Неравенство Полиа – Сегё - Pólya–Szegő inequality

В математический анализ, то Неравенство Полиа – Сегё (или же Неравенство Сегё) утверждает, что соболевская энергия функции Соболевское пространство не увеличивается при симметричная убывающая перестановка.^[1] Неравенство названо в честь математики Георгий Полиа и Габор Сегу.

Математическая постановка и утверждение

Учитывая Измеримый по Лебегу функция ${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+},}$симметричная убывающая перестановка ${\displaystyle u^{*}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+},}$ - единственная функция такая, что для каждого ${\displaystyle t\in \mathbb {R} ,}$ подуровневый набор ${\displaystyle u^{*}{}^{-1}((t,+\infty ))}$ является открытый мяч с центром в начале координат ${\displaystyle 0\in \mathbb {R} ^{n}}$ это то же самое Мера Лебега в качестве ${\displaystyle u^{-1}((t,+\infty )).}$

Эквивалентно, ${\displaystyle u^{*}}$ уникальный радиальный и радиально невозрастающая функция, чей строгие подуровневые множества открыты и имеют ту же меру, что и функция ${\displaystyle u}$.

Неравенство Полиа – Сегё утверждает, что если, кроме того, ${\displaystyle u\in W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n}),}$ тогда ${\displaystyle u^{*}\in W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}$ и

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u^{*}|^{p}\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|^{p}.}$

Приложения неравенства

Неравенство Полиа – Сегё используется для доказательства Неравенство Рэлея – Фабера – Крана., который гласит, что среди всех областей данного фиксированного объема мяч имеет наименьшее первое собственное значение для Лапласиан с Граничные условия Дирихле. Доказательство состоит в том, чтобы сформулировать проблему как минимизацию Фактор Рэлея.^[1]

В изопериметрическое неравенство можно вывести из неравенства Полиа – Сегё с ${\displaystyle p=1}$.

Оптимальная константа в Неравенство Соболева можно получить, комбинируя неравенство Полиа – Сеге с некоторыми интегральными неравенствами.^[2][3]

Случаи равенства

Поскольку энергия Соболева инвариантна относительно переносов, любой перенос радиальной функции приводит к равенству в неравенстве Полиа – Сегё. Однако есть и другие функции, которые могут достичь равенства, например, взяв радиальную невозрастающую функцию, которая достигает своего максимума на шаре положительного радиуса, и добавив к этой функции другую функцию, которая является радиальной по отношению к другой точке и чья поддержка содержится в максимальном наборе первой функции. Таким образом, чтобы избежать этого препятствия, необходимо дополнительное условие.

Доказано, что если функция ${\displaystyle u}$ достигает равенства в неравенстве Полиа – Сегё и если множество ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}:u(x)>0{\text{ and }}\nabla u(x)=0\}}$ это нулевой набор для меры Лебега, то функция ${\displaystyle u}$ радиально и не возрастает в радиальном направлении относительно некоторой точки ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$.^[4]

Обобщения

Неравенство Полиа – Сегё остается в силе для симметризаций на сфера или гиперболическое пространство.^[5]

Неравенство также выполняется для частичных симметризаций, определяемых слоением пространства на плоскости (симметризация Штейнера)^[6][7] и на сферы (симметризация шапки).^[8][9]

Существуют также неравенства Полиа - Сеге для перестановок относительно неевклидовых норм и использования двойная норма градиента.^[10][11][12]

Доказательства неравенства

Оригинальное доказательство цилиндрическим изопериметрическим неравенством

Оригинальное доказательство Полиа и Сегу для ${\displaystyle p=2}$ был основан на изопериметрическом неравенстве сравнения множеств с цилиндрами и асимптотическом разложении площади графика функции.^[1] Неравенство доказано для гладкой функции ${\displaystyle u}$ который исчезает вне компактного подмножества евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Для каждого ${\displaystyle \varepsilon >0}$, они определяют множества

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\varepsilon }&=\{(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \,:\,0<t<\varepsilon u(x)\}\\C_{\varepsilon }^{*}&=\{(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \,:\,0<t<\varepsilon u^{*}(x)\}\end{aligned}}}$

Эти множества представляют собой множества точек, которые лежат между областью определения функций ${\displaystyle \varepsilon u}$ и ${\displaystyle \varepsilon u^{*}}$ и их соответствующие графики. Затем они используют геометрический факт, что, поскольку горизонтальные срезы обоих наборов имеют одинаковую меру, а вторые являются шарами, они выводят, что площадь границы цилиндрического набора ${\displaystyle C_{\varepsilon }^{*}}$ не может превышать один из ${\displaystyle C_{\varepsilon }}$. Эти площади можно вычислить с помощью формула площади что приводит к неравенству

