Уравнение скорости влажности почвы - Soil moisture velocity equation

В уравнение скорости влажности почвы^[1] описывает скорость, с которой вода движется вертикально через почву под действием силы тяжести и капиллярности, процесса, известного как проникновение. Уравнение представляет собой другую форму уравнения Ричардсона /Уравнение Ричардса.^[2][3] Ключевое отличие состоит в том, что зависимой переменной является положение фронта смачивания. ${\displaystyle z}$, которая является функцией времени, содержания воды и свойств среды. Уравнение скорости влажности почвы состоит из двух членов. Первый термин, подобный адвекции, был разработан для имитации поверхностной инфильтрации. ^[4] и был продлен до уровня грунтовых вод^[5], что было проверено с использованием данных, собранных в экспериментальной колонке, построенной по образцу знаменитого эксперимента Чайлдса и Пуловассилиса (1962).^[6] и против точных решений.^[7][1]

Уравнение скорости влажности почвы

Уравнение скорости влажности почвы^[1] или SMVE - это альтернативная интерпретация уравнения Ричардса, в которой зависимой переменной является положение z фронта смачивания с определенной влажностью ${\displaystyle \theta }$ со временем.

${\displaystyle \left.{\frac {dz}{dt}}\right\vert _{\theta }={\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}\left[1-\left({\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}\right)\right]-D(\theta ){\frac {\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}{\partial \psi /\partial z}}}$

куда:

${\displaystyle z}$ - вертикальная координата [L] (положительная вниз),

${\displaystyle \theta }$ это содержание воды почвы в точке [-]

${\displaystyle K(\theta )}$ ненасыщенный гидравлическая проводимость [L T⁻¹],

${\displaystyle \psi (\theta )}$ это капилляр напор [L] (отрицательно для ненасыщенной почвы),

${\displaystyle D(\theta )}$ - коэффициент диффузии воды в почве, который определяется как: ${\displaystyle K(\theta )\partial \psi /\partial \theta }$

${\displaystyle t}$ является время [Т].

Первый член в правой части SMVE называется термином, подобным адвекции, а второй член - термином, подобным диффузии. Подобный адвекции член уравнения скорости почвенной влаги особенно полезен для расчета продвижения фронтов смачивания жидкости, проникающей в ненасыщенную пористую среду при комбинированном действии силы тяжести и капиллярности, поскольку оно может быть преобразовано в обыкновенное дифференциальное уравнение, пренебрегая диффузией. -подобный термин.^[5] и это позволяет избежать проблемы репрезентативный элементарный объем методом тонкой дискретизации влагосодержания и решения.

Это уравнение было преобразовано в набор из трех обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)^[5] используя метод линий^[8] преобразовать частные производные в правой части уравнения в соответствующие конечная разница формы. Эти три ODE представляют динамику инфильтрации воды, падающих пробок и капиллярных грунтовых вод соответственно.

Вывод

Этот вывод 1-D уравнения скорости влажности почвы^[1] для расчета вертикального потока ${\displaystyle q}$ воды в вадозная зона начинается с сохранения массы для ненасыщенной пористой среды без источников и стоков:

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}+{\frac {\partial q}{\partial z}}=0.}$

Затем вставим ненасыщенный поток Букингема – Дарси:^[9]

${\displaystyle q=-K(\theta ){\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}+K(\theta ),}$

давая уравнение Ричардса^[2] в смешанной форме, потому что включает в себя как содержание воды ${\displaystyle \theta }$и капиллярная головка ${\displaystyle \psi (\theta )}$:

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left[K(\theta )\left({\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}-1\right)\right]}$.

Применяя цепное правило дифференцирования к правой части уравнения Ричардса:

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}K(\theta (z,t)){\frac {\partial }{\partial z}}\psi (\theta (z,t))+K(\theta ){\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\psi (\theta (z,t))-{\frac {\partial }{\partial z}}K(\theta (z,t))}$.

Предполагая, что определяющие соотношения для ненасыщенной гидравлической проводимости и капиллярности почвы являются исключительно функциями содержания воды, ${\displaystyle K=K(\theta )}$и ${\displaystyle \psi =\psi (\theta )}$, соответственно:

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=K'(\theta )\psi '(\theta )\left({\frac {\partial \theta }{\partial z}}\right)^{2}+K(\theta )\left[\psi ''(\theta )\left({\frac {\partial \theta }{\partial z}}\right)^{2}+\psi '(\theta ){\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial z^{2}}}\right]-K'(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}}$.

