Неравенство перестановки Рисса - Riesz rearrangement inequality

В математика, то Неравенство перестановки Рисса (иногда называют Рис-Соболев неравенство) утверждает, что для любых трех неотрицательных функций ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}}$, ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}}$ и ${\displaystyle h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}}$ удовлетворяет неравенству

${\displaystyle \iint _{\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}f(x)g(x-y)h(y)\,dx\,dy\leq \iint _{\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}f^{*}(x)g^{*}(x-y)h^{*}(y)\,dx\,dy,}$

где ${\displaystyle f^{*}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}}$, ${\displaystyle g^{*}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}}$ и ${\displaystyle h^{*}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}}$ являются симметричные убывающие перестановки функций ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle h}$ соответственно.

История

Неравенство было впервые доказано Фриджес Рис в 1930 г.^[1] и независимо опровергнутый С.Л. Соболевым в 1938 г. Его можно обобщить на произвольное (но конечное) число функций, действующих на произвольное число переменных.^[2]

Приложения

Неравенство перестановки Рисса можно использовать для доказательства Неравенство Полиа – Сегё.

Доказательства

Одномерный случай

В одномерном случае неравенство сначала доказывается, когда функции ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle h}$ находятся характеристические функции конечного объединения интервалов. Затем неравенство может быть расширено на характеристические функции измеримых множеств, на измеримые функции, принимающие конечное число значений, и, наконец, на неотрицательные измеримые функции.^[3]

Многомерный случай

Чтобы перейти от одномерного случая к многомерному случаю, сферическая перестройка аппроксимируется симметризацией Штейнера, для которой одномерный аргумент применяется непосредственно теоремой Фубини.^[4]

Случаи равенства

В случае, когда любая из трех функций является строго симметрично убывающей функцией, равенство выполняется только тогда, когда две другие функции равны, с точностью до трансляции, своим симметрично убывающим перестановкам.^[5]

использованная литература

1. Рис, Фриджес (1930). "Sur une inégalité intégrale". Журнал Лондонского математического общества. 5 (3): 162–168. Дои:10.1112 / jlms / s1-5.3.162. Г-Н  1574064.
2. Brascamp, H.J .; Либ, Эллиот Х.; Латтинджер, Дж. М. (1974). «Общее неравенство перестановки для кратных интегралов». Журнал функционального анализа. 17: 227–237. Г-Н  0346109.
3. Харди, Г. Х.; Литтлвуд, Дж. Э.; Поля, Г. (1952). Неравенства. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-35880-4.
4. Либ, Эллиотт; Потеря, Майкл (2001). Анализ. Аспирантура по математике. 14 (2-е изд.). Американское математическое общество. ISBN  978-0821827833.
5. Бурчард, Альмут (1996). «Случаи равенства в неравенстве перестановки Рисса». Анналы математики. 143 (3): 499–527. CiteSeerX  10.1.1.55.3241. Дои:10.2307/2118534. JSTOR  2118534.