Поле Шредингера - Schrödinger field

В квантовая механика и квантовая теория поля, а Поле Шредингера, названный в честь Эрвин Шредингер, это квантовое поле который подчиняется Уравнение Шредингера.^[1] Хотя любая ситуация, описываемая полем Шредингера, также может быть описана многотельный Уравнение Шредингера для идентичных частиц, теория поля больше подходит для ситуаций, когда число частиц изменения.

Поле Шредингера также является классическим пределом квантового поля Шредингера, классической волны, которая удовлетворяет уравнению Шредингера. В отличие от квантово-механической волновой функции, если есть взаимодействия между частицами, уравнение будет нелинейный. Эти нелинейные уравнения описывают классический волновой предел системы взаимодействующих одинаковых частиц.

Интеграл по путям поля Шредингера также известен как интеграл по путям когерентных состояний, поскольку само поле является оператором уничтожения, собственные состояния которого можно рассматривать как когерентные состояния гармонических колебаний мод поля.

Поля Шредингера полезны для описания Конденсация Бозе – Эйнштейна, то Боголюбов –де Жен уравнение сверхпроводимость, сверхтекучесть, и теория многих тел в целом. Они также являются полезным альтернативным формализмом для нерелятивистской квантовой механики.

Поле Шредингера - это нерелятивистский предел Поле Клейна – Гордона.

Резюме

А Поле Шредингера это квантовое поле чей кванты подчиняться Уравнение Шредингера. В классическом пределе его можно понимать как квантованное волновое уравнение Конденсат Бозе-Эйнштейна или сверхтекучий.

Свободное поле

Поле Шредингера имеет лагранжиан свободного поля

${\displaystyle L=\psi ^{\dagger }\left(i{\partial \over \partial t}+{\nabla ^{2} \over 2m}\right)\psi .}$

Когда ${\displaystyle \psi }$ комплекснозначное поле в интеграле по путям или, что то же самое, оператор с каноническими коммутационными соотношениями, он описывает набор идентичных нерелятивистских бозонов. Когда ${\displaystyle \psi }$ это ценное поле Grassmann, или, что то же самое, оператор с каноническими антикоммутационными соотношениями, поле описывает идентичные фермионы.

Внешний потенциал

Если частицы взаимодействуют с внешним потенциалом ${\displaystyle V(x)}$, взаимодействие вносит локальный вклад в действие:

${\displaystyle S=\int _{xt}\psi ^{\dagger }\left(i{\partial \over \partial t}+{\nabla ^{2} \over 2m}\right)\psi -\psi ^{\dagger }(x)\psi (x)V(x).}$

Если обычному уравнению Шредингера для V известны собственные энергетические состояния ${\displaystyle \phi _{i}(x)}$ с энергиями ${\displaystyle E_{i}}$, то поле в действии можно повернуть в диагональный базис разложением по модам:

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{i}\psi _{i}\phi _{i}(x).\,}$

Действие становится:

${\displaystyle S=\int _{t}\sum _{i}\psi _{i}^{\dagger }\left(i{\partial \over \partial t}-E_{i}\right)\psi _{i}\,}$

который представляет собой интеграл по траекториям по положению и импульсу для набора независимых гармонических осцилляторов.

Чтобы увидеть эквивалентность, обратите внимание, что действие, разложенное на действительную и мнимую части:

${\displaystyle S=\int _{t}\sum _{i}2\psi _{r}{d\psi _{i} \over dt}-E_{i}(\psi _{r}^{2}+\psi _{i}^{2})}$

после интеграции по частям. Интеграция более ${\displaystyle \psi _{r}}$ дает действие

${\displaystyle S=\int _{t}\sum _{i}{1 \over E_{i}}\left({d\psi _{i} \over dt}\right)^{2}-E_{i}\psi _{i}^{2}}$

который, изменение масштаба ${\displaystyle \scriptstyle \psi _{i}}$, - действие гармонического осциллятора с частотой ${\displaystyle E_{i}}$.