Это уравнение неявно определяет функцию ${\displaystyle Z_{R}(\theta ,t)}$который описывает положение определенного содержания влаги в почве с использованием конечной дискретизации содержания влаги. Используя Теорема о неявной функции, что по циклическое правило потребовалось разделить обе части этого уравнения на ${\displaystyle {-\partial \theta }/{\partial z}}$ выполнить изменение переменной, в результате чего:

${\displaystyle {\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-K'(\theta )\psi '(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}-K(\theta )\psi ''(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}-K(\theta )\psi '(\theta ){\frac {\partial ^{2}\theta /\partial z^{2}}{\partial \theta /\partial z}}+K'(\theta )}$,

который можно записать как:

${\displaystyle {\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-K'(\theta )\left[{\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}-1\right]-K(\theta )\left[\psi ''(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}+\psi '(\theta ){\frac {\partial ^{2}\theta /\partial z^{2}}{\partial \theta /\partial z}}\right]}$.

Вставка определения коэффициента диффузии воды в почве:

${\displaystyle D(\theta )\equiv K(\theta ){\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}}$

в предыдущее уравнение дает:

${\displaystyle {\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-K'(\theta )\left[{\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}-1\right]-D(\theta ){\frac {\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}{\partial \psi /\partial z}}}$

Если мы рассмотрим скорость конкретного содержания воды ${\displaystyle \theta }$, то уравнение можно записать в виде Уравнение скорости влажности почвы:

${\displaystyle \left.{\frac {dz}{dt}}\right\vert _{\theta }={\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}\left[1-\left({\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}\right)\right]-D(\theta ){\frac {\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}{\partial \psi /\partial z}}}$

Физическое значение

Записывается в форме влажности, 1-Д Уравнение Ричардса является^[10]

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left(D(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}\right)+{\frac {\partial K(\theta )}{\partial z}}}$

Где D(θ) [L²/ T] - это «коэффициент диффузии воды в почве», как определено ранее.

Обратите внимание, что с ${\displaystyle \theta }$ как зависимая переменная, физическая интерпретация затруднена, потому что все факторы, влияющие на расхождение потока, заключены в члене коэффициента диффузии почвенной влаги. ${\displaystyle D(\theta )}$. Однако в SMVE три фактора, управляющие потоком, представлены в отдельных терминах, имеющих физическое значение.

Основные допущения, использованные при выводе уравнения скорости влажности почвы, заключаются в том, что ${\displaystyle K=K(\theta )}$ и ${\displaystyle \psi =\psi (\theta )}$ не являются чрезмерно ограничительными. Аналитические и экспериментальные результаты показывают, что эти предположения приемлемы в большинстве условий естественных почв. В этом случае уравнение скорости влажности почвы эквивалентно одномерному уравнению Ричардса, хотя и с изменением зависимой переменной. Это изменение зависимой переменной удобно, поскольку снижает сложность задачи, поскольку по сравнению с Уравнение Ричардса, что требует расчета дивергенции потока, SMVE представляет собой расчет потока, а не расчет дивергенции. Первый член в правой части SMVE представляет два скалярных фактора потока, гравитацию и интегрированную капиллярность фронта смачивания. Рассматривая именно этот термин, SMVE становится:

${\displaystyle {\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-K'(\theta )\left[{\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}-1\right]}$

куда ${\displaystyle {\partial \psi (\theta )}/{\partial z}}$ градиент капиллярного напора, который управляет потоком, и остающийся член проводимости ${\displaystyle K'(\theta )}$ представляет собой способность силы тяжести проводить поток через почву. Этот термин отвечает за истинную адвекцию воды через почву под комбинированным влиянием силы тяжести и капиллярности. По существу, это называется термином «адвекционный».

Пренебрегая гравитацией и скалярной капиллярностью фронта смачивания, мы можем рассматривать только второй член в правой части SMVE. В этом случае уравнение скорости влажности почвы принимает следующий вид:

${\displaystyle {\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-D(\theta ){\frac {\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}{\partial \psi /\partial z}}}$

Этот термин поразительно похож на Второй закон диффузии Фика. По этой причине этот термин называется «диффузионным» термином SMVE.

Этот термин представляет собой поток, обусловленный формой фронта смачивания. ${\displaystyle -D(\theta ){\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}}$, деленная на пространственный градиент головки капилляра ${\displaystyle {\partial \psi /\partial z}}$. Глядя на этот термин, похожий на диффузию, резонно спросить, когда этим термином можно пренебречь? Первый ответ заключается в том, что этот член будет равен нулю, когда первая производная ${\displaystyle <\partial \psi /\partial z=C}$, потому что вторая производная будет равна нулю. Один из примеров, когда это происходит, - в случае равновесного гидростатического профиля влажности, когда ${\displaystyle \partial \psi /\partial z=-1}$ где z определяется как положительное направление вверх. Это физически реалистичный результат, поскольку известно, что равновесный гидростатический профиль влажности не создает флюсов.

