Бифуркация седло-узел - Saddle-node bifurcation

в математический зона теория бифуркации а бифуркация седло-узел, тангенциальная бифуркация или же складка бифуркации это локальная бифуркация в котором два фиксированные точки (или же равновесие ) из динамическая система сталкиваются и уничтожают друг друга. Термин «бифуркация седло-узел» чаще всего используется в отношении непрерывных динамических систем. В дискретных динамических системах ту же бифуркацию часто называют складка бифуркации. Другое имя бифуркация голубого неба в отношении внезапного создания двух фиксированных точек.^[1]

Если фазовое пространство одномерно, одна из точек равновесия неустойчива (седло), а другая устойчива (узел).

Бифуркации седло-узел могут быть связаны с петли гистерезиса и катастрофы.

Нормальная форма

Типичный пример дифференциального уравнения с бифуркацией седло-узел:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=r+x^{2}.}$

Здесь ${\displaystyle x}$ переменная состояния и ${\displaystyle r}$ - параметр бифуркации.

• Если ${\displaystyle r<0}$ есть две точки равновесия, стабильная точка равновесия в ${\displaystyle -{\sqrt {-r}}}$ и нестабильный на ${\displaystyle +{\sqrt {-r}}}$.
• В ${\displaystyle r=0}$ (точка бифуркации) существует ровно одна точка равновесия. В этот момент фиксированная точка больше не гиперболический. В этом случае неподвижная точка называется неподвижной точкой седло-узел.
• Если ${\displaystyle r>0}$ нет точек равновесия.^[2]

Воспроизвести медиа

Бифуркация седловидного узла

По сути, это нормальная форма бифуркации седло-узел. Скалярное дифференциальное уравнение ${\displaystyle {\tfrac {dx}{dt}}=f(r,x)}$ который имеет неподвижную точку в ${\displaystyle x=0}$ за ${\displaystyle r=0}$ с ${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial x}}(0,0)=0}$ находится на местном уровне топологически эквивалентный к ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=r\pm x^{2}}$при условии, что он удовлетворяет ${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}\!f}{\partial x^{2}}}(0,0)\neq 0}$ и ${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial r}}(0,0)\neq 0}$. Первое условие - это условие невырожденности, а второе - условие трансверсальности.^[3]

Пример в двух измерениях

Фазовый портрет, показывающий бифуркацию седло-узел

Пример бифуркации седло-узел в двух измерениях происходит в двумерной динамической системе:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\alpha -x^{2}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-y.}$

Как видно по анимации, полученной при построении фазовых портретов с изменением параметра ${\displaystyle \alpha }$,

• Когда ${\displaystyle \alpha }$ отрицательно, точек равновесия нет.
• Когда ${\displaystyle \alpha =0}$, есть седло-узловая точка.
• Когда ${\displaystyle \alpha }$ положительна, есть две точки равновесия: то есть одна точка перевала и один узел (аттрактор или репеллер).

Бифуркация седло-узел также встречается в уравнении потребителя (см. транскритическая бифуркация ) при изменении срока потребления с ${\displaystyle px}$ к ${\displaystyle p}$, то есть скорость потребления постоянна, а не пропорциональна ресурсу ${\displaystyle x}$.

Другие примеры - моделирование биологических переключателей.^[4] Недавно было показано, что при определенных условиях уравнения поля Эйнштейна общей теории относительности имеют тот же вид, что и бифуркация складки.^[5] Также изучалась неавтономная версия бифуркации седло-узел (т.е. параметр зависит от времени).^[6]

Смотрите также

• Разветвление вил
• Транскритическая бифуркация
• Бифуркация хопфа
• Точка перевала

Примечания

1. Строгац 1994, п. 47.
2. Кузнецов 1998 С. 80–81.
3. Кузнецов 1998, Теоремы 3.1 и 3.2.
4. Чонг, Кет Хинг; Самарасингхе, Сандхья; Куласири, Дон; Чжэн, Цзе (2015). Вычислительные методы математического моделирования биологических переключателей. 21-й Международный конгресс по моделированию и симуляции. HDL:10220/42793.
5. Коли, Икджйот Сингх; Хаслам, Майкл С (2018). «Полевые уравнения Эйнштейна как бифуркация складки». Журнал геометрии и физики. 123: 434–7. arXiv:1607.05300. Bibcode:2018JGP ... 123..434K. Дои:10.1016 / j.geomphys.2017.10.001.
6. Ли, Иеремия Х .; Е., Феликс Х. -Ф .; Цянь, Хун; Хуан, Суй (2019-08-01). «Зависящая от времени бифуркация седло – узел: время разрыва и точка невозврата в неавтономной модели критических переходов». Physica D: нелинейные явления. 395: 7–14. arXiv:1611.09542. Дои:10.1016 / j.physd.2019.02.005. ISSN  0167-2789.

Рекомендации

• Кузнецов, Юрий А. (1998). Элементы прикладной теории бифуркаций (Второе изд.). Springer. ISBN  0-387-98382-1.
• Строгац, Стивен Х. (1994). Нелинейная динамика и хаос. Эддисон Уэсли. ISBN  0-201-54344-3.
• Вайсштейн, Эрик В. «Сложная бифуркация». MathWorld.
• Chong, K. H .; Samarasinghe, S .; Куласири, Д .; Чжэн, Дж. (2015). Вычислительные методы математического моделирования биологических переключателей. В Weber, T., McPhee, M.J. and Anderssen, R.S. (eds) MODSIM2015, 21-й Международный конгресс по моделированию и симуляции (MODSIM 2015). Общество моделирования и моделирования Австралии и Новой Зеландии, декабрь 2015 г., стр. 578-584. ISBN  978-0-9872143-5-5.
• Коли, Икджйот Сингх; Хаслам, Майкл С. (2018). Уравнения поля Эйнштейна как кратная бифуркация. Journal of Geometry and Physics Volume 123, январь 2018, страницы 434-437.