Парный потенциал

Когда частицы взаимодействуют с парный потенциал ${\displaystyle V(x_{1},x_{2})}$, взаимодействие является нелокальным вкладом в действие:

${\displaystyle S=\int _{xt}\psi ^{\dagger }\left(i{\partial \over \partial t}+{\nabla ^{2} \over 2m}\right)\psi -\int _{xy}\psi ^{\dagger }(y)\psi ^{\dagger }(x)V(x,y)\psi (x)\psi (y).}$

Парный потенциал - это нерелятивистский предел релятивистского поля, связанного с электродинамикой. Без учета распространяющихся степеней свободы взаимодействие между нерелятивистскими электронами является кулоновским отталкиванием. В 2 + 1 измерениях это:

${\displaystyle V(x,y)={j^{2} \over |y-x|}.}$

В сочетании с внешним потенциалом для моделирования классических положений ядер поле Шредингера с этим парным потенциалом описывает почти всю физику конденсированного состояния. Исключение составляют такие эффекты, как сверхтекучесть, где важна квантово-механическая интерференция ядер, и электроны внутренней оболочки, где движение электронов может быть релятивистским.

Нелинейное уравнение Шредингера.

Частный случай дельта-функция взаимодействия ${\displaystyle V(x_{1},x_{2})=\lambda \delta (x_{1}-x_{2})}$ широко изучается и известен как нелинейное уравнение Шредингера. Поскольку взаимодействия всегда происходят, когда две частицы занимают одну и ту же точку, действие для нелинейного уравнения Шредингера является локальным:

${\displaystyle S=\int _{x}\psi ^{\dagger }\left(i{\partial \over \partial t}+{\nabla ^{2} \over 2m}\right)\psi +\lambda \int _{x}\psi ^{\dagger }\psi ^{\dagger }\psi \psi }$

Сила взаимодействия ${\displaystyle \lambda }$ требует перенормировки в размерностях больше 2, а в двух измерениях имеет логарифмическую расходимость. В любых измерениях и даже при степенном расхождении теория определена хорошо. Если частицы являются фермионами, взаимодействие исчезает.

Многотельные потенциалы

Потенциалы могут включать вклад многих тел. Тогда взаимодействующий лагранжиан:

${\displaystyle L_{i}=\int _{x}\psi ^{\dagger }(x_{1})\psi ^{\dagger }(x_{2})\cdots \psi ^{\dagger }(x_{n})V(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\psi (x_{1})\psi (x_{2})\cdots \psi (x_{n}).\,}$

Эти типы потенциалов важны для некоторых эффективных описаний плотноупакованных атомов. Взаимодействия высшего порядка становятся все менее и менее важными.

Канонический формализм

Каноническая связь импульса с полем ${\displaystyle \psi }$ является

${\displaystyle \Pi (x)=i\psi ^{\dagger }.\,}$

Канонические коммутационные соотношения подобны независимому гармоническому осциллятору в каждой точке:

${\displaystyle [\psi (x),\psi ^{\dagger }(y)]=\delta (x-y).}$

Гамильтониан поля равен

${\displaystyle H=S-\int \Pi (x){d \over dt}\psi =\int {|\nabla \psi |^{2} \over 2m}+\int _{xy}\psi ^{\dagger }(x)\psi ^{\dagger }(y)V(x,y)\psi (x)\psi (y)\,}$

а уравнение поля для любого взаимодействия является нелинейной и нелокальной версией уравнения Шредингера. Для парных взаимодействий:

${\displaystyle i{\partial \over \partial t}\psi =-{\nabla ^{2} \over 2m}\psi +\left(\int _{y}V(x,y)\psi ^{\dagger }(y)\psi (y)\right)\psi (x).\,}$

Теория возмущений

Расширение в Диаграммы Фейнмана называется многотельный теория возмущений. В пропагатор является

${\displaystyle G(k)={1 \over i\omega -{k^{2} \over 2m}}.\,}$

Вершиной взаимодействия является преобразование Фурье парного потенциала. Во всех взаимодействиях количество входящих и исходящих линий равно.