Другой случай, когда член, подобный диффузии, будет почти равен нулю, - это случай резких фронтов смачивания, когда знаменатель члена, подобного диффузии ${\displaystyle \partial \psi /\partial z\to \infty }$, в результате чего термин исчезнет. Примечательно, что острые фронты смачивания, как известно, трудно разрешить и точно решить с помощью традиционных средств решения численных уравнений Ричардса.^[11]

Наконец, в случае сухих почв, ${\displaystyle K(\theta )}$ стремится к ${\displaystyle 0}$, делая диффузию воды в почве ${\displaystyle D(\theta )}$ также стремятся к нулю. В этом случае термин, подобный диффузии, не приведет к возникновению потока.

Сравнение с точными решениями уравнения Ричардса для инфильтрации в идеализированные почвы, разработанными Россом и Парланжем (1994)^[12] раскрытый^[1] что действительно, пренебрежение термином, похожим на диффузию, привело к точности> 99% вычисленной совокупной инфильтрации. Этот результат указывает на то, что подобный адвекции член SMVE, преобразованный в обыкновенное дифференциальное уравнение с использованием метода линий, является точным ODE-решением проблемы проникновения. Это согласуется с результатом, опубликованным Ogden et al.^[5] который обнаружил ошибки при моделировании совокупной инфильтрации 0,3% с использованием 263 см тропических осадков в течение 8-месячного моделирования для проведения моделирования инфильтрации, в котором сравнивалось решение SMVE, подобное адвекции, с численным решением уравнения Ричардса.

Решение

Адвективный член SMVE может быть решен с помощью метод линий и дискретизация конечной влажности. Это решение термина адвекции SMVE заменяет 1-D Уравнение Ричардса PDE с набором из трех обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ). Эти три ODE:

Фронты проникновения

Фронты инфильтрации в области конечного содержания воды

Как показано на Рисунке 1, вода, просачивающаяся на поверхность земли, может протекать через поровое пространство между ${\displaystyle \theta _{d}}$ и ${\displaystyle \theta _{i}}$. С использованием метод линий чтобы преобразовать термин, подобный адвекции SMVE, в ODE:

${\displaystyle {\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}={\frac {K(\theta _{d})-K(\theta _{i})}{\theta _{d}-\theta _{i}}}.}$

Учитывая, что любая затопленная глубина воды на поверхности суши ${\displaystyle h_{p}}$, Грин и Ампт (1911)^[13] используется предположение,

${\displaystyle {\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}={\frac {|\psi (\theta _{d})|+h_{p}}{z_{j}}},}$

представляет градиент капиллярного напора, который управляет потоком в ${\displaystyle j^{th}}$ дискретизация или «бункер». Следовательно, уравнение конечной влажности в случае фронтов инфильтрации:

${\displaystyle \left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{d})-K(\theta _{i})}{\theta _{d}-\theta _{i}}}\left({\frac {|\psi (\theta _{d})|+h_{p}}{z_{j}}}+1\right).}$

Падающие слизни

Падающие слизни в области конечного содержания воды. Вода в каждом бункере считается отдельной пробкой.

После прекращения дождя и просачивания всей поверхностной воды вода в емкостях, содержащих фронты инфильтрации, отрывается от поверхности земли. Если предположить, что капиллярность на передней и задней кромках этой `` падающей пробки '' воды уравновешена, тогда вода проходит через среду с возрастающей проводимостью, связанной с ${\displaystyle j^{\text{th}}\ \Delta \theta }$ корзина:

${\displaystyle \left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{j-1})}{\theta _{j}-\theta _{j-1}}}}$.

Такой подход к решению бескапиллярного решения очень похож на приближение кинематических волн.

Капиллярные фронты подземных вод

Капиллярные фронты подземных вод в области конечной влажности

В этом случае поток воды к ${\displaystyle j^{\text{th}}}$ bin находится между bin j и я. Следовательно, в контексте метод линий:

${\displaystyle {\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{i})}{\theta _{j}-\theta _{i}}},}$

и

${\displaystyle {\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}={\frac {|\psi (\theta _{j})|}{H_{j}}}}$

что дает:

${\displaystyle \left({\frac {dH}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{i})}{\theta _{j}-\theta _{i}}}\left({\frac {|\psi (\theta _{j})|}{H_{j}}}-1\right).}$

Обратите внимание на «-1» в круглых скобках, обозначающее тот факт, что сила тяжести и капиллярность действуют в противоположных направлениях. Работоспособность этого уравнения была проверена,^[7] с использованием колоночного эксперимента, проведенного позже Чайлдсом и Пуловассилисом (1962).^[6] Результаты этой проверки показали, что метод расчета потока зоны аэрации с конечным содержанием воды работает сравнимо с численным решением уравнения Ричардса. На фото показан аппарат. Данные из этого эксперимента в столбце доступны при нажатии на эту горячую ссылку DOI. Эти данные полезны для оценки моделей динамики приповерхностного уровня грунтовых вод.