${\displaystyle \int _{u^{*}{}^{-1}((0,+\infty ))}1+{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}|\nabla u^{*}|^{2}}}\leq \int _{u^{-1}((0,+\infty ))}1+{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}|\nabla u|^{2}}}.}$

Поскольку множества ${\displaystyle u^{-1}((0,+\infty ))}$ и ${\displaystyle u{}^{*}{}^{-1}((0,+\infty ))}$ имеют ту же меру, это эквивалентно

${\displaystyle {\frac {1}{\varepsilon }}\int _{u^{*}{}^{-1}((0,+\infty ))}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}|\nabla u^{*}|^{2}}}-1\leq {\frac {1}{\varepsilon }}\int _{u^{-1}((0,+\infty ))}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}|\nabla u|^{2}}}-1.}$

Вывод следует из того, что

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\varepsilon }}\int _{u^{-1}((0,+\infty ))}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}|\nabla u|^{2}}}-1={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|^{2}.}$

Формула Коареа и изопериметрическое неравенство

Неравенство Полиа – Сегё можно доказать, объединив формула coarea, Неравенство Гёльдера и классический изопериметрическое неравенство.^[2]

Если функция ${\displaystyle u}$ достаточно гладко, формулу coarea можно использовать для записи

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|^{p}=\int _{0}^{+\infty }\int _{u^{-1}({t})}|\nabla u|^{p-1}\,d{\mathcal {H}}^{n-1}\,dt,}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n-1}}$ обозначает ${\displaystyle (n-1)}$–Размерный Мера Хаусдорфа на евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Почти для каждого ${\displaystyle t\in (0,+\infty )}$, по неравенству Гёльдера имеем

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n-1}\left(u^{-1}(\{t\})\right)\leq \left(\int _{u^{-1}(\{t\})}|\nabla u|^{p-1}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{u^{-1}(\{t\})}{\frac {1}{|\nabla u|}}\right)^{1-{\frac {1}{p}}}.}$

Следовательно, мы имеем

${\displaystyle \int _{u^{-1}(\{t\})}|\nabla u|^{p-1}\geq {\frac {{\mathcal {H}}^{n-1}\left(u^{-1}(\{t\})\right)^{p}}{\left(\int _{u^{-1}(\{t\})}{\frac {1}{|\nabla u|}}\right)^{p-1}}}.}$

Поскольку набор ${\displaystyle u^{*}{}^{-1}((t,+\infty ))}$ шар, имеющий ту же меру, что и множество ${\displaystyle u^{-1}((t,+\infty ))}$, согласно классическому изопериметрическому неравенству имеем

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n-1}\left(u^{*}{}^{-1}(\{t\})\right)\leq {\mathcal {H}}^{n-1}\left(u^{-1}(\{t\})\right).}$

Кроме того, вспоминая, что множества подуровней функций ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle u^{*}}$ иметь такую ​​же меру,

${\displaystyle \int _{u^{*}{}^{-1}(\{t\})}{\frac {1}{|\nabla u^{*}|}}=\int _{u^{-1}(\{t\})}{\frac {1}{|\nabla u|}},}$

и поэтому,

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|^{p}\geq \int _{0}^{+\infty }{\frac {{\mathcal {H}}^{n-1}\left(u^{*}{}^{-1}(\{t\})\right)^{p}}{\left(\int _{u^{*}{}^{-1}(\{t\})}{\frac {1}{|\nabla u^{*}|}}\right)^{p-1}}}\,dt.}$

Поскольку функция ${\displaystyle u^{*}}$ радиально, есть

${\displaystyle {\frac {{\mathcal {H}}^{n-1}\left(u^{*}{}^{-1}(\{t\})\right)^{p}}{\left(\int _{u^{*}{}^{-1}(\{t\})}{\frac {1}{|\nabla u^{*}|}}\right)^{p-1}}}=\int _{u^{*}{}^{-1}(\{t\})}|\nabla u^{*}|^{p-1},}$

вывод следует из повторного применения формулы коплощади.