Экспозиция

Идентичные частицы

Многотельное уравнение Шредингера для идентичных частиц описывает эволюцию во времени многочастичной волновой функции ψ (Икс₁, Икс₂...Икс_N) - амплитуда вероятности для N частицы занимают указанные позиции. Уравнение Шредингера для ψ:

${\displaystyle i{d \over dt}\psi =\left({\frac {\nabla _{1}^{2}}{2m}}+{\frac {\nabla _{2}^{2}}{2m}}+\cdots +{\frac {\nabla _{N}^{2}}{2m}}+V(x_{1},x_{2},\dots ,x_{N})\right)\psi \,}$

с гамильтонианом

${\displaystyle H={\frac {p_{1}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{2}^{2}}{2m}}+\cdots +{\frac {p_{N}^{2}}{2m}}+V(x_{1},\dots ,x_{N}).\,}$

Поскольку частицы неразличимы, волновая функция обладает некоторой симметрией относительно положений переключения. Либо

1. ${\displaystyle \psi (x_{1},x_{2},\dots )=\psi (x_{2},x_{1},\dots )\qquad \quad {\text{for bosons}}}$,
2. ${\displaystyle \psi (x_{1},x_{2},\dots )=-\psi (x_{2},x_{1},\dots )\qquad {\text{for fermions}}}$.

Поскольку частицы неразличимы, потенциал V должен оставаться неизменным при перестановках.

${\displaystyle V(x_{1},\dots ,x_{N})=V_{1}(x_{1})+V_{2}(x_{2})+\cdots +V_{N}(x_{N})\,}$

тогда должно быть так, что ${\displaystyle V_{1}=V_{2}=\cdots =V_{N}}$. Если

${\displaystyle V(x_{1}...,x_{N})=V_{1,2}(x_{1},x_{2})+V_{1,3}(x_{2},x_{3})+V_{2,3}(x_{1},x_{2})\,}$

тогда ${\displaystyle V_{1,2}=V_{1,3}=V_{2,3}}$ и так далее.

В формализме уравнения Шредингера ограничения на потенциал являются специальными, и предел классической волны труднодостижим. Он также имеет ограниченную полезность, если система открыта для окружающей среды, потому что частицы могут когерентно входить и уходить.

Нерелятивистское пространство Фока

Поле Шредингера определяется путем расширения гильбертова пространства состояний, чтобы включить конфигурации с произвольным числом частиц. Практически полной базой для этого набора состояний является набор:

${\displaystyle |N;x_{1},\ldots ,x_{N}\rangle \,}$

помечены общим количеством частиц и их положением. Произвольное состояние с частицами в разделенных положениях описывается суперпозицией состояний этой формы.

${\displaystyle \psi _{0}|0\rangle +\int _{x}\psi _{1}(x)|1;x\rangle +\int _{x_{1}x_{2}}\psi _{2}(x_{1},x_{2})|2;x_{1}x_{2}\rangle +\ldots \,}$

В этом формализме имейте в виду, что любые два состояния, позиции которых можно переставлять друг в друга, на самом деле одинаковы, поэтому области интеграции должны избегать двойного счета. Также имейте в виду, что состояния с более чем одной частицей в одной точке еще не определены. Количество ${\displaystyle \psi _{0}}$ - это амплитуда отсутствия частиц, а ее абсолютный квадрат - это вероятность того, что система находится в вакууме.

Чтобы воспроизвести описание Шредингера, внутренний продукт на основе состояний должен быть

${\displaystyle \langle 1;x_{1}|1;y_{1}\rangle =\delta (x_{1}-y_{1})\,}$

${\displaystyle \langle 2;x_{1}x_{2}|2;y_{1}y_{2}\rangle =\delta (x_{1}-y_{1})\delta (x_{2}-y_{2})\pm \delta (x_{1}-y_{2})\delta (x_{2}-y_{1})\,}$

и так далее. Поскольку обсуждение бозонов и фермионов формально почти идентично, хотя физические свойства различны, отсюда частицы будут бозонами.

В этом гильбертовом пространстве есть естественные операторы. Один оператор позвонил ${\displaystyle \scriptstyle \psi ^{\dagger }(x)}$, - оператор, вводящий дополнительную частицу в точке x. Он определяется для каждого базового состояния:

${\displaystyle \psi ^{\dagger }(x)|N;x_{1}...x_{n}\rangle =|N+1;x_{1},...,x_{n},x\rangle \,}$

с небольшой двусмысленностью, когда частица уже находится в точке x.

Другой оператор удаляет частицу в точке x и называется ${\displaystyle \psi }$. Этот оператор является сопряженным с оператором ${\displaystyle \psi ^{\dagger }}$. Потому что ${\displaystyle \scriptstyle \psi ^{\dagger }}$ не имеет матричных элементов, которые связаны с состояниями без частицы в x, ${\displaystyle \psi }$ должен давать ноль при воздействии на такое состояние.

${\displaystyle \psi (x)|N;x_{1}...,x_{N}\rangle =\delta (x-x_{1})|N-1;x_{2}...,x_{N}\rangle +\delta (x-x_{2})|N-1;x_{1},x_{3}...,x_{N}\rangle +\ldots \,}$

Позиционный базис - неудобный способ понять совпадающие частицы, поскольку состояния с частицей, локализованной в одной точке, имеют бесконечную энергию, поэтому интуиция затруднена. Чтобы увидеть, что происходит, когда две частицы находятся в одной и той же точке, математически проще всего превратить пространство в дискретную решетка, или преобразование Фурье поля в конечном объеме.

Оператор

${\displaystyle \psi ^{\dagger }(k)=\int _{x}e^{-ikx}\psi ^{\dagger }(x)\,}$

создает суперпозицию состояний одной частицы в состоянии плоской волны с импульсом k, другими словами, создает новую частицу с импульсом k. Оператор

${\displaystyle \psi (k)=\int _{x}e^{ikx}\psi (x)\,}$

аннигилирует частицу с импульсом k.

Если потенциальная энергия для взаимодействия бесконечно удаленных частиц обращается в нуль, преобразованные операторы Фурье в бесконечном объеме создают невзаимодействующие состояния. Состояния бесконечно разбросаны, и вероятность того, что частицы находятся поблизости, равна нулю.

Матричные элементы для операторов между несовпадающими точками восстанавливают матричные элементы преобразования Фурье между всеми режимами:

1. ${\displaystyle \psi ^{\dagger }(k)\psi ^{\dagger }(k')-\psi ^{\dagger }(k')\psi ^{\dagger }(k)=0\,}$
2. ${\displaystyle \psi (k)\psi (k')-\psi (k')\psi (k)=0\,}$
3. ${\displaystyle \psi (k)\psi ^{\dagger }(k')-\psi (k')\psi ^{\dagger }(k)=\delta (k-k')\,}$

где дельта-функция - это либо Дельта-функция Дирака или Дельта Кронекера, в зависимости от того, бесконечный или конечный объем.

Коммутационные соотношения теперь полностью определяют операторы, и когда пространственный объем конечен, нет концептуальных препятствий для понимания совпадающих импульсов, потому что импульсы дискретны. В дискретном импульсном базисе базисные состояния следующие:

${\displaystyle |n_{1},n_{2},...n_{k}\rangle \,}$

где n - количество частиц в каждом импульсе. Для фермионов и анионов число частиц при любом импульсе всегда равно нулю или единице. Операторы ${\displaystyle \scriptstyle \psi _{k}}$ имеют гармонический осциллятор как матричные элементы между состояниями, не зависящие от взаимодействия:

${\displaystyle \psi ^{\dagger }(k)|..,n_{k},\ldots \rangle ={\sqrt {n_{k}+1}}\,|...,n_{k}+1,\ldots \rangle }$

${\displaystyle \psi (k)|...,n_{k},\ldots \rangle ={\sqrt {n_{k}}}\,|...,n_{k}-1,\ldots \rangle }$

Чтобы оператор

${\displaystyle \sum _{k}\psi ^{\dagger }(k)\psi (k)=\int _{x}\psi ^{\dagger }(x)\psi (x)}$

подсчитывает общее количество частиц.