Примечательно, что термин, подобный адвекции SMVE, решаемый с использованием метода конечной влажности, полностью избавляет от необходимости оценивать удельная доходность. Расчет удельной урожайности по мере приближения уровня грунтовых вод к поверхности земли затруднен моей нелинейностью. Однако SMVE, решенный с использованием дискретизации конечной влажности, по существу делает это автоматически в случае динамического приповерхностного уровня грунтовых вод.

Колонный эксперимент, используемый для наблюдения за откликом влаги в мелком песке над движущимся водным слоем. Обратите внимание на бак постоянного напора, управляемый шаговым двигателем (белое ведро).

Уведомление и награды

Статья по уравнению скорости влажности почвы была выделил редактором в выпуске J. Adv. Моделирование земных систем когда статья была впервые опубликована и находится в открытом доступе. Статью можно бесплатно скачать. Вот Документ, описывающий решение конечного влагосодержания адвективного члена уравнения скорости влажности почвы, был выбран для получения отчета 2015 г. Награда за лучшую бумагу ранними гидрогеологами Международная ассоциация гидрогеологов.

Рекомендации

1. Огден, Ф.Л., М.Б. Аллен, W.Lai, J. Zhu, C.C. Дуглас, М. Сео и К.А. Talbot, 2017. Уравнение скорости влажности почвы, J. Adv. Моделирование системы Земли.https://doi.org/10.1002/2017MS000931
2. Ричардсон, Л. Ф. (1922), Прогноз погоды с помощью числового процесса, Cambridge Univ. Press, Cambridge, U.K., стр. 108. онлайн: https://archive.org/details/weatherpredictio00richrich по состоянию на 23 марта 2018 г.
3. Ричардс, Л. А. (1931), Капиллярная проводимость жидкостей через пористые среды, J. Appl. Phys., 1(5), 318–333.
4. Talbot, C.A., и F. L. Ogden (2008), Метод расчета инфильтрации и перераспределения в дискретной области влагосодержания, Водный ресурс. Res., 44 (8), DOI: 10.1029 / 2008WR006815.
5. Огден, Ф. Л., В. Лай, Р. К. Стейнке, Дж. Чжу, К. А. Талбот и Дж. Л. Уилсон (2015), Новый общий метод решения одномерной зоны вадозы, Водный ресурс., 51, DOI: 10.1002 / 2015WR017126.
6. Чайлдс, Э. К. и А. Пуловассилис (1962), Профиль влажности над движущимся уровнем грунтовых вод, Soil Sci. J., 13 (2), 271–285.
7. Огден, Ф. Л., В. Лай, Р. С. Стейнке, и Дж. Чжу (2015b), Проверка метода динамики вадозной зоны с конечным содержанием воды с использованием колоночных экспериментов с движущимся уровнем грунтовых вод и приложенным поверхностным потоком. Водный ресурс. Res., 10.1002/2014WR016454.
8. Гриффитс, Грэм; Шиссер, Уильям; Хамди, Самир (2007). «Метод линий». Scholarpedia. 2 (7): 2859. Дои:10.4249 / scholarpedia.2859.
9. Юри, У. А., и Р. Хортон, 2004. Физика почвы. Джон Вили и сыновья.
10. Филип, Дж. Р., 1957. Теория инфильтрации 1: Уравнение инфильтрации и его решение. Почвоведение. 83 (5): 345-357.
11. Фартинг, М. В., и Огден, Ф. Л. (2017). Численное решение уравнения Ричардса: обзор достижений и проблем. Американское общество почвоведов Дж.
12. Росс П.Дж. и Ж.-Й. Parlange, 1994. Сравнение точных и численных решений Ричардса для одномерной инфильтрации и дренажа, Почвоведение. 157(6):341-344.
13. Грин, У. Х. и Г. А. Ампт (1911), Исследования по физике почвы, 1, Поток воздуха и воды через почвы, J. Agric. Sci., 4(1), 1–24.

внешняя ссылка

• YouTube-видео решения на основе SMVE замедляется во время дождя, чтобы подчеркнуть поведение, с фиксированным уровнем грунтовых вод на уровне 1,0 м и эвапотранспирацией из корневой зоны 0,5 м