может появляться в двух других составах: головной и на основе насыщения.

Головной

${displaystyle C(h){frac {partial h}{partial t}}=abla cdot left(K(h)abla Hight)}$

Где С (ч) [1 / L] - это функция, описывающая скорость изменения насыщенности по отношению к матрице:

${displaystyle C(h)equiv {frac {partial heta }{partial h}}}$

В литературе эта функция называется «удельной влагоемкостью», и ее можно определить для различных типов почвы с помощью подбора кривой и лабораторных экспериментов, измеряющих скорость инфильтрации воды в столб почвы, как описано, например, у van Genuchten (1980).^[5]

На основе насыщенности

${displaystyle {frac {partial heta }{partial t}}=abla cdot D( heta )abla heta }$

Где D(θ) [L²/ T] - коэффициент диффузии воды в почве:

${displaystyle D( heta )equiv {frac {K( heta )}{C( heta )}}equiv K( heta ){frac {partial h}{partial heta }}}$

Ограничения

Численное решение уравнения Ричардса - одна из самых сложных задач науки о Земле. ^[6] Уравнение Ричардса критиковали за то, что оно затратно с точки зрения вычислений и непредсказуемо. ^[7][8] потому что нет гарантии, что решатель сойдется для определенного набора определяющих отношений почвы. Это предотвращает использование метода в общих приложениях, где высок риск несовпадения. Метод также подвергался критике за чрезмерное подчеркивание роли капиллярности,^[9] и за то, что в некотором смысле "чрезмерно упрощен" ^[10] При одномерном моделировании инфильтрации дождевых осадков в сухие почвы требуется тонкая пространственная дискретизация менее одного см вблизи поверхности земли.^[11], что связано с небольшими размерами репрезентативный элементарный объем для многофазного течения в пористых средах. В трехмерных приложениях численное решение уравнения Ричардса подлежит соотношение сторон ограничения, при которых отношение горизонтального к вертикальному разрешению в области решения должно быть меньше примерно 7.

Рекомендации

1. Ричардс, Л.А. (1931). «Капиллярная проводимость жидкости через пористые среды». Физика. 1 (5): 318–333. Bibcode:1931Физи ... 1..318R. Дои:10.1063/1.1745010.
2. Рыцарь, Джон; Раац, Питер. «Вклад Льюиса Фрая Ричардсона в теорию дренажа, физику почвы и континуум почва-растение-атмосфера» (PDF). Генеральная Ассамблея EGU 2016.
3. Ричардсон, Льюис Фрай (1922). Прогноз погоды с помощью числового процесса. Кембридж, Университетская пресса. стр.262.
4. Селия; и другие. (1990). «Общее массово-консервативное численное решение уравнения ненасыщенного потока». Исследование водных ресурсов. 26 (7): 1483–1496. Bibcode:1990WRR .... 26.1483C. Дои:10.1029 / WR026i007p01483.
5. van Genuchten, M. Th. (1980). «Уравнение в замкнутой форме для прогнозирования гидравлической проводимости ненасыщенных почв». Журнал Общества почвоведов Америки. 44 (5): 892–898. Bibcode:1980SSASJ..44..892V. Дои:10.2136 / sssaj1980.03615995004400050002x. HDL:10338.dmlcz / 141699.
6. Фартинг, Мэтью В. и Фред Л. Огден (2017). Численное решение уравнения Ричардса: обзор достижений и проблем. Журнал Общества почвоведов Америки, 81 (6), стр.1257-1269.
7. Шорт, Д., У. Р. Дауэс и И. Уайт, (1995). Практическая возможность использования уравнения Ричардса в моделях динамики почвы и воды общего назначения. Envir. Int'l. 21(5):723-730.
8. Точчи, М. Д., С. Т. Келли и С. Т. Миллер (1997), точное и экономичное решение от давления головки формы уравнения Ричардс методом линий, Adv. Wat. Ресурс., 20(1), 1–14.
9. Germann, P. (2010), Комментарий к «Теории для моделирования ненасыщенного потока в зависимости от источника и свободной поверхности пленки», Зона Вадосе J. 9(4), 1000-1101.
10. Грей, В. Г., и С. Хассанизаде (1991), Парадоксы и реальности в теории ненасыщенных потоков, Водный ресурс. Res., 27(8), 1847-1854.
11. Даунер, Чарльз В. и Фред Л. Огден (2003), Hydrol. Proc., 18, с. 1-22. DOI: 10.1002 / hyp.1306.

Смотрите также

• Инфильтрация (гидрология)
• Кривая удержания воды
• Метод конечной влажности вадозной зоны
• Уравнение скорости влажности почвы