Теперь легко увидеть, что матричные элементы ${\displaystyle \scriptstyle \psi (x)}$ и ${\displaystyle \scriptstyle \psi ^{\dagger }(x)}$ имеют также коммутационные соотношения гармонического осциллятора.

1. ${\displaystyle [\psi (x),\psi (y)]=[\psi ^{\dagger }(x),\psi ^{\dagger }(y)]=0}$
2. ${\displaystyle [\psi (x),\psi ^{\dagger }(y)]=\delta (x-y)}$

Так что действительно нет проблем с совпадающими частицами в позиционном пространстве.

Оператор ${\displaystyle \scriptstyle \psi ^{\dagger }(x)\psi (x)}$ который удаляет и заменяет частицу, действует как датчик, определяющий, присутствует ли частица в точке x. Оператор ${\displaystyle \scriptstyle \psi ^{\dagger }\nabla \psi }$ действует, чтобы умножить состояние на градиент волновой функции многих тел. Оператор

${\displaystyle H=-\int _{x}\psi ^{\dagger }(x){\nabla ^{2} \over 2m}\psi (x)\,}$

действует, чтобы воспроизвести правую часть уравнения Шредингера при воздействии на любое базисное состояние, так что

${\displaystyle \psi ^{\dagger }i{d \over dt}\psi =\psi ^{\dagger }{-\nabla ^{2} \over 2m}\psi \,}$

как операторное уравнение. Поскольку это верно для произвольного состояния, это верно и без ${\displaystyle \scriptstyle \psi ^{\dagger }}$.

${\displaystyle i{\partial \over \partial t}\psi ={-\nabla ^{2} \over 2m}\psi \,}$

Чтобы добавить взаимодействия, добавьте нелинейные члены в уравнения поля. Форма поля автоматически гарантирует, что потенциалы подчиняются ограничениям симметрии.

Полевой гамильтониан

Гамильтониан поля, воспроизводящий уравнения движения, имеет вид

${\displaystyle H={\nabla \psi ^{\dagger }\nabla \psi \over 2m}}$

Уравнения движения Гейзенберга для этого оператора воспроизводят уравнение движения для поля.

Чтобы найти классический полевой лагранжиан, примените преобразование Лежандра к классическому пределу гамильтониана.

${\displaystyle L=\psi ^{\dagger }\left(i{\partial \over \partial t}+{\nabla ^{2} \over 2m}\right)\psi \,}$

Хотя это классически верно, квантово-механическое преобразование не является полностью концептуально простым, поскольку интеграл по путям вычисляется по собственным значениям операторов ψ, которые не являются эрмитский и чьи собственные значения не ортогональны. Поэтому интеграл по путям по состояниям поля кажется наивным, чтобы переоценить. Это не так, потому что член производной по времени в L включает перекрытие между различными состояниями поля.

Отношение к месторождению Клейн-Гордон

Нерелятивистский предел как ${\displaystyle c\to \infty }$ любой Кляйн-Гордон field - это два поля Шредингера, представляющие частицу и античастицу. Для ясности в этом выводе сохранены все единицы и константы. От импульсное пространство операторы аннигиляции ${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {b}}_{\mathbf {p} }}$ релятивистского поля, определяется

${\displaystyle {\hat {a}}(x)=\int d\Omega _{\mathbf {p} }{\hat {a}}_{\mathbf {p} }e^{-ip\cdot x},\quad {\hat {b}}(x)=\int d\Omega _{\mathbf {p} }{\hat {b}}_{\mathbf {p} }e^{-ip\cdot x}}$,

такой, что ${\displaystyle {\hat {\phi }}(x)={\hat {a}}(x)+{\hat {b}}^{\dagger }(x)}$. Определение двух «нерелятивистских» полей ${\displaystyle {\hat {A}}(x)}$ и ${\displaystyle {\hat {B}}(x)}$,

${\displaystyle {\hat {a}}(x)={\frac {e^{-imc^{2}t/\hbar }}{\sqrt {2mc^{2}}}}{\hat {A}}(x),\quad {\hat {b}}(x)={\frac {e^{-imc^{2}t/\hbar }}{\sqrt {2mc^{2}}}}{\hat {B}}(x)}$,

которые исключают быстро осциллирующую фазу из-за масса покоя плюс остаток релятивистской меры, плотность лагранжиана ${\displaystyle L=(\hbar c)^{2}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi ^{\dagger }-(mc^{2})^{2}\phi \phi ^{\dagger }}$ становится

${\displaystyle {\begin{aligned}L&=(\hbar c)^{2}(\partial _{\mu }{\hat {a}}\partial ^{\mu }{\hat {a}}^{\dagger }+\partial _{\mu }{\hat {b}}\partial ^{\mu }{\hat {b}}^{\dagger }+\ldots )-(mc^{2})^{2}({\hat {a}}{\hat {a}}^{\dagger }+{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }+\ldots )\\&={\frac {1}{2mc^{2}}}\left[(\hbar c)^{2}({\frac {-imc}{\hbar }}{\hat {A}}+\partial _{0}{\hat {A}})({\frac {imc}{\hbar }}{\hat {A}}^{\dagger }+\partial ^{0}{\hat {A}}^{\dagger })-(\hbar c)^{2}\partial _{x}{\hat {A}}\partial ^{x}{\hat {A}}^{\dagger }+(A\Rightarrow B)+\ldots -(mc^{2})^{2}({\hat {A}}{\hat {A}}^{\dagger }+{\hat {B}}{\hat {B}}^{\dagger }+\ldots )\right]\\&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[{\frac {imc}{\hbar }}(\partial _{0}{\hat {A}}{\hat {A}}^{\dagger }-{\hat {A}}\partial ^{0}{\hat {A}}^{\dagger })+\partial _{\mu }{\hat {A}}\partial ^{\mu }{\hat {A}}^{\dagger }+(A\Rightarrow B)+\ldots \right]\end{aligned}}}$

где члены пропорциональны ${\displaystyle e^{\pm 2imc^{2}t/\hbar }}$ представлены эллипсами и исчезают в нерелятивистском пределе. Когда четырехступенчатый расширяется, полное расхождение игнорируется и слагаемые, пропорциональные ${\displaystyle {\frac {1}{c}}}$ также исчезают в нерелятивистском пределе. После интеграции по частям,

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{A}&=i\hbar {\hat {A}}^{\dagger }{\hat {A}}'+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[{\frac {1}{c^{2}}}{\hat {A}}'{{\hat {A}}'}^{\dagger }-\partial _{x}{\hat {A}}\partial ^{x}{\hat {A}}^{\dagger }\right]\\&=i\hbar {\hat {A}}^{\dagger }{\hat {A}}'+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[-(\partial _{x}({\hat {A}}\,\partial ^{x}{\hat {A}}^{\dagger })-{\hat {A}}\,\partial _{x}\partial ^{x}{\hat {A}}^{\dagger })\right]\\&=i\hbar {\hat {A}}^{\dagger }{\hat {A}}'+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\hat {A}}\,\partial _{x}\partial ^{x}{\hat {A}}^{\dagger }.\end{aligned}}}$

Окончательный лагранжиан принимает вид^[2]

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\left[{\hat {A}}^{\dagger }(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\hbar ^{2}\nabla ^{2}}{2m}}){\hat {A}}+{\hat {B}}^{\dagger }(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\hbar ^{2}\nabla ^{2}}{2m}}){\hat {B}}+{\text{h.c.}}\right]}$.

Рекомендации

1. G, Харрис, Эдвард (2014). Пешеходный подход к квантовой теории поля. Dover Publications. ISBN  9780486793290. OCLC  968989532.
2. Падманабхан, Т. (9 июля 2018 г.). «Получение нерелятивистской квантовой механики из квантовой теории поля: проблемы, фольклор и факты». Европейский физический журнал C. 78 (7): 563. arXiv:1712.06605. Дои:10.1140 / epjc / s10052-018-6039-у. S2CID  119057898.

внешняя ссылка