Неравенства перестановки для свертки

Когда ${\displaystyle p=2}$, неравенство Полиа – Сегё можно доказать, представив соболевскую энергию тепловое ядро.^[13] Начнем с того, что

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|^{2}=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u|^{2}-\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}K_{t}(x-y)u(x)u(y)\,dx\,dy\right),}$

где для ${\displaystyle t\in (0,+\infty )}$, функция ${\displaystyle K_{t}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ тепловое ядро, определенное для каждого ${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{n}}$ к

${\displaystyle K_{t}(z)={\frac {1}{(4\pi t)^{\frac {n}{2}}}}e^{-{\frac {|z|^{2}}{4t}}}.}$

Поскольку для каждого ${\displaystyle t\in (0,+\infty )}$ функция ${\displaystyle K_{t}}$ является радиальным и радиально убывающим, по Неравенство перестановки Рисса

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}K_{t}(x-y)\,u(x)\,u(y)\,dx\,dy\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}K_{t}(x-y)\,u^{*}(x)\,u^{*}(y)\,dx\,dy}$

Отсюда выводим, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|^{2}&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u|^{2}-\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}K_{t}(x-y)u(x)u(y)\,dx\,dy\right)\\[6pt]&\geq \lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u|^{2}-\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}K_{t}(x-y)u^{*}(x)u^{*}(y)\,dx\,dy\right)\\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u^{*}|^{2}.\end{aligned}}}$

Рекомендации

1. Полиа, Джордж; Сегё, Габор (1951). Изопериметрические неравенства в математической физике. Анналы математических исследований. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  9780691079882. ISSN  0066-2313.
2. Таленти, Джорджио (1976). «Наилучшая константа в неравенстве Соболева». Annali di Matematica Pura ed Applicata. 110 (1): 353–372. CiteSeerX  10.1.1.615.4193. Дои:10.1007 / BF02418013. ISSN  0373-3114. S2CID  16923822.
3. Обен, Тьерри (1976-01-01). "Problèmes isopérimétriques et espaces de Sobolev". Журнал дифференциальной геометрии (На французском). 11 (4): 573–598. Дои:10.4310 / jdg / 1214433725. ISSN  0022-040X.
4. Братья, Джон Э .; Цимер, Уильям П. (1988). «Минимальные перестановки соболевских функций». Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 384: 153–179. ISSN  0075-4102.
5. Бернштейн II, Альберт (1994). «Единый подход к симметризации». В Альвино, Анджело; Фабес, Евгений; Таленти, Джорджио (ред.). Уравнения с частными производными эллиптического типа.. Symposia Mathematica. Издательство Кембриджского университета. С. 47–92. ISBN  9780521460484.
6. Каволь, Бернхард (1985). Перестановки и выпуклость наборов уровней в PDE - Springer. Конспект лекций по математике Сборник неофициальных докладов и семинаров. Конспект лекций по математике. 1150. Берлин Гейдельберг: Springer. Дои:10.1007 / bfb0075060. ISBN  978-3-540-15693-2. ISSN  0075-8434.
7. Брок, Фридеманн; Солынин, Александр (2000). «Подход к симметризации через поляризацию». Труды Американского математического общества. 352 (4): 1759–1796. Дои:10.1090 / S0002-9947-99-02558-1. ISSN  0002-9947.
8. Сарвас, Юкка (1972). Симметризация конденсаторов в N-пространстве.. Suomalainen Tiedeakatemia. ISBN  9789514100635.
9. Сметс, Дидье; Виллем, Мишель (2003). «Частичная симметрия и асимптотика для некоторых эллиптических вариационных задач». Вариационное исчисление и уравнения с частными производными. 18 (1): 57–75. Дои:10.1007 / s00526-002-0180-у. ISSN  0944-2669. S2CID  119466691.
10. Анджело, Альвино; Винченцо, Фероне; Гвидо, Тромбетти; Пьер-Луи, Львов (1997). «Выпуклая симметризация и приложения». Annales de l'I.H.P. Анализируйте non Linéaire (На французском). 14 (2).
11. Ван Шафтинген, Жан (2006). «Анизотропная симметризация». Annales de l'Institut Henri Poincaré C. 23 (4): 539–565. Дои:10.1016 / j.anihpc.2005.06.001.
12. Чианки, Андреа (2007). «Симметризация в анизотропных эллиптических задачах». Связь в дифференциальных уравнениях с частными производными. 32 (5): 693–717. Дои:10.1080/03605300600634973. ISSN  0360-5302. S2CID  121383998.
13. Либ, Эллиотт Х.; Потеря, Майкл (2001-01-01). Анализ (2-е изд.). Американское математическое общество. ISBN  9780821827833. OCLC  468